\begin{questions}
        \item
        Prenons dans $I$ deux réels $x$ et $x'$ tels que $x'>x$ et comparons
        $f(x')$ et $f(x)$. Pour rendre la comparaison plus commode, exprimons:
        \begin{align*}
        f(x')-f(x)&=\dfrac{-x'+3}{x'-5}-\dfrac{-x+3}{x-5}\\[6pt]
        &=\dfrac{(-x'+3)(x-5)-(-x+3)(x'-5)}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
        &=\dfrac{-x'x+3x+5x'-15-(-xx'+5x+3x'-15)}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
        &=\dfrac{-x'x+3x+5x'-15+xx'-5x-3x'+15}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
        &=\dfrac{-2x+2x'}{(x'-5)(x-5)}\\[6pt]
        &=(x'-x)\dfrac{2}{(x'-5)(x-5)}.
        \end{align*}
        
\Par

Comme $x'-x>0$, $x'-5<0$ et $x-5<0$, on obtient :
\[
f(x')-f(x)>0\text{, donc }f(x')>f(x).
\]

On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
        
\item Prenons encore dans $I$ deux réels, $x'>x$.

Cette fois, plutôt que calculer ${f(x')-f(x)}$, écrivons directement:
\begin{align*}
x' &> x \\
x'-8 &> x-8
\end{align*}

et, ces deux réels étant positifs (car $x\geq 8$), on peut élever les deux membres au carré :
\[
(x'-8)^2 >(x-8)^2
\]
ce qui donne : $f(x')>f(x)$.
        On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
\end{questions}

\begin{Remarque}ce type d'exercice n'est plus vraiment dans l'esprit du programme. Cependant, connaître cette méthode pour déterminer les variations d'une fonction peut être intéressant pour celles et ceux qui ont envie d'aller au-delà du programme.
\end{Remarque}
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