La difficulté de cet exercice est de trouver la propriété des médiatrices qu'il faut utiliser. On sait que tout point $M$ de coordonnées $(x~;y)$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est équidistant de $A$ et $B$, c'est-à-dire : $AM=BM$.

En élevant au carré et en tenant compte de $A(1~;0)$ et $B(4~;2)$, il vient :
\begin{align*}
AM^2=BM^2
&\iff (x-1)^2+y^2=(x-4)^2+(y-2)^2\\
&\iff x^2-2x+1+y^2=x^2-8x+16+y^2-4y+4\\
&\iff -2x+1=-8x-4y+20\\
&\iff 4y=-6x+19\\
&\iff y=-\frac{3}{2}x+\frac{19}{4}\text{ (car $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$).}
\end{align*}
Une équation de la médiatrice est donc :
\[y=-\frac{3}{2}x+\frac{19}{4}.\]
