\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Pour la première configuration (bleue), on peut remarquer qu'il faut enlever au carré, d'aire 1, quatre triangles rectangles identiques, de côtés $x$ et $1-x$. L'aire cherchée s'écrit donc :
\[
A_1(x)=1-4\dfrac{x(1-x)}{2}=2x^2-2x+1.
\]
On peut retrouver aussi ce résultat en remarquant que l'aire hachurée  est un carré, dont le côté est l'hypoténuse des petits triangles, et d'après le théorème de Pythagore~:
\[
A_1(x)=x^2+(1-x)^2, \text{ soit encore : } A_1(x)=2x^2-2x+1.
\]
\item Pour la seconde configuration (rouge), il faut enlever deux triangles rectangles isocèles, de côté $1-x$, d'où :
\[
A_2(x)=1-(1-x)^2.
\]

\item Pour la troisième configuration (verte), on enlève encore deux triangles rectangles,  de côtés $1$ et $1-x$, d'où :
\[
A_3(x)=1-(1-x)=x.
\]

\item On peut appliquer la même méthode au trapèze de la quatrième configuration (violette). Plus astucieusement, si on considère les diagonales du trapèze, on fait  apparaître des rectangles, la moitié est hachurée. Le trapèze a donc pour aire la moitié de celle du carré, soit :
\[
A_4(x)=\dfrac{1}{2}.
\]
\end{itemize}

\item Vu le tracé des quatre courbes, on voit que l'aire la plus petite est $A_3(x)$ si $x\in\left[0~;\dfrac{1}{2}\right]$, puis $A_4(x)$ pour $x\in\left[\dfrac{1}{2}~;1\right]$.

Pour l'aire la plus grande, la compétition est entre $A_1(x)$ et $A_2(x)$. Vérifions pour quels $x$ ces deux expressions sont égales. On calcule~:
\begin{align*}
A_1(x)-A_2(x) & =2x^2-2x+(1-x)^2\\
& =2x(x-1)+(1-x)^2\\
&=(1-x)(1-3x).
\end{align*}
Donc les courbes se coupent au point d'abscisse $\dfrac{1}{3}$.
On en déduit que l'aire la plus grande est $A_1(x)$ si $x\in\left[0~;\dfrac{1}{3}\right]$,
et $A_2(x)$ si $x\in\left[\dfrac{1}{3}~;1\right]$.
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{214_04-20}
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