\begin{questions}
\item On calcule la moyenne pondérée :
\[m=\frac{15\times 12{,}32+10\times 11{,}48}{25}=11{,}984.\]
$11{,}984$ est le résultat exact donné par la calculatrice. Pour formuler sa réponse, il
faut également s'interroger sur la précision des mesures des temps de chaque coureur.
Les moyennes sont données au centième près, il faut donc se contenter de ce niveau de
précision. Une réponse plus raisonnable est donc : $11,98$~s.

\item Pour connaître la variation, on calcule la moyenne pondérée des variations :
\[\Delta=\frac{15\times 0{,}21+10\times 0{,}13}{25}=0{,}178.\]
Au centième près, on calcule donc une amélioration de $0{,}18$ s de l'ensemble des
performances.

\item
La moyenne de l'ensemble des femmes (on la note $F$) est donnée par l'énoncé, compte
tenu de l'amélioration de leurs performances :
\[F=12{,}32-0{,}21=12{,}11\textup{ s}.\]

$\bar{x}$ la moyenne des femmes sélectionnées et $\bar{y}$ celle des autres femmes.

La moyenne du groupe féminin est la moyenne pondérée de $\bar{x}$  et $\bar{y}$, d'où
l'équation :
\begin{align*}
F&=\frac{10\bar{x}+5\bar{y}}{15}\\
& \iff 15\times F =  10 \bar{x}+5\bar{y}\\
& \iff \frac{15\times F-10 \bar{x}}{5} =\bar{y}.
\end{align*}
Comme $\bar{x}=11{,}97$ et $F=12{,}11$, il vient : $\bar{y}=12{,}39$.
\end{questions}
