\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item On lit sur le graphique les abscisses des points qui sont au-dessus ($f(x)\geq 0)$ ou au-dessous
($f(x)\leq 0$) de l'axe des abscisses. On résume dans un tableau :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}
\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & & +1 & & +\infty \\\hline
f(x) & & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}\]

\item Dans ce type d'inéquation, deux méthodes sont possibles.
\begin{itemize}
\item On peut factoriser $f(x)=(x-1)(x+1)$ puis utiliser un tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & & +1 & & +\infty \\\hline
x-1 & & - & \vline& - & 0 & + & \\
x+1 & & -& 0 & + & \vline & + & \\\hline
f(x) & & + & 0 & - & 0 & + &  \\\hline
\end{array}\]

\newpage

\item On peut aussi remarquer que le signe de $f(x)$ dépend de la position de $x^2$ par rapport à
$1$, ce qui permet d'utiliser les variations de la fonction $x\mapsto x^2$ :

\[\begin{array}{|C|ccccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &-1 & &0 & & +1 & & +\infty \\\hline
 & & \searrow& & & & &  &\nearrow &\\
x^2 & &  &1 & & & &1  & &\\
    & &  &  &\searrow  &0  &\nearrow &  & &\\\hline
\end{array}\]

\Par

On lit dans le tableau : $x^2\leq 1$ pour $x\in[-1~;1]$ et $x^2\geq 1$ pour
$x\in ]-\infty~;-1]$ ou $x\in [1~;+\infty[$.
On retrouve ainsi les résultats précédents.
\end{itemize}
\end{questions}
\item La fonction $g$ est sous la forme $x\mapsto ax+b$. On lit sur le graphique :
$g(0)=-1$ et $g(1)=0$, d'où les équations :

\[\begin{cases} g(0)=b=-1\\g(1)=a+b=0\end{cases}
\iff \begin{cases}a=1\\b=-1\end{cases}\]

\Par

$g$ est donc la fonction affine définie sur $\R$ par :
\[g(x)=x-1.\]

\item Graphiquement, on constate que la parabole $(\mathcal{C})$ est au-dessous de la droite $\mathcal{D}$
pour les points dont les abscisses sont comprises entre $0$ et $1$. L'inégalité est large,
il faut donc inclure les valeurs $0$ et $1$, d'où :
\[S=[0~;1].\]
Par le calcul :
\begin{align*}
f(x)\leq g(x)
&\iff x^2-1\leq x-1\\
&\iff (x-1)(x+1)\leq (x-1)\\
&\iff (x-1)[(x+1)-1]\leq 0\\
&\iff x(x-1)\leq 0
\end{align*}
On utilise un tableau de signes :

\[\begin{array}{|C|ccccccc|}\hline\tabulartitle
x & -\infty & &0 & & +1 & & +\infty \\\hline
x & & -& 0 & + &\vline & + & \\
(x-1) & & - & \vline& - & 0 & + & \\\hline
x(x-1)& & + & 0 & - & 0 & + & \\\hline
\end{array}\]

\Par

On constate que $x(x-1)\leq 0$ pour $x\in[0~;1]$, ce qui confirme le résultat lu sur le graphique.
\end{questions}
