\begin{questions}
\item \mbox{}\\[-18pt]
\begin{center}
\includegraphics{253_06-05}
\end{center}

\item Méthode~1~: On calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
et\linebreak $\gvec{EF}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$.

Ces coordonnées sont proportionnelles donc
les deux vecteurs sont\linebreak$\emph{colinéaires}$~: les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont donc parallèles.

\Par

Méthode~2~: On calcule le coefficient directeur des droites $(AB)$ et $(EF)$. Pour $(AB)$, on a~:
\[\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-3}{5-3}=\frac{-1}{2}.\]
On obtient le même coefficient directeur pour la droite $(EF)$, donc $(AB)~//~(EF)$.

\item
On calcule les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$, par la formule habituelle~:
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2(y_B-y_A)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.\]
De même, $AC=2\sqrt{5}$ et $BC=5$.

On applique alors la réciproque du théorème de Pythagore~: \[AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2\]
donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

\item
\begin{questions}
\item On obtient~: $FG=10$, $EF=2\sqrt{5}$ et $EG=4\sqrt{5}$.
\item On constate~:
\[\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\;,\quad \frac{AC}{EG}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\;,\quad \frac{BC}{FG}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.\]

\Par

Les côtés des triangles $ABC$ et $EFG$ sont donc proportionnels.
\end{questions}
\end{questions}
