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%\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item Dans le repère $(O,A,B)$, on a : $O(0~;0)$, $A(1~;0)$,  $B(0~;1)$ et $D(k~;0)$ (car $\gvec{OD}=k\gvec{OA}$).
\item $(CD)$ est parallèle à $(AB)$. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
\[\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-1.\]
L'équation réduite de $(CD)$ est donc de la forme : $y=-x+c$. $(CD)$ passe par $D(k~;0)$,
donc $0=-k+c$, d'où l'équation réduite de $(CD)$ :
\[y=-x+k.\]
$C$ est sur l'axe des ordonnées (car $O$, $B$ et $C$ sont alignés) donc son ordonnée est l'ordonnée à l'origine de $(CD)$. On en déduit $C(0~;k)$.
\item $I$ est le milieu de $[AB]$. Or $A(1~;0)$ et $B(0~;1)$, d'où : \[I\left(\frac{1}{2}~;\frac{1}{2}\right).\]
 $J$ est le milieu de $[CD]$ ~; or $C(0~;k)$ et $D(k~;0)$ d'où : \[J\left(\frac{k}{2}~;\frac{k}{2}\right).\]
 Pour calculer les coordonnées de $K$, intersection des droites $(AC)$ et $(BD)$,  on écrit les équations de ces deux droites.\\
 Le coefficient directeur de $(AC)$ est :
\[\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{k}{-1}=-k.\]
Comme $(AC)$ passe par $C(0~;k)$, son ordonnée à l'origine est $k$, d'où\linebreak $(AC)$ : $y=-kx+k$.\\
 Le coefficient directeur de $(BD)$ est :
\[\frac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\frac{-1}{k}.\]
 Comme $(BD)$ passe par $B(0~;1)$, son ordonnée à l'origine est $1$, d'où\linebreak $(BD)$ : $y=\dfrac{-1}{k}x+1$.
 On résout le système :
\begin{align*}
\begin{cases}y=-kx+k\\ y=\dfrac{-1}{k}x+1\end{cases}
&\iff \begin{cases} -kx+k=\dfrac{-1}{k}x+1\\y=-kx+k\end{cases}\\
&\iff \begin{cases} \left(\dfrac{1}{k}-k\right)x=1-k\\y=-kx+k\end{cases}\\
&\iff \begin{cases} \dfrac{1-k^2}{k}x=1-k\\y=-kx+k\end{cases}
\end{align*}
On sait que $1-k^2=(1-k)(1+k)$, on obtient donc :
\[x=\frac{k(1-k)}{1-k^2}=\frac{k(1-k)}{(1-k)(1+k)}=\frac{k}{1+k}\]
et donc
\[y=-kx+k=\frac{-k^2}{1+k}+\frac{k+k^2}{1+k}=\frac{k}{1+k}.\]
On conclut :
\[K\left(\frac{k}{1+k}~;\frac{k}{1+k}\right).\]
Remarquons que les valeurs gênantes $k=0$, $k=1$ ou $k=-1$ sont impossibles :
\begin{itemize}
\item Si $k=0$, alors $\gvec{OD}=\vec{0}$ donc $O=D$, mais alors $C$, $B$ et $D$ sont alignés,
ce qui n'est pas possible car $ABCD$ est un trapèze.
\item Si $k=1$, alors $\gvec{OD}=\gvec{OA}$ donc $D=A$, ce qui contredit également la définition de $ABCD$.
\item Si $k=-1$, alors $\gvec{OD}=-\gvec{OA}$ signifie que $O$ est le milieu de $[AD]$. $O$ serait également, d'après la question 2, le milieu de $[BC]$, et donc $ABDC$ serait un parallélogramme, ce qui n'est pas possible.
\end{itemize}
\item  Pour les points $O$, $I$, $J$ et $K$, l'ordonnée est égale à l'abscisse,  donc ces quatre points sont sur la droite d'équation $y=x$.
\end{questions}
