Dans cet exercice, on utilise à plusieurs reprises la formule permettant de
calculer la distance entre deux points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé :
\[AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2.\]
On commence par une figure, où l'on place les points au fur et à mesure (voir page ci-contre).
\begin{questions}
\item Nous allons appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. On calcule
les carrés des côtés :
\begin{align*}
MN^2&=(1-(-1))^2+(-5-1)^2=2^2+6^2=4+36=40.\\
MP^2&=(-4-(-1))^2+(-1)^2=3^2+1^2=9+1=10.\\
PN^2&=(1-(-4))^2+(0-(-5))^2=5^2+5^2=25+25=50.
\end{align*}
On constate : $MN^2+MP^2=PN^2$ donc le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.

\begin{center}
\includegraphics{255_06-07}
\end{center}

\item Pour montrer que $MNRS$ est un parallélogramme, on a deux méthodes
possibles utilisant les coordonnées :
\begin{itemize}
\item \emph{Avec les vecteurs.} On calcule les coordonnées de :
\[\gvec{MN}\,\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad \gvec{SR}\,\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}.\]
On constate $\gvec{MN}=\gvec{SR}$ donc $MNRS$ est un parallélogramme.
\item \emph{Avec les milieux.} Le milieu de $[MR]$ a pour coordonnées : \linebreak
$\left(\dfrac{-1+7}{2}~;\dfrac{1-3}{2}\right)$, donc
$(3~;-1)$. Le milieu de $[SN]$ a les mêmes coordonnées.
$[MR]$ et $[SN]$ ont même milieu, on en déduit que $MNRS$ est un parallélogramme.
\end{itemize}

\item Là encore, deux méthodes possibles :
\begin{itemize}
\item \emph{Avec les vecteurs.} $L$ est le milieu de $[ST]$ et de $[MV]$ donc $MTVS$ est un parallélogramme,
et $\gvec{MS}=\gvec{TV}$. On calcule :
\[\gvec{MS}\,\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}.\]
Notons $V(x,y)$. Les coordonnées de $\gvec{TV}$ sont :
\[\gvec{TV}\,\begin{pmatrix}x+2\\ y-4\end{pmatrix}.\]
Il n'y a plus qu'à résoudre le système :
\[\begin{cases} x+2=6\\y-4=2\end{cases}\]
D'où $x=4$ et $y=6$. Il vient : $V(4,6)$.

\item \emph{Avec les milieux.} On calcule les coordonnées de $L$, milieu de $[ST]$ :
\[L\,\left(\dfrac{5-2}{2}~;\dfrac{3+4}{2}\right).\]
donc $\displaystyle L\left(\frac{3}{2}~;\frac{7}{2}\right)$.

Notons $V(x,y)$ ~; $L$ étant le milieu de $[MV]$, ses coordonnées s'écrivent également :
\[L\,\left(\dfrac{x-1}{2}~;\dfrac{y+1}{2}\right).\]
On identifie, on obtient le système :
\[\begin{cases} \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{3}{2}\\
\mbox{~} \\
\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{7}{2} \end{cases}\]
On obtient $x=4$ et $y=6$, et donc $V(4~;6)$.
\end{itemize}

\item
On calcule les coordonnées des vecteurs $\gvec{MV}\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$
et $\gvec{MH}\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$.
On constate que $\gvec{MV}$ et $\gvec{MH}$ sont colinéaires (coordonnées proportionnelles),
donc $M$, $V$ et $H$ sont alignés.

De même :
\[\gvec{NP}\,\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}\text{ et }\gvec{NH}\,\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}.\]
$\gvec{NP}$ et $\gvec{NH}$ sont colinéaires, donc $N$, $P$ et $H$ sont alignés.

On en conclut que les droites $(MV)$ et $(NP)$ se coupent en $H$.

\item Montrer que $(MV)$ est perpendiculaire à $(NP)$ revient à montrer que $MHP$ est un
triangle rectangle. On calcule comme à la première question :
\begin{align*}
MH^2&=8,\\
PH^2&=2,\\
MP^2&=10.
\end{align*}
$MP^2=MH^2+PH^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $MPH$ est un triangle rectangle en $H$.
Donc $(MV)$ est perpendiculaire à $(NP)$.

\item On calcule encore $HN^2=32$. L'égalité demandée ne concerne que des nombres positifs,
on obtient une égalité équivalente en élevant au carré. Montrons donc que :
\[MH^4=HN^2\times HP^2.\]
On a $HN^2=32$, $HP^2=2$ et $MH^2=8$ donc $MH^4=64$. On a bien $64=32\times 2$, donc
l'égalité $MH^4=HN^2\times HP^2$ est vraie, et donc :
\[MH^2=HN\times HP.\]
\end{questions}
