\begin{questions}
\item $f(x)=4x^2+4x+1-x^2+6x-9=3x^2+10x-8$.
         
\item
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)&=\big[(2x+1)+(-x+3)\big]\big[(2x+1)-(-x+3)\big]\\
         &=(2x+1-x+3)(2x+1+x-3)\\
         &=(x+4)(3x-2).
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)&=(x-4)(x+4)-2(x+4)(-2x+1)\\
         &=(x+4)\big[(x-4)-2(-2x+1)\big]\\
         &=(x+4)(x-4+4x-2)\\
         &=(x+4)(5x-6).
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item Il suffit de résoudre l'équation :
\[-8=3x^2+10x-8 \iff 0=3x^2+10x \iff x(3x+10)=0.\]
Les antécédents de $-8$ par $f$ sont donc : $0$ et $\dfrac{-10}{3}$.
         
\item Utilisons les expressions factorisées de $f$ et  $g$ :
\begin{align*}
         f(x)+g(x)=0 &\iff (x+4)(3x-2)+(x+4)(5x-6)=0\\
         &\iff (x+4)(3x-2+5x-6)=0 \\
         &\iff (x+4)(8x-8)=0\\
         &\iff (x+4)(x-1)=0.
\end{align*}
D'où l'ensemble des solutions : $S=\left\{-4~;1\right\}$.
         
\item Utilisons encore les expressions factorisées de $f$ et $g$ :
\begin{align*}
                 g(x)-f(x)&=(x+4)(5x-6)-(x+4)(3x-2)\\
                 &=(x+4)(5x-6-3x+2)\\
                 &=(x+4)(2x-4)\\
                 &=2(x+4)(x-2)\\
                 &=2(x+1+3)(x+1-3)\\
                 &=2\big[(x+1)^2-9\big].
                 \end{align*}
 \end{questions}
