\enlargethispage*{\baselineskip}
%Rapportons la figure au repère $\big(A;\gvec{AB},\gvec{AD}\big)$.

\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AM} & =x\gvec{AC}\\
& =x\big(\gvec{AB}+\gvec{AD}\big)\\
& =x\gvec{AB} + x\gvec{AD}.
\end{aligned}$

\columnbreak

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AN} & = \gvec{AD} + \gvec{DN}\\
& = \gvec{AD} - x^2\gvec{AB} + 2x\gvec{AD}\\
& = -x^2\gvec{AB} + (1+2x)\gvec{AD}.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{multicols}

$M$ et $N$ sont confondus si et seulement si $\gvec{AM}=\gvec{AN}$.
\begin{align*}
\gvec{AM}=\gvec{AN} & \iff x\gvec{AB} + x\gvec{AD} = -x^2\gvec{AB} + (1+2x)\gvec{AD}\\
& \iff \begin{cases}
x = -x^2\\
x = 1+2x
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
-x^2-x=0\\
x=-1
\end{cases}
\end{align*}
$x=-1$ est solution de la première équation car \mbox{$-(-1)^2-(-1)=-1+1=0$}.

Il existe donc bien une valeur de $x$ pour laquelle les deux points sont confondus.
