\begin{questions}
\item Notons $D(x~;y)$. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si :
\begin{align*}
\gvec{AB}=\gvec{DC} & \iff \dbinom{-6-3}{2-5}=\dbinom{-4-x}{-4-y}\\
& \iff \begin{cases}
-9=-4-x\\
-3=-4-y
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
x=-4+9=5\\
y=-4+3=-1
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi, $D(5~;-1)$.

\item
\begin{questions}
\item \begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
AC^2 & = (-4-3)^2 + (-4-5)^2~;\\
& = 49+81\\
AC & = \sqrt{130}.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
~~BD^2 & = (5+6)^2 + (-1-2)^2\\
& = 121+9\\
~~BD & = \sqrt{130}.
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item On constate alors que les diagonales du parallélogramme $ABCD$ ont la même longueur, donc $ABCD$ est un rectangle.

De plus, d'après les calculs précédents, $AB=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$, qui est différent de $AD$, côté du carré, donc ce n'est pas un carré.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{3}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{7}{2}$.

Donc $M\left(-\dfrac{3}{2}~;\dfrac{7}{2}\right)$.

\item $\gvec{BC}\dbinom{2}{-6}$ et $\gvec{OM}\dbinom{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}$. Regardons s'ils sont colinéaires :
\[
2\times\dfrac{7}{2}-(-6)\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=7-9=-2\neq0.
\]
Donc $\gvec{BC}$ et $\gvec{OM}$ ne sont pas colinéaires, ce qui montre que les droites $(BC)$ et $(OM)$ ne sont pas parallèles.
\end{questions}

\item Notons $N(x~;0)$ (car $N$ est sur l'axe des abscisses, donc son ordonnée est nulle). $(AO)$ et $(MN)$ sont parallèles si et seulement si :
\begin{align*}
\gvec{OA}\dbinom{3}{5}\text{ et }\gvec{MN}\dbinom{x+\frac{3}{2}}{0-\frac{7}{2}}\text{ colinéaires} & \iff 3\left(0-\dfrac{7}{2}\right)-5\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=0\\
& \iff -\dfrac{21}{2}-5x-\dfrac{15}{2}=0\\
& \iff -\dfrac{36}{2}-5x=0\\
& \iff x = -\dfrac{18}{5}.
\end{align*}
\end{questions}
