\begin{questions}
\item Pour $x\in [~-5~;~5~]$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.         

$\forall x\in [~-5~;~5~]$,

\begin{itemize}
\item $-x\in [~-5~;~5~]$
\item et $f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)$
\end{itemize}

donc $f$ est paire.
        
        
        \item Pour $x\in ]~0~ ;~+\infty~[$, $f(x)=\dfrac{1}{3x}$
        
        L'ensemble de définition de $f$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire.
        \item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^2+x+1$
        
        On remarque que $f(-1)=4$ et $f(1)=6$ donc $f$ n'est ni paire ni impaire.
        
        
        \item Pour $x\in\R$, $f(x)=4x^3+2x$
        
        $\forall x\in\R, -x\in\R$ et :
        \begin{align*}
        f(-x)&=4\times (-x)^3+2\times (-x)\\
        &=-4x^3-2x\\
        &=-f(x).
        \end{align*}
        donc $f$ est impaire.
\end{questions}
