\begin{questions}
\item L'image d'une droite par une translation est une
droite parallèle, donc l'image de $(\mathcal{D}_1)$ est une droite dont l'équation est de la forme : $y=x+c$. Pour calculer $c$, choisissons au hasard un point de $\mathcal{D}_1$.

Appelons $M$ le point de coordonnées $(1~;-1)$, qui est bien sur $(\mathcal{D}_1)$. Son image par la translation de vecteur $\vec{u}\dbinom{-1}{2}$
a pour coordonnées\linebreak $(1-1~;-1+2)$, soit : $(0~;1)$.

On obtient donc $1=0+c$, soit : $c=1$.
Une équation de l'image de $(\mathcal{D}_1)$ est donc :

\[y=x+1.\]

\item De même, l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Une équation de l'image de $(\mathcal{D}_2)$ est donc de la
forme :

\[y=\frac{1}{2}x+c.\]

Pour calculer $c$, on choisit au hasard un
point de $\mathcal{D}_2$.

Notons $N$ le point de coordonnées $(1~;1)$, qui est sur $(\mathcal{D}_2)$.
Pour calculer les coordonnées de son image $N'(x~;y)$ par la symétrie de centre
$\Omega$, écrivons que $\Omega$ est le milieu de $[NN']$ :

\[\gvec{NN'}=2\gvec{N\Omega}.\]

Les coordonnées des deux vecteurs sont : $\gvec{NN'}\dbinom{x-1}{y-1}$ et $2\gvec{N\Omega}\dbinom{2(-1-1)}{2(2-1)}$, soit $\dbinom{-4}{2}$.
On obtient le système :
\[\begin{cases}x-1=-4\\y-1=2\end{cases}\]
qui fournit les coordonnées $(-3~;3)$ de $N'$.

L'image de $(\mathcal{D}_2)$ passe par $N'$, donc :
\[3=\frac{1}{2}\times(-3)+c\;,\]

d'où $c=\dfrac{9}{2}$. On obtient une équation de l'image de $\mathcal{D}_2$ :
\[y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}.\]
\end{questions}
\begin{center}
\includegraphics{282_07-05}
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