\begin{questions}
\item \mbox{}
\begin{center}
\includegraphics{142_05-13}
\end{center}
\item Les triangles $ACD$ et $EFC$ sont en configuration de Thalès, donc~:
\[\frac{DF}{DC}=\frac{AE}{AC},\ \text{d'où } \dfrac{ED}{BE}=\dfrac{EC}{AE}\text{ (en inversant)}.\]

En fait, l'énoncé classique du théorème donne seulement l'égalité~:
\[\frac{CF}{CD}=\frac{CE}{AC}.\]
Mais~:
\[\frac{DF}{DC}=\frac{DC-FC}{CD}=1-\frac{FC}{CD}\]
et
\[\frac{AE}{AC}=\frac{AC-EC}{AC}=1-\frac{EC}{AC}.\]
On a donc bien~:
\[\frac{DF}{DC}=\frac{AE}{AC}.\]
Les triangles $CDE$ et $ABE$ sont en configuration de Thalès, donc~:
\[\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{EC}.\]
Or~:
\[\frac{AC}{AE}=\frac{AE+EC}{AE}=1+\frac{EC}{AE}\]
et~:
\[\frac{BD}{BE}=\frac{BE+ED}{BE}=1+\frac{EC}{AE}.\]
On en déduit~:
\[\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BE}\]
et en inversant~:
\[\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{BD}.\]
Enfin, les triangles $DGE$ et $DCB$ étant en configuration de Thalès, il vient comme ci-dessus~:
\[\frac{BE}{BD}=\frac{CG}{CD}.\]
En rassemblant nos résultats, il vient~:
\[\frac{DF}{CD}=\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{BD}=\frac{CG}{CD}\]
et donc $GC=DF$.
\end{questions}
