\begin{questions}
\item \begin{methode}
Quand on nous demande la nature d'un triangle, il faut penser à : \og rectangle \fg, \og isocèle \fg{} et \og équilatéral. \fg{} Connaître \emph{la mesure des trois côtés}, ou leurs carrés, est donc suffisant.
\end{methode}

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
AB^2 & = \big(3-(-1)\big)^2 + (-2-0)^2\\
& = 4^2 + (-2)^2\\
& = 20.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
AC^2 & = \big(1-(-1)\big)^2 + (4-0)^2\\
& = 2^2 + 4^2\\
& = 20.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
BC^2 & = (1-3)^2 + \big(4-(-2)\big)^2\\
& = (-2)^2 + 6^2\\
& = 40.
\end{aligned}$
\end{itemize}

On constate donc que :
\begin{itemize}
\item $AB^2=AC^2$, donc $AB=AC$ ;
\item $BC^2=AB^2+AC^2$.
\end{itemize}
Ainsi, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$.

\item Nous savons que le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Ainsi, $K$ est le milieu de $[BC]$; donc :
\[
x_K=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3+1}{2}=2\quad\text{et}\quad y_K=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-2+4}{2}=1.
\]
Donc $K(2~;1)$.

\Par

Le rayon de $\cal C$ est la moitié de $BC$ donc :
\[
r=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{40}}{2}.
\]
\begin{Remarque}
on peut aller plus loin dans la simplification de cette dernière fraction en remarquant que $40=2^2\times10$ et donc que :
\[
\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}.
\]
Ainsi, $r=\sqrt{10}$.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{2em}

\item Afin de voir si $D$ appartient à $\cal C$, nous pouvons calculer par exemple $DK$ et vérifier si le résultat est égal à $r$, ou bien (ce qui est plus simple), vérifier que $DK^2=r^2=10$.
\[
DK^2=(2-3)^2+(1-4)^2=(-1)^2+(-3)^2=10.
\]
$D$ appartient donc à $\cal C$.
\end{questions}
