\begin{questions}
\item {Il est clair d'après l'énoncé que l'aller s'est effectué vers l'aval, alors que le retour était vers l'amont. \`A l'aller, il faut ajouter la vitesse de la rivière à la vitesse propre du bateau alors qu'au retour, il faut la soustraire. Notons $v$ la vitesse du canot et $v_R$ la vitesse de la rivière. On note $t_1$ le temps à l'aller, $t_2$ le temps au retour, et $t$ le temps mis par le radeau. Le radeau se déplace à la vitesse $v_R$.

La seule constante de l'exercice, c'est la distance entre $A$ et $B$.
On peut l'écrire de trois façons différentes :
$(v+v_R)t_1$, $(v-v_R)t_2$ et $v_R t$.
On en déduit :
\[v+v_R=\dfrac{v_Rt}{t_1}\text{ et }v-v_R=\dfrac{v_Rt}{t_2}.\]
Soustrayons ces deux égalités membre à membre pour éliminer $v$.
\[2v_R=\dfrac{v_Rt}{t_1}-\dfrac{v_Rt}{t_2}.\]
En simplifiant par $v_R$ et en mettant $t$ en facteur :
\[2=t\left(\dfrac{1}{t_1}-\dfrac{1}{t_2}\right).\]
On calcule simplement :
\[\dfrac{1}{t_1}-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7,5}=\dfrac{3}{15}-\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{15}.\]
On en déduit : $t=30$. Le radeau met trente heures pour aller de $A$ à
$B$ (remarque : il ne peut pas faire le trajet inverse, n'est-ce-pas ?)
}
\item {En notant $t_3$ le nouveau temps mis au retour, on obtient :
\[(v+1{,}6-v_R)t_3=v_Rt\text{ donc }v-v_R+1{,}6=\dfrac{v_Rt}{t_3}.\]
On sait que $v-v_R=\dfrac{v_Rt}{t_2}$, on a donc :
\[\dfrac{v_Rt}{t_2}+1{,}6=\dfrac{v_Rt}{t_3}.\]
En factorisant :
\[1{,}6=v_Rt\left(\dfrac{1}{t_3}-\dfrac{1}{t_2}\right).\]
$t_3=\text{7h30min} - \text{45min} = 7,5-0,75 = 6,75$. Calculons :
\[\dfrac{1}{t_3}-\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{6,75}-\dfrac{1}{7,5}
=\dfrac{4}{27}-\dfrac{4}{30}=\dfrac{40}{270}-\dfrac{36}{270}=\dfrac{4}{270}.\]
Il vient :
\[v_R=\dfrac{1{,}6\times 270}{4\times 30}=3,6\text{ km/h}.\]
\enlargethispage*{2em}
Pour trouver la vitesse du canot, on utilise
\[(v+v_R)t_1=v_Rt\iff 5v+18=108 \iff 5v=90 \iff v= 18.\]
Le canot se déplace à 18 km/h.
}
\end{questions}
