\begin{questions}
\item Le triangle $AMQ$ est rectangle en $A$ donc d'après \mbox{le théorème de Pythagore,}
\begin{align*}
QM^2 & =x^2+(20-x)^2\\
& = x^2+400-40x+x^2\\
& = 2x^2-40x+400.
\end{align*}
L'aire du carré $MNPQ$ est égale à $QM^2$ donc :
\[
S(x)=2x^2-40x+400.
\]

\item On développe :
\begin{align*}
2(x-10)^2+200 & = 2(x^2-20x+100)+200\\
& = 2x^2-40x+400\\
& = S(x).
\end{align*}

%\item D'après la forme canonique de $S(x)$ trouvée précédemment, on a :\Par\begin{center}\begin{tabular}{|C|ZlcccZr|}\hline\tabulartitle$x$ & 0 &  & 10 &  & 20\\\hline$S(x)$ & & $\searrow$ & &  $\nearrow$  & \\    &   &  &  200 & & \\    \hline\end{tabular}\end{center}\Par

\item $S(x)=200+\underbrace{2(x-10)^2}_{\geqslant0} \geqslant200$. L'aire minimale de $MNPQ$ est donc égale à 200 cm$^2$.

\Par

\item
\begin{questions}
\item Dans l'algorithme, on voit que les instructions de la boucle \og Tant que \fg{} s'exécutent dès lors que $S$ est supérieur ou égal à 272. La valeur initiale de $S$ étant 400, on entre dans la boucle et on calcule $S(x)$ jusqu'à trouver un résultat inférieur à 272. Quand ce sera le cas, on sortira de la boucle et la valeur de $x$ sera affichée.

Cependant, l'algorithme n'affiche qu'une valeur... Et on se doute bien qu'il y en a d'autres ! Il ne répond donc pas à notre souhait de trouver \emph{toutes} les valeurs de $x$ telles que $S(x)<272$.


\item Un algorithme possible est le suivant :

\begin{algorithme}{}
Variables : x, S nombres réels
Initialisation
  x $\leftarrow$ 0
  S $\leftarrow$ 400
Début :
  Tant que x $<$ 20
    x $\leftarrow$ x+1
    S $\leftarrow$ 2x$^2$ - 40x + 400
    Si S = 272 alors
      Afficher x
    Fin Si
  Fin Tant que
\end{algorithme}

\Par

L'énoncé nous dit que les valeurs de $x$ telles que $S(x)=272$ sont entières donc nous allons faire un balayage de l'intervalle [0~;20] avec un pas de $x$ égal à 1 (c'est-à-dire que $x$ va augmenter de 1 en 1). Pour chaque valeur de $x$, on calcule $S(x)$ et si le résultat est égal à 272, on affiche la valeur de $x$.

D'après les variations de $S$, la première valeur qui s'affiche est la première valeur de $x$ à partir de laquelle $S(x)\leqslant272$ et la seconde sera celle à partir de laquelle $S(x)\geqslant272$. Ainsi, entre les deux valeurs affichées, on est assuré que $S(x)\leqslant272$.

Voici le programme Python correspondant :

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-1.2){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL2M/06-decour.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{}{06-decour.py}\end{listing}

\end{questions}
\end{questions}
