\begin{questions}
\item Notons $M(x~;y)$ l'un des éventuels points d'intersection des deux courbes.

$M$ est sur la courbe représentative de $f$ donc $y=f(x)$; de même, $M$ est sur celle de $g$ donc $y=g(x)$ d'où $f(x)=g(x)$.
\[
f(x)=g(x)  \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=2x-7 \Leftrightarrow \iff \dfrac{1}{x}-2x+7=0 \Leftrightarrow \dfrac{-2x^2+7x+1}{x}=0.
\]

\item Développons la forme donnée dans l'énoncé :
\begin{align*}
-2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{57}{8} & = -2\left(x^2-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{49}{16}\right)+\dfrac{57}{8}\\
& = -2x^2+7x-\dfrac{49}{8}+\dfrac{57}{8}\\
& = -2x^2+7x+1.
\end{align*}

\item Des questions précédentes, on déduit:
\begin{align*}
f(x)=g(x) & \iff -2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{57}{8}=0\\
& \iff -2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=-\dfrac{57}{8}\\
& \iff \left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=-\dfrac{57}{8}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
& \iff \left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2=\dfrac{57}{16}\\
& \iff x-\dfrac{7}{4}=\sqrt{\dfrac{57}{16}}\quad\text{ou}\quad x-\dfrac{7}{4}=-\sqrt{\dfrac{57}{16}}\\
& \iff x = \dfrac{\sqrt{57}}{4}+\dfrac{7}{4}\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\sqrt{57}}{4}+\dfrac{7}{4}.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux points d'intersection, d'abscisses $x_1=\dfrac{7-\sqrt{57}}{4}$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{57}}{4}$.
\end{questions}
