\begin{center}
\includegraphics{143_05-14}
\end{center}
\begin{questions}
\item Pour montrer que $m$ appartient au cercle de diamètre $[AO]$, il suffit de montrer
que $AOm$ est rectangle en $m$.\\
Dans le triangle $AMB$, $O$ est le milieu de $[AB]$ et $m$ est le milieu de $[AM]$, donc
la droite $(Om)$ est parallèle à $(MB)$ (théorème de Thalès).

\Par

Or $M$ est sur le cercle
de diamètre $[AB]$, donc $AMB$ est rectangle en~$M$.

\Par

On a $(Om)~//~(MB)$ et $(MB)\perp (AM)$  donc $(Om)\perp (AM)$, ce qui montre
que $AOm$ est bien rectangle en $m$, et donc $m$ est sur le cercle de diamètre $[AO]$.
\item Comme $O$ est le milieu de $[AB]$, les cercles de diamètre $[OA]$ et $[OB]$ sont
symétriques par rapport à O. Or $N$ est le symétrique de $m$ par rapport à $O$, donc $N$ appartient
au cercle de diamètre $[OB]$.
\end{questions}
