Notons sur la figure les longueurs égales~:
\begin{center}
\includegraphics{246_06-04}
\end{center}

\begin{questions}
\item Plaçons le point $O$. Le triangle $OAC$ est rectangle en $O$. On sait que $AC=2$ et $OC=1$ (car
dans un triangle équilatéral, le pied de la hauteur est le milieu de la base). On
applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OAC$, il vient~:
\[AC^2=AO^2+OC^2\;,\]
donc $OA^2=AC^2-OC^2=4-1=3$ et $OA=\sqrt{3}$.

\item Dans ce repère, on calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}\dbinom{-1}{-\sqrt{3}}$,\linebreak
$\gvec{BC}\dbinom{2}{0}$ et $\gvec{AC}\dbinom{1}{-\sqrt{3}}$.


\item On constate $\gvec{CD}=\gvec{CB}+\gvec{BD}$ (relation de Chasles). On en déduit~:
\[\gvec{CD}=\gvec{CB}+k\gvec{AB}=k\gvec{AB}-\gvec{BC}.\]

De même, $\gvec{AE}=\gvec{AC}+\gvec{CE}=\gvec{AC}+k\gvec{BC}$.

On en déduit les coordonnées de $\gvec{CD}\dbinom{-k-2}{-k\sqrt{3}}$ et donc~:
\[CD^2=(-k-2)^2+3k^2=4k^2+4k+4.\]
Les coordonnées de $\gvec{AE}\dbinom{1+2k}{-\sqrt{3}}$ donnent~:
\[AE^2=(1+2k)^2+3=4k^2+4k+4.\]
On constate~: $AE=CD$.
\end{questions}
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