Même si cela n'est pas demandé, nous pouvons appuyer notre raisonnement sur une figure (que nous vous proposons page suivante).

\Par

Pour démontrer que les droites $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles, nous allons montrer que $\gvec{IB}$ et $\gvec{OP}$ sont colinéaires.

Plaçons-nous dans le repère $\big(A;\gvec{AB},\gvec{AC}\big)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{IB} & = \gvec{IA} + \gvec{AB}\\
& = -\dfrac{1}{2}\gvec{AC} + \gvec{AB}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{OP} & = \gvec{OA}-2\gvec{OB}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OA}-\gvec{OB}-\gvec{OB}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OA}+\gvec{BO}+\gvec{BO}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{BA}+\gvec{BC}\\
& = -\gvec{AB}+\gvec{BA}+\gvec{AC}\\
& = -2\gvec{AB}+\gvec{AC}.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{multicols}

Ainsi, $-2\gvec{IB}=\gvec{AC}-2\gvec{AB}=\gvec{OP}$, donc $\gvec{OP}$ et $\gvec{IB}$ sont colinéaires, ce qui signifie que $(OP)$ et $(IB)$ sont parallèles.

\begin{Remarque}
on peut aussi écrire :
\begin{align*}
\gvec{OP} & = \gvec{OA} + 2\gvec{BO}+\gvec{OC}\\
& = \gvec{OI}+\gvec{IA}+2\gvec{BI}+2\gvec{IO}+\gvec{OI}+\gvec{IC}\\
& = \gvec{IA}+\gvec{IC}+2\gvec{BI}\\
& = 2\gvec{BI}
\end{align*}
pour démontrer que $\gvec{OP}$ et $\gvec{BI}$ sont colinéaires.
\end{Remarque}

\begin{center}
\includegraphics{244_06-15}
\end{center}
