\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Si $D_m$ doit passer par $A$, on doit avoir :
\begin{align*}
1=\frac{2m-1}{m-3}\times1+\frac{-7m+6}{m-3}
&\iff 1=\frac{2m-1-7m+6}{m-3}\\
&\iff 1= \frac{-5m+5}{m-3}\\
&\iff m-3=-5m+5\\
&\iff 6m=8\\
&\iff m=\dfrac{4}{3}.
\end{align*}
Donc:
\[ D_m\;:\;y=-x+2.\]
\item Par la même méthode, on remplace $x$ et $y$ par $0$ dans l'équation, et on obtient $-7m+6=0$, donc $m=\dfrac{6}{7}$.
\[ D_m\;:\;y=-\dfrac{1}{3}x.\]

\item $D_m$ est parallèle à l'axe des abscisses quand son coefficient directeur est nul, donc quand $\dfrac{2m-1}{m-3}=0$, d'où : $m=\dfrac{1}{2}$.
\[ D_m\;:\;y=-1.\]
\end{questions}
\item
\begin{questions}
\item L'équation réduite de $D_m$ est du type $y=ax+b$ (et non $x=c$), il s'agit \emph{toujours} d'une droite
dite \og oblique \fg, c'est-à-dire qu'elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

\item $D_m$ et $\Delta$ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux, il vient :
$\begin{aligned}[t]
 & \frac{2m-1}{m-3}=3\\
\iff\ & 2m-1=3m-9\\
\iff\ & 8=m.
\end{aligned}$

\item $D_m$ admet $-2$ comme coefficient directeur si $\dfrac{2m-1}{m-3} = -2$ et $m\not=3$. On obtient :
\begin{align*}
(2m-1) &= -2 \times (m-3)\\
2m-1 &= -2m + 6\\
4m &= 7\\
m & =\frac{7}{4}.
\end{align*}
\end{questions}

\item Une méthode simple (et qui marche !), consiste à chercher
l'intersection de deux droites particulières, et à vérifier que le point
ainsi trouvé est sur toutes les droites $D_m$.

Nous vous proposons $m=2$ et $m=4$, ce qui permet d'avoir des dénominateurs $m-3$
peu encombrants. Les équations pour ces droite sont :
\begin{itemize}
\item $D_2$ : $y=-3x+8$
\item $D_4$ : $y=7x-22$
\end{itemize}
Il n'y a plus qu'à résoudre le système :
\begin{align*}
\begin{cases} y=-3x+8\\y=7x-22\end{cases}
&\iff \begin{cases}-3x+8=7x-22\\ y=-3x+8\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}30=10x \\ y=-3x+8\end{cases}\\
&\iff \begin{cases}x=3\\ y=-1\end{cases}
\end{align*}
Les droites $D_2$ et $D_4$ se coupent au point $K(3~;-1)$. Vérifions que ce point appartient bien à toutes les droites $D_m$. Autrement dit, on vérifie que les coordonnées $(3~;-1)$ sont bien solutions de l'équation de la droite :
\[\frac{2m-1}{m-3}\times3+\frac{-7m+6}{m-3}
=\frac{6m-3-7m+6}{m-3}=-1\;,\]
donc $K$ appartient bien à $D_m$, quel que soit $m$.

On peut utiliser une méthode plus \og{}originale\fg{} en réorganisant l'équation de la droite $D_m$, non plus comme une équation en $x$ et en $y$, mais
comme une équation en $m$, ce qui donne, au lieu de :
\[y=\frac{2m-1}{m-3}x+\frac{-7m+6}{m-3}\]
l'équation :
\[(2m-1)x+(3-m)y-7m+6=0.\]
On développe :
\[2mx-x+3y-my-7m+6=0\]
et on regroupe les termes :
\[(2x-y-7)m-x+3y+6=0.\]
Cette égalité doit être vraie {\em quel que soit le nombre $m\not=3$}.
On est en présence d'une fonction affine de $m$ : $m\mapsto am+b$, qui est toujours
nulle. Les coefficients $a$ et $b$ sont donc égaux à $0$.
On est
amené à résoudre le système :
\[\begin{cases}2x-y-7=0\\ -x+3y+6=0\end{cases}\]
Vous pouvez procéder par combinaison et résoudre ce système. On obtient encore les coordonnées de $K(3~;-1)$.
\end{questions}
