Il suffit d'appliquer correctement le théorème de Thalès à deux endroits de la figure.

On remarque que les triangles $A'BC'$ et $CBC''$ sont en configuration
de Thalès, où $(CC'')~//~(A'C')$, donc  :
\[
\dfrac{BC}{BA'}=\dfrac{BC''}{BC'}=\dfrac{CC''}{A'C'}.
\]
Comme les points $B$, $C$ et $A'$ sont alignés dans cet ordre, on a :
\begin{align*}
BA' & = BC + CA'.\\
\text{De même, }BC' & = BC'' + C''C'.
\end{align*}
Les égalités suivantes sont équivalentes :
\begin{align*}
\dfrac{BC}{BA'} & = \dfrac{BC''}{BC'}\\
\dfrac{BC\textcolor{DR}{+CA'-CA'}}{BC+\textcolor{DR}{CA'}} & =\dfrac{BC''\textcolor{DG}{+C''C'-C''C'}}{BC''+\textcolor{DG}{C''C'}}\\
1-\dfrac{CA'}{BA'} & = 1- \dfrac{C''C'}{BC'}\\
\dfrac{CA'}{BA'} & = \dfrac{C''C'}{BC'}\\
\dfrac{BA'}{CA'}&=\dfrac{BC'}{C''C'}\text{ (en prenant les inverses)}\qquad(1)
\end{align*}
De même, les triangles $AB'C'$ et $ACC''$ sont en configuration de Thalès, où $(B'C')~//~(CC'')$, donc~:
\[
\dfrac{AB'}{AC}=\dfrac{AC'}{AC''}=\dfrac{B'C'}{CC''}.
\]
Comme les points $A$, $B'$ et $C$ sont alignés dans cet ordre, on a :
\begin{align*}
AC & = AB' + B'C.\\
\text{De même, }AC'' & = AC' + C'C''.
\end{align*}
Les égalités suivantes sont équivalentes :
\begin{align*}
\dfrac{AB'}{AC} & = \dfrac{AC'}{AC''}\\
\dfrac{AC}{AB'} & = \dfrac{AC''}{AC'}\text{ (en inversant les quotients)}\\
\dfrac{AB'+B'C}{AB'} & = \dfrac{AC' + C'C''}{AC'}\\
1+\dfrac{B'C}{AB'} & = 1+\dfrac{C'C''}{AC'}\\
\dfrac{B'C}{AB'} & = \dfrac{C'C''}{AC'}\qquad (2)
\end{align*}
Des égalités $(1)$ et $(2)$, on déduit :
\[
\dfrac{A'B}{A'C}\times\dfrac{B'C}{B'A}\times\dfrac{C'A}{C'B}=\dfrac{C'B}{C'C''}\times\dfrac{C'C''}{C'A}\times\dfrac{C'A}{C'B}=1.
\]
