\begin{questions}
\item Nous allons calculer les longueurs des trois côtés de $ABC$.
Utilisons la formule de calcul de la distance :
\begin{align*}
AB&=\sqrt{(5-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.\\
AC&=\sqrt{(7-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5^2+1}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.\\
BC&=\sqrt{(7-5)^2+(0-3)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
\end{align*}
Il devient clair que $ABC$ est isocèle en $B$. De plus, on a :
\[AB^2+BC^2=13+13=26=AC^2.\]
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$.

\item \begin{questions}
\item
En s'y prenant par le bon bout, on évite quelques calculs. En effet,
il n'est pas difficile de constater que $E$ est bien le milieu de $[AC]$
car $\dfrac{9}{2}=\dfrac{2+7}{2}$ et $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1+0}{2}$.

Or, le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est
aussi le centre de son cercle circonscrit, donc
$EA=EB=EC$.
Puisque $AC=\sqrt{26}$, on a :
\[AE=EC=\frac{\sqrt{26}}{2}.\]

Finalement, $A$, $B$ et $C$ sont des points de ${\cal C}$.

\item $\mathcal{C}$ n'est autre que le cercle
de centre $E$ passant par $A$ :
\begin{center}
\includegraphics{248_06-06}
\end{center}
\end{questions}

\item Comme $ABC$ est isocèle et rectangle en $B$, on a nécessaire\-ment\\
$\widehat{ACB}=45^\circ$.
\end{questions}
