 \begin{questions}
        \item On factorise :
        \begin{align*}
        f(x_1)-f(x_2) &= (x_1^2-4x_1+3)-(x_2^2-4x_2+3)\\
                      &= x_1^2-4x_1+3-x_2^2+4x_2-3\\
                      &= x_1^2-x_2^2-4x_1+4x_2\\
                      &= (x_1-x_2)(x_1+x_2)+4(x_2-x_1)\\
                      &= (x_2-x_1)\big[4-(x_1+x_2)\big].
        \end{align*}
        
        \item Si $x_1<x_2$, on peut écrire $x_1+x_2<2x_2$. Avec l'hypothèse :
        $x_2\leq 2$, on obtient $x_1+x_2<4$.
        
        Toujours avec $x_1<x_2$, on écrit $x_1+x_2>2x_1$. Avec $x_1\geq 2$,
        on peut écrire $x_1+x_2>4$.
        
        \item Donnons-nous $x_1$ et $x_2$ dans $]-\infty~;2]$, tels que
        $x_1<x_2$. D'après les questions précédentes, on sait que
        $4-(x_1+x_2)>0$ et, par ailleurs, $x_2-x_1>0$, donc $f(x_1)-f(x_2)>0$.
        On en déduit que $f(x_1)>f(x_2)$, donc $f$ est strictement décroissante
        sur $\left]-\infty~;2\right]$.

        
        De la même façon, on montre que dans $[2~;+\infty[$, $f$ est strictement        croissante. Voici le tableau de variations de $f$ :
        
        \[\begin{array}{|C|lcccr|}
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty &    & 2  &    & +\infty \\ \hline
        f(x) & & \searrow &  & \nearrow &  \\
        & & & -1 & & \\ \hline
        \end{array}\]
        
        \item Il suffit de développer $(x-1)(x-3)$.
        
        \item D'après la factorisation précédente, l'égalité est vérifiée pour
        $x=1$ et $x=3$, donc $S=\left\{1~;3\right\}$.
        
        \item L'inéquation proposée revient à l'inéquation : $f(x)\geq 0$.        $f$ s'annule pour $x=1$ et $x=3$. Sur $]-\infty;1]$, $f$ décroît, donc        $f$ est positive. Elle devient négative à partir de $1$. Sur        $[2;+\infty[$, la fonction croît, passe par la valeur 0 en $x=3$, puis devient positive. Ces considérations apparaissent plus clairement dans le tableau de variations :
        
\[\begin{array}{|C|lcccccccr|}
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty &  &1 &   & 2  &  & 3 &   & +\infty \\ \hline
            &  & \searrow & \vline &  & \vline &  &\vline & \nearrow&  \\
        f(x) & &         & 0 &   &\vline  &    &0 &   & \\
             &  &         & \vline & \searrow &  & \nearrow &\vline  & &\\
             &  &   & \vline & & -1 & & \vline & & \\\hline
        \end{array}\]

L'ensemble des solutions est donc :
        \[S=\left]-\infty~;1\right]\cup[3~;+\infty[.\]

        \item L'énoncé vous demande en fait de procéder directement
        à la résolution de l'inéquation, par un tableau de signes :
        \[\begin{array}{|C|lcccccr|}
        \hline\tabulartitle
        x    & -\infty &    & 1 &   & 3 &   & +\infty \\ \hline
        x-1  &         & -  & 0 & + & | & + &   \\ \hline
        x-3  &         & -  & | & - & 0 & + &   \\ \hline
        f(x) &         & +  & 0 & - & 0 & + & \\ \hline
        \end{array}\]
        On retrouve le résultat de la question précédente.
\end{questions}
