\begin{center}
\includegraphics{151_05-17}
\end{center}
Notons $h_A$ la hauteur issue de $A$, $h_C$ celle issue de $C$ et
$h_B$ celle issue de $B$, et notons $A'$, $B'$ et $C'$ les pieds
des hauteurs issues de $A$, $B$, et $C$.

En considérant le triangle $ABA'$, rectangle en $A'$, on constate :
\[\sin\widehat{B}=\dfrac{h_A}{AB}.\]
En considérant le triangle $ACA'$, rectangle en $A'$, on a :
\[\sin\widehat{C}=\dfrac{h_A}{AC}.\]
Dans le triangle $ACC'$, rectangle en $C'$, on a :
\[\sin\widehat{A}=\dfrac{h_C}{AC}.\]
Dans le triangle $ABB'$, rectangle en $B'$, on a :
\[\sin\widehat{A}=\dfrac{h_B}{AB}.\]
Il vient :
\begin{equation*}
\begin{split}
\dfrac{1}{\sin\widehat{B}}+\dfrac{1}{\sin\widehat{C}}
&=\dfrac{AB}{h_A}+\dfrac{AC}{h_A}\\
&=\dfrac{1}{h_A}\left(\dfrac{h_B}{\sin\widehat{A}}+\dfrac{h_C}{\sin\widehat{A}}\right)\\
&=\dfrac{1}{h_A\sin\widehat{A}}\times (h_B+h_C)\\
&=\dfrac{1}{h_A\sin\widehat{A}}\times h_A\\
&=\dfrac{1}{\sin\widehat{A}}.
\end{split}
\end{equation*}
