\begin{questions}
\item Le point $M$ appartient au segment $[AD]$, avec $AD=5$.

Donc $x\in[0;5]$.

\item $ABM$ est un triangle rectangle en $A$ donc son aire est:
\[
f(x)=\frac{AB \times AM}{2} = \frac{8x}{2} = 4x.
\]

\item $CDM$ est un triangle rectangle en $D$ donc son aire est:
\[
g(x)=\frac{DC \times MD}{2} = \frac{10(5-x)}{2} = 5(5-x) = 25 - 5x.
\]

\item $h$ est une fonction affine, donc il existe deux réels $m$ et $p$ tels que\linebreak $h(x)=mx+p$.
\begin{itemize}
\item $h(1)=21 \Leftrightarrow m \times 1 + p = 21 \Leftrightarrow m+p=21 \Leftrightarrow p = 21 - m$.
\item $h(4)=24 \Leftrightarrow m \times 4 + p = 24 \Leftrightarrow 4m + p = 24 \Leftrightarrow p = 24-4m$.
\end{itemize}
On en déduit alors que:
\[
21-m=24-4m \iff -m+4m=24-21 \iff 3m = 3 \iff m = 1.
\]
Ainsi,
\[
% ERREUR % p = 21-m = 21-1 = -20.
p = 21-m = 21-1 = 20.
\]
Finalement, $h(x)=x+20$.

\item L'aire de $ABM$ est égale à celle de $CDM$ si:
\begin{align*}
f(x) = g(x) & \iff 4x = 25 - 5x\\
& \iff 9x = 25\\
& \iff x = \frac{25}{9}.
\end{align*}
De plus, $\frac{25}{9}\in[0;5]$ donc l'aire de $ABM$ est égale à celle de $CDM$ lorsque $M$ est à une distance de $\frac{25}{9}$ de $A$.

\item L'aire de $BCM$ est égale à celle de $CDM$ si:
\begin{align*}
x + 20 = 25 - 5x & \iff x+5x = 25-20\\
                 & \iff 6x = 5\\
                 & \iff x = \frac{5}{6}.
\end{align*}
De plus, $\frac{5}{6}\in[0;5]$ donc l'aire de $BCM$ est égale à celle de $CDM$ lorsque $M$ est à une distance de $\frac{5}{6}$ de $A$.
\end{questions}
