\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL2Mch05exo17}}}
\vspace*{-10pt}
 \begin{questions}
        \item Obéissons poliment aux injonctions de l'énoncé, et munissons-nous de
        $x_1$ et $x_2$, tels que $0<x_1<x_2$. On calcule :
        \begin{align*}
        f(x_1)-f(x_2)&=x_1+\frac{1}{x_1} -x_2 -\frac{1}{x_2}\\
        &=\frac{1}{x_1} -x_2+x_1-\frac{1}{x_2}\\
        &=\frac{1}{x_1}-\frac{x_2x_1}{x_1} + \frac{x_1x_2}{x_2}-\frac{1}{x_2}\\
        &=\frac{1}{x_1}(1-x_2x_1)+\frac{1}{x_2}(x_1x_2-1)\\
        &=(1-x_2x_1)\left(\frac{1}{x_1}
        -\frac{1}{x_2}\right)
        \end{align*}
        Ceci est du signe de $(1-x_2x_1)$, puisque, $x_1$ étant inférieur à $x_2$,
        $\dfrac{1}{x_1}$ est supérieur à $\dfrac{1}{x_2}$, donc :
$\displaystyle \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}$ est positif.
\enlargethispage*{4em}
        \item Si l'on se donne deux points $x_1$ et $x_2$ inférieurs à $1$, et tels que nous avons
        $0<x_1<x_2$, alors $(1-x_2x_1)$ est positif (si ce point ne vous paraît pas
        évident, cherchez-en une preuve \textit{maintenant}, une correction est donnée à la
        fin de ce paragraphe).
        Donc $f(x_1)-f(x_2)$ est positif, et $f$ est {\em décroissante} sur
        $]0~;1]$ ($x_1$ est le plus petit et son image est la plus grande).\\
        En revanche, si les deux points $x_1$ et $x_2$ sont supérieurs à $1$,
        alors\linebreak $(1-x_2x_1)$ est négatif. Donc $f(x_1)-f(x_2)$ est négatif, et
        $f$ est {\em croissante} sur $[1~;+\infty[$ ($x_1$ est le plus
        petit et son image est aussi la plus petite).
        
        Au sujet de $1-x_2x_1>0$ : vous savez que $0<x_1<1$ et $0<x_2<1$, il suffit de multiplier membre à membre ces encadrements (ce que l'on a le droit de faire car ils concernent des nombres tous positifs), et il vient : $0<x_1x_2<1$, d'où : $1-x_1x_2>0$.
        
        \item \`A l'aide de la question précédente, on dresse le tableau de        variations de~$f$:
        \begin{center}
        \begin{tabular}{|C|lcccr|}\hline\tabulartitle
        $x$&$0$& &$1$& & $+\infty$ \\ \hline
        $f(x)$& & $\searrow$ & $2$ & $\nearrow$ & \\ \hline
        \end{tabular}
        \end{center}
        
        \item D'après le tableau de variations,
        $f$ admet pour minimum $2$ en $x=1$.
\end{questions}
