\begin{questions}
\item  $[AD]$ est un diamètre du cercle donc $\widehat{ABD}$,
$\widehat{AH'D}$ et $\widehat{ACD}$ sont des angles droits.

\Par

\begin{center}
\includegraphics{153_05-21}
\end{center}

\Par

\item  D'après le résultat précédent, $(CD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
En outre $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$, puisque c'est une
hauteur du triangle $ABC$. On en déduit que $(CD)~//~(BH)$.

De même, on a vu que $(BD)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. Or
$(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$, comme hauteur de $ABC$.

Il vient $(BD)~//~(CH)$.

De là, on a : $(CD)~//~(BH)$ et $(BD)~//~(CH)$, donc
$BDCH$ est un parallélogramme.

$BDCH$ est un parallélogramme, donc ses diagonales ont même milieu. $I$ est le milieu de $[BC]$, donc $I$ est le milieu de $[DH]$.


\Par

\item $M$, pied de la hauteur  issue de $A$, appartient à $(BC)$, donc $(MI)=(BC)$.
On a donc : $(MI)\perp(AM)$. Or, puisque $\widehat{AH'D}$ est droit,\linebreak $(AM)\perp(H'D)$. D'où $(MI)~//~(H'D)$. Or, $I$ est le milieu de $[HD]$, donc en appliquant le théorème de Thalès, $M$ est le milieu de $[HH']$.
\end{questions}
