IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 1 — #1

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 2 — #2

Remerciements

Les auteurs et l’équipe de Prepamath Édition tiennent à remercier Jean-Côme Charpentier et Jacques Louis pour l’aide précieuse qu’ils ont apportée à cet ouvrage.

Illustrations : Morgann Lechat, Mickaël Cellier, Stéphane Pasquet
Coordination éditoriale : François Déliac
Conception couverture : Simon Geliot

Votre avis nous intéresse : contact@prepamath.fr

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© PREPAMATH Éditions 2024 © Éditions NATHAN 2024 - ISBN 9782095038625

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 3 — #3

Avant-propos

Cet ouvrage est conforme au programme de la spécialité « Mathématiques » puisqu’il s’appuie sur les documents validés par le Conseil Supérieur des Programmes de l’Éducation Nationale. Il est composé pour chaque chapitre :

d’une partie Cours : les notions sont traitées du point de vue théorique, avec un maximum d’exemples afin de rendre cette théorie plus accessible;

d’une partie Exercices : les énoncés des exercices proposés sont donnés en contrôle par des enseignants dans les lycées de France. Ils sont classés par thème et par niveau de difficulté;

d’une partie Corrigés : pour chaque exercice, un corrigé clair est donné. Chaque corrigé se veut précis pour que l’élève puisse d’une part comprendre ce qui est attendu de lui ou d’elle, et d’autre part faire d’autres exercices similaires.

Cet ouvrage ne doit pas être perçu comme un substitut de cours, mais comme un complément au travail effectué en classe. Il permet dans certains cas d’avoir une autre approche des notions que celle de l’enseignant du lycée. Il offre l’opportunité de renforcer ses acquis à travers des exercices allant du basique au plus élaboré. Ainsi, l’ouvrage vous permettra au final de vous sentir plus à l’aise dans cette spécialité, à condition que vous suiviez les recommandations données dans la partie « Méthode de travail » qui suit (cf. page 6).

Pour finir, nous insistons sur le fait que malgré la vigilance que nous avons pu apportée à la conception de cet ouvrage, il se peut que certaines erreurs nous aient échappé. Aussi, nous remercions par avance tout lecteur et toute lectrice qui nous fera part de ses remarques et/ou suggestions afin d’améliorer encore cet ouvrage lors de futures rééditions à l’adresse mail suivante :

                     contact@prepamath.fr

Pour télécharger les programmes contenus dans cet ouvrage :

                 http://www.prepamath.fr/IL1M

Très bon entraînement à vous! L’auteur

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 4 — #4 Table des matières

1^{Chap} Le second degré  1

• Cours 1 • Interros 7 • Corrigés 19

2^{Chap} Dérivation  49

• Cours 49 • Interros 55 • Corrigés 63

3^{Chap} Applications de la dérivation  81

• Cours 81 • Interros 84 • Corrigés 90

4^{Chap} Fonction exponentielle  103

• Cours 103 • Interros 108 • Corrigés 116

5^{Chap} Suites numériques  133

• Cours 133 • Interros 143 • Corrigés 154

6^{Chap} Fonctions trigonométriques  181

• Cours 181 • Interros 188 • Corrigés 195

7^{Chap} Produit scalaire  209

• Cours 209 • Interros 216 • Corrigés 223

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 5 — #5
8^{Chap} Applications du produit scalaire  243

• Cours 243 • Interros 252 • Corrigés 258

9^{Chap} Probabilités conditionnelles  277

• Cours 277 • Interros 282 • Corrigés 292

10^{Chap} Variables aléatoires  307

• Cours 307 • Interros 312 • Corrigés 322

AnnexeListe des vidéos 341

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 6 — #6 Méthodes de travail

Tous les conseils qui suivent sont ceux utilisés par un grand nombre de majors (sortis premiers) de Polytechnique ou de l’ÉNA, par des professionnels de l’organisation et sont également recommandés par de nombreux professeurs. Pour en savoir plus sur le sujet, nous vous conseillons le livre « Comment travailler plus efficacement », par F. Déliac, U. Hadrien, E. Matrullo et E. Maurette, aux Éditions Prepamath.

Faire des « feed-back »

Le « feed-back » est le conseil le plus important et le plus utilisé par ceux qui réussissent brillamment leurs études. Il consiste à contrôler systématiquement, sans s’aider de notes, ce que l’on vient d’apprendre (exercices et cours). Ce contrôle peut se faire mentalement, oralement ou par écrit.

Dans les transports, essayez de vous rappeler mentalement, et sans vous aider de vos notes, le cours et les exercices vus le matin en classe (feed-back mental).

Après avoir relu votre cours le soir, essayez de retrouver par écrit les principaux paragraphes et démonstrations sans regarder votre leçon (feed-back écrit).

Après avoir résolu un problème, prenez 5 minutes pour contrôler par écrit que vous vous rappelez clairement l’énoncé ainsi que la démarche de résolution (feed-back écrit).

Expliquez à des amis la leçon que vous venez d’apprendre ou l’exercice que vous venez de résoudre : c’est un excellent feed-back oral. Choisissez le type de « feed-back » qui vous convient le mieux et faites-en le plus régulièrement possible (après chaque cours et chaque série d’exercices). Pour être efficace, un « feed-back » doit se faire sans l’aide de vos notes. Ainsi, faire des fiches de résumés de cours à partir de vos cahiers ouverts ne constitue nullement un « feed-back ».

Miser sur la qualité

De nombreux témoignages démontrent que pour obtenir de bons résultats, il est préférable de faire un nombre limité d’exercices, mais plus approfondis, que d’en survoler une grande quantité de piètre qualité. Une tendance très répandue consiste à abattre une grande quantité d’exercices, à la chaîne, mais superficiellement, en espérant que le jour du contrôle, l’on aura déjà vu ce type de problème et que l’on saura s’en souvenir. Cette méthode est absolument inefficace car la seule manière de se souvenir d’un exercice de mathématiques ou de physique, c’est de l’avoir parfaitement compris et assimilé.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 7 — #7

Ainsi :

À la fin d’un problème, prenez 5 à 10 minutes pour essayer de trouver un moyen de le généraliser ou de le compliquer (c’est ce que font souvent les professeurs pour concevoir leurs contrôles écrits); trouvez ce que cela pourrait changer dans la solution.

Prenez également l’habitude, après chaque exercice, de faire un « feed-back » en faisant ressortir la démarche générale et en tissant des liens avec le cours. Bref, il ne faut pas vous contenter de résoudre l’exercice, mais il vous faut lui apporter de la valeur ajoutée et vous interroger sur son contenu.

Idem pour le cours. Ne vous contentez pas de le parcourir de manière passive. Il vous faut avoir la rigueur d’effacer toutes les zones d’ombre. Pour chaque théorème, il faut vous demander quels types d’exercices son utilisation permettra de résoudre.

Travailler par « couches successives »

Cette méthode, très utile pour les étudiants préparant des examens ou des révisions, peut également être utilisée dès le lycée. On observe que pour apprendre un gros volume de cours, rien n’est plus inefficace que de l’attaquer de front, de manière linéaire. La bonne manière consiste à d’abord survoler l’ensemble, en ne retenant que la structure, c’est-à-dire les grands titres, ainsi que les noms des paragraphes (première couche, étape devant durer 5 minutes). Dans l’étape suivante (deuxième couche, d’une durée de 10 minutes), on reprend son cours du début en retenant cette fois également les théorèmes et résultats importants. Après cette deuxième couche, on a déjà une idée claire de la structure de l’ensemble du cours. On peut alors aborder la dernière étape (troisième couche) : on reprend son cours au début pour, cette fois-ci, l’étudier en profondeur en apprenant le détail des démonstrations.

Il est à noter que cette méthode peut être également appliquée avec succès à des matières littéraires, ainsi qu’aux révisions du bac de français. Par exemple :

Pour la préparation d’un contrôle, on commencera par passer en revue rapidement l’ensemble du cours et des exercices du chapitre précédemment étudiés, avant de les réviser en détail. Ainsi aura-t-on développé une compréhension synthétique et claire.

De même, avant d’aborder un problème volumineux (tel qu’un contrôle écrit), il est préférable de survoler l’ensemble du problème avant de l’attaquer.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 8 — #8

Travailler sa rapidité

Pour acquérir de la rapidité, 3 voies sont possibles :

Prenez l’habitude, en travaillant chez vous, de vous concentrer sur une seule chose à la fois, c’est-à-dire ne pas attaquer un problème ou une dissertation, en rêvassant à ce que vous pourriez trouver à manger dans le réfrigérateur ou en écoutant de la musique.

Prenez l’habitude de travailler chez vous dans les mêmes conditions qu’en devoirs surveillés. Le minutage de chacun des exercices de ce livre est fait en ce sens. Cependant, cela ne devrait pas, une fois la résolution faite, vous empêcher d’y réfléchir plus calmement afin de vérifier la bonne assimilation du problème. Si les seuls moments où vous vous pressez sont les contrôles écrits, vous ne deviendrez jamais rapide.

Essayez de contenir tout votre travail à la maison dans une plage horaire serrée. Engagez-vous, par exemple, à travailler chez vous tous les jours entre 18 h et 20 h et efforcez-vous de ne jamais déborder (quelle que soit votre charge de travail). En effet, si l’on ne se donne pas de limite de temps pour accomplir un travail, l’on a naturellement tendance à le laisser traîner en longueur et à rêvasser. L’étroitesse de la plage horaire vous obligera à ne pas vous endormir et à devenir efficace.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 9 — #9

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — page 10 — #10

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 1 — #11 1^{Chapitre}

Le second degré

Plan du chapitre

1. Polynôme du second degré

2. Racines d’un polynôme du second degré

3. Factorisation

Soit f ▷x◁ D x^{2} − x C 1, g▷x◁ D −2x^{2} C 7x − 3 et h▷x◁ D 4\sqrt{2}x − x^{2} − 8. Pour chaque trinôme donner :

ses racines (éventuelles);

sa factorisation (s’il est factorisable); son signe dans un tableau.

Exercice type

Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’École

Voir corrigé page 6

Il s’agit dans ce chapitre d’apprendre :

à résoudre une équation du type ax^{2} C bx C c D 0, (a D̸ 0); à étudier le signe du trinôme du second degré ax^{2} C bx C c (a D̸ 0).

1 Polynôme du second degré

1.1 Définitions

Définition 1 : polynôme du second degré

Soient a, b et c trois nombres réels, avec a D̸ 0. On appelle polynôme du second degré tout polynôme de la forme :

ax^{2} C bx C c.

Exemples (de polynômes du second degré) f ▷x◁ D 3x^{2} − 5x C 2, avec a D 3, b D −5 et c D 2. P ▷x◁ D −5x^{2} C 7, avec a D −5, b D 0 et c D 7.

g▷x◁ D \frac{1}{2}x^{2} C 8x, avec a D \frac{1}{2}, b D 8 et c D 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 2 — #12 COURS_{2}

Définition 2 : racine d’un polynôme

On appelle racine d’un polynôme P toute valeur r telle que P ▷r◁ D 0.

Exemple : posons P ▷x◁ D 3x^{2} − 5x C 2. Alors, r D 1 est une racine de P car :

P ▷1◁ D 3 × 1^{2} − 5 × 1 C 2 D 3 − 5 C 2 D 0.

1.2 Forme canonique d’un polynôme du second degré

Propriété 1

Quelles que soient les valeurs des réels a, b et c, le polynôme ax^{2}C bx C c peut s’écrire sous la forme :

a▷x − α◁^{2} C β, avec α D −\frac{b}{2a} et β D −\frac{b^{2} − 4ac}{4a} .

Cette écriture est appelée la forme canonique du polynôme.

Exemple : soit P ▷x◁ D 3x^{2} − 12x C 15. Cherchons sa forme canonique.

On calcule :

α D −\frac{b}{2a} D −\frac{−12}{2 × 3} D 2.

On calcule :

β D −\frac{b^{2} − 4ac}{4a} D −\frac{▷−12◁^{2} − 4 × 3 × 15}{4 × 3} D 3.

On conclut :

P ▷x◁ D 3▷x − 2◁^{2} C 3.

Définition 3 : discriminant d’un polynôme du second degré

Soit P ▷x◁ D ax^{2} C bx C c un polynôme du second degré. On appelle discriminant de P le nombre noté 1 (lire « delta ») défini par :

1 D b^{2} − 4ac.

Remarque : ce nombre intervient dans le calcul de β de la forme canonique.

En effet, β D −\frac{1}{4a}.

Propriété 2 : représentation graphique

La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole dont le sommet a pour coordonnées ▷α I β◁ et dont l’axe de symétrie a pour

équation x D α, soit x D −\frac{b}{2a}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 3 — #13 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{3} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Racines d’un polynôme du second degré

Retrouvez cette section de cours en vidéo.

Définition 4

On appelle équation du second degré toute équation de la forme P ▷x◁ D 0, où P est un polynôme du second degré.

Remarque : les solutions d’une équation du second degré sont donc les racines du polynôme du second degré associé à cette équation.

2.1 Recherches des éventuelles racines

2.1.1 -Généralités

Propriété 3

Soit P ▷x◁ D ax^{2} C bx C c un polynôme du second degré.

Si 1 < 0, alors P n’admet aucune racines réelles.

Si 1 D 0, alors P admet une racine réelle :

x_{0} D −\frac{b}{2a}.

Si 1 > 0, alors P admet deux racines réelles :

x_{1} D \frac{−b − \sqrt{1}}{2a}  et  x_{2} D \frac{−b C \sqrt{1}}{2a} .

2.1.2 -Racine évidente

Définition 5 : racine évidente

Soit P ▷x◁ D ax^{2} C bx C c. On dit que x_{1} est une racine évidente s’il est facile de voir que P ▷x_{1}◁ D 0.

Remarques

Dans la pratique, les racines évidentes prennent généralement leurs valeurs dans l’ensemble {−2I −1I 0I 1I 2}.

Si la somme des coefficients du polynôme vaut 0, alors 1 est une racine évidente.

Si a − b C c D 0 alors −1 est une racines évidente.

Pour les autres valeurs, il faudra être à l’aise avec le calcul mental.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 4 — #14 COURS_{4}

Exemples

P_{1}▷x◁ D 7x^{2} − 5x − 2.

a C b C c D 7 − 5 − 2 D 0 donc 1 est une racine évidente de P_{1}.

P_{2}▷x◁ D 8x^{2} C 5x − 3.

a − b C c D 8 − 5 − 3 D 0 donc −1 est une racine évidente de P_{2}.

2.1.3 -Somme et produits des racines

Propriété 4

Soit P ▷x◁ D ax^{2} C bx C c, avec 1 > 0.

Si x_{1} et x_{2} sont les deux racines de P alors :

x_{1} C x_{2} D −\frac{b}{a} et x_{1}x_{2} D \frac{c}{a}.

Cette propriété est très utile quand P admet une racine évidente pour trouver la seconde racine.

Exemple : soit f ▷x◁ D 5x^{2} C 9x − 14. a C b C c D 5 C 9 − 14 D 0 donc x_{1} D 1 est une racine évidente. D’après la propriété précédente, on déduit que la seconde racine x_{2} est telle que :

x_{1}x_{2} D \frac{−14}{5} soit x_{2} D −\frac{14}{5}.

Propriété 5

Soit f ▷x◁ D ax^{2} C bx C c, avec 1 > 0, où x_{1} et x_{2} sont les deux racines de f. Posons :

S D x_{1} C x_{2} et P D x_{1}x_{2}.

Alors, x_{1} et x_{2} sont aussi les racines du polynôme x^{2} − Sx C P.

Exemple : trouvez deux nombres x et y tels que x C y D 2 019 et xy D 778 500.

D’après la propriété précédente, x et y sont les racines du polynôme :

x^{2} − Sx C P D x^{2} − 2 019x C 778 500,

dont le discriminant est :

1 D 962 361 D 981^{2}.

On en déduit alors que :

x_{1} D \frac{2 019 − 981}{2} D 519

et

x_{2} D \frac{2 019 C 981}{2} D 1 500.

Les deux nombres sont donc 519 et 1 500.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 5 — #15 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{5} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.2 Interprétations graphiques

Si 1 < 0.

Le trinôme P n’a pas de racines

a > 0  a < 0

\begin{matrix}x & −∞ & & C∞ \\ P ▷x◁ & & C \end{matrix}  \begin{matrix}x & −∞ & & C∞ \\ P ▷x◁ & & − \end{matrix}

Si 1 D 0.

Le trinôme P a une racine double x_{0}

a > 0  a < 0

\begin{matrix}x & −∞ & & x_{0} & & C∞ \\ P ▷x◁ & & C & 0 & C \end{matrix}  \begin{matrix}x & −∞ & & x_{0} & & C∞ \\ P ▷x◁ & & − & 0 & − \end{matrix}

Si 1 > 0.

Le trinôme P a deux racines x_{1} et x_{2}

a > 0  a < 0

\begin{matrix}x & −∞ & & x_{1} & & x_{2} & & C∞ \\ P ▷x◁ & & C & 0 & − & 0 & C \end{matrix}  \begin{matrix}x & −∞ & & x_{1} & & x_{2} & & C∞ \\ P ▷x◁ & & − & 0 & C & 0 & − \end{matrix}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 6 — #16 COURS_{6}

3 Factorisation

Propriété 6

Soit P ▷x◁ D ax^{2} C bx C c un polynôme du second degré. Si 1 < 0, alors P ▷x◁ ne se factorise pas sur ℝ. Si 1 D 0, alors :

P ▷x◁ D a▷x − x_{0}◁^{2}.

Si 1 > 0, alors :

P ▷x◁ D a▷x − x_{1}◁▷x − x_{2}◁.

f ▷x◁ D x^{2} − x C 1. Son discriminant est : 1 D 1 − 4 D −3 < 0, donc f n’admet pas de racines réelles. Il n’est donc pas factorisable dans ℝ. De plus, f ▷x◁ est toujours du signe de a donc f ▷x◁ > 0 sur ℝ. g▷x◁ D −2x^{2} C 7x − 3. Son discriminant est : 1 D 7^{2} − 24 D 25 > 0 donc g admet deux racines réelles distinctes :

x_{1} D \frac{−7 − 5}{−4} D 3 et x_{2} D \frac{−7 C 5}{−4} D \frac{1}{2}.

On en déduit que g▷x◁ est factorisable sous la forme :

g▷x◁ D −2▷x − 3◁ ( x − \frac{1}{2}) D ▷x − 3◁▷1 − 2x◁

et :

x −∞  \frac{1}{2}  3  C∞
g▷x◁  − 0 C 0 −

h▷x◁ D −x^{2} C 4\sqrt{2}x − 8. Son discriminant est : 1 D (4\sqrt{2})^{2} − 32 D 0. Le trinôme admet donc une racine double :

x_{0} D \frac{−4\sqrt{2}}{−2} D 2\sqrt{2}.

On en déduit que h▷x◁ est factorisable sous la forme :

h▷x◁ D −(x − 2\sqrt{2}) ^{2}

et :

\begin{matrix}x & −∞ & & 2\sqrt{2} & & C∞ \\ h▷x◁ & & − & 0 & − \end{matrix}

Solution de l’exercice type

Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’École Voir énoncé page 1

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 7 — #17 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{7} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Résolution d’équations du second degré Corrigé p. 19 10 min

Sans résoudre l’équation, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1 L’équation 150x^{2} − 3x − 17,5 D 0 admet deux solutions réelles

distinctes. 2 Le trinôme du second degré −x^{2} C 6x − 9 est strictement négatif pour

tout réel x. 3 Si on multiplie par 2 tous les coefficients d’une équation du second

degré, alors ses solutions sont aussi multipliées par 2. 4 L’équation x^{2} − x C 15 D 0 n’a pas de solutions réelles.

5 x^{2} C 16 > 0 pour tout réel x.

2_{V/F} Propriétés d’un trinôme Corrigé p. 19 15 min

On considère la fonction f définie par f ▷x◁ D −10x^{2} C 5x C 1. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

1 La forme canonique de f ▷x◁ est −10 [ ( x C \frac{1}{4}) ^{2} C \frac{3}{80}] .

2 La courbe représentative de f admet un axe de symétrie d’équation

x D \frac{1}{4}.

3 Pour tout réel x, f ▷x◁ est négatif.

4 On peut exprimer f ▷x◁ comme produit de facteurs du premier degré dans ℝ.

3_{V/F} Signe de f ▷x◁ et de 1 Corrigé p. 19 15 min

Dans cet exercice, f ▷x◁ désigne le trinôme ax^{2} C bx C c, avec a D̸ 0. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant les réponses :

1 Si pour tout réel x, f ▷x◁ < 0, alors 1 < 0.

2 S’il existe deux réels α et β tels que f ▷α◁f ▷β◁ < 0, alors 1 ⩾ 0.

3 Si 1 < 0, alors pour tout réel x, f ▷x◁ < 0.

4 Si 1 > 0 et si α et β sont deux réels tels que x′ < α < x′′< β (x′et x′′étant les racines du polynôme), alors f ▷α◁f ▷β◁ < 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 8 — #18 INTERROS_{8}
4_{QCM} Signes et coefficients Corrigé p. 20 10 min

Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.

1 Le trinôme \frac{5}{2}x^{2} − 5x C 2

a admet pour racines \frac{−5 C \sqrt{5}}{5} et \frac{−5 − \sqrt{5}}{5} .

b se factorise sous la forme \frac{5}{2} ( x − \frac{5 − \sqrt{5}}{5} ) ( x − \frac{5 C \sqrt{5}}{5}) .

c n’est pas de signe constant sur ℝ. d est strictement négatif sur U − ∞ I 0T.

2 On considère la courbe représentée dans le repère orthonormé ci-dessous :

Une équation possible de cette courbe est :

a y D x^{2} − 4x C 17. b y D −3x^{2} − 4x C 1. c y D 2x^{2} − 4x C 2. d y D −2x^{2} C x C 3.

3 On considère le polynôme du second degré f ▷x◁ D −3x^{2} C bx C c. Alors on peut affirmer que, quels que soient les réels b et c : a f ▷x◁ est toujours positif ou nul. b f ▷x◁ n’est pas toujours positif. c f ▷x◁ est toujours inférieur ou égal à 0. d f ▷x◁ est toujours strictement négatif.

4 On considère la fonction trinôme f définie par f ▷x◁ D ax^{2} C bx C c, dont la représentation graphique est donnée page ci-contre. Si on note 1 le discriminant du trinôme, alors 1 et a sont :

a de même signe. b de signes contraires. c négatifs. d positifs.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 9 — #19 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{9} CORRIGÉS INTERROS COURS

Équations et trinômes du second degré

5Choisir les bonnes courbes_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} Corrigé ; p. 20 ; 5 min ; ⋆

Les courbes C_{1},C_{2} et C_{3} suivantes représentent respectivement les 3 fonctions polynômes du second degré, f_{1},f_{2} et f_{3}.

Parmi ces trois fonctions déterminer, en justifiant : 1 celles pour lesquelles le coefficient du terme de degré 2 est strictement

positif; 2 celles pour lesquelles le discriminant est négatif ou nul;

3 celles pour lesquelles le coefficient constant est strictement positif.

6Résolution d’équations_{Lycée Buffon, Paris} Corrigé ; p. 21 ; 5 min ; ⋆

Pour chaque expression ci-dessous, résoudre P ▷x◁ D 0. 1 P_{1}▷x◁ D −2x^{2} C 3x C 5.

2 P_{2}▷x◁ D −3x^{2} C 20x C 7.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 10 — #20 INTERROS_{10}
7Équation avec paramètre_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 21 ; 5 min ; ⋆

On considère l’équation x^{2} − ax − 1 D 0, où a désigne un nombre réel. Étudier le nombre de solutions de cette équation.

8Formes canoniques_{Lycée du Trapèze, Meudon} Corrigé ; p. 21 ; 10 min ; ⋆

Mettre les trinômes suivants sous leur forme canonique.

1 x^{2} − 12x ; 2 x^{2} − 12x C 5 ; 3 4x^{2} − 8x  4 4x^{2} − 8x − 16 ; 5 4x^{2} − 6x ; 6 4x^{2} − 6x C \frac{3}{8}

9Racines évidentes_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 22 ; 10 min ; ⋆

Trouver une racine évidente pour chacun des trinômes suivants, puis en déduire la valeur de la seconde racine. 1 x^{2} − 9x C 8. 2 −5x^{2} C 4x C 9. 3 101x^{2} − 100x − 1. 4 5x^{2} − 4x − 12.

10Trinôme avec paramètre_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} Corrigé ; p. 23 ; 15 min ; ⋆

Soit le trinôme −2x^{2} C mx − 1 défini sur ℝ. 1 Calculer le discriminant 1, puis déterminer les valeurs de m telles que

le trinôme admette deux racines distinctes. 2 Si l’une des racines est 1, déterminer la valeur de m et l’autre racine.

11Lecture graphique_{Lycée Hector Berlioz, Vincennes} Corrigé ; p. 23 ; 15 min ; ⋆

Soit h la fonction définie sur ℝ par h▷x◁ D 5x^{2} − 3x − 2. 1 Démontrer que la forme canonique de h▷x◁ est :

h▷x◁ D 5 ( x − \frac{3}{10}) ^{2} − \frac{49}{20}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 11 — #21 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{11} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 En déduire, parmi les graphiques suivants, lequel est celui de la représentation graphique de la fonction h. Justifier.

Figure a  Figure b  Figure c

3 Factoriser h▷x◁.

4 Donner alors, sans justifier, les coordonnées des points remarquables A, B, C et D placés sur le graphique choisi.

12Recherche des coefficients_{Lycée Edgar Quinet, Paris} Corrigé ; p. 24 ; 30 min ; ⋆

1 Soit f ▷x◁ D ax^{2} C 15x C c.

Trouver deux réels a et c de telle sorte que f ait pour racines \frac{4}{3} et −\frac{1}{2}.

2 Soit g▷x◁ D 7x^{2} C bx C 2. Déterminer les valeurs de b pour lesquelles

g n’admet pas de racines. 3 Une fonction trinôme du second degré admet un minimum égal à −1.

Combien a-t-elle de racines? 4 Une pelouse a la forme d’un rectangle dont la longueur est le double de

la largeur, une allée de 3 mètres l’entoure et l’aire totale de la pelouse et de l’allée est 360 m^{2}. Quelles sont les dimensions de la pelouse?

13À la recherche du nombre mystérieux_{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’Ecole} Corrigé ; p. 25 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On désigne par N un nombre entier de deux chiffres. Son chiffre des dizaines est x et son chiffre des unités y. La somme des chiffres est 14 et le produit de N par le nombre entier obtenu en inversant l’ordre des chiffres est 5 605. Déterminer N.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 12 — #22 INTERROS_{12}
14Équations non quadratiques_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 26 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre les équations suivantes : 1 3x^{4} − 5x^{2} − 2 D 0

2 2x^{3} − x C 4x^{2} D 0

15Droite et parabole (intersection)_{Lycée Saint-Just, Lyon} Corrigé ; p. 27 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est muni d’un repère ▷OI E ı, E ȷ◁. La parabole P a pour équation :

y D x^{2} .

1 (a) Construire P et la droite D d’équation :

y D −2x C 2 .

(b) Calculer les coordonnées des points d’intersection de P et D. 2 m étant un réel, D_{m} est la droite d’équation :

y D −2x C m .

(a) Montrer que D_{m} est parallèle à D.

(b) Déterminer m pour que la droite D_{m} coupe P en un seul point. Construire la droite correspondante et calculer les coordonnées du point d’intersection.

(c) Déterminer les valeurs m pour lesquelles la droite D_{m} coupe P en deux points distincts A_{m} et B_{m}. On appelle alors I_{m} le milieu de TA_{m}B_{m}U. Quel est l’ensemble des points I_{m} lorsque m varie?

16Problème ouvert_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} Corrigé ; p. 29 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On dispose d’une ficelle de 1 mètre que l’on coupe en deux morceaux, pas forcément égaux. Avec un des morceaux, on forme un carré, et avec l’autre, on forme un rectangle dont la longueur est le double de la largeur. Comment couper la ficelle de sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 13 — #23 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{13} CORRIGÉS INTERROS COURS

Inéquations du second degré

17Étude de signe_{Lycée Jean Puy, Roanne} Corrigé ; p. 30 ; 15 min ; ⋆

1 Étudier le signe de chacun des trinômes suivants : (a) A▷x◁ D x^{2} C x C 1.

(b) B▷x◁ D −\frac{1}{2}x^{2} C x − \frac{1}{2}.

(c) C▷x◁ D −2x^{2} C 7x − 6. 2 En déduire les solutions des inéquations :

B▷x◁ ⩾ 0 et C▷x◁ < 0.

18Résolution d’inéquations_{Lycée Notre-Dame-de-Toutes-Aides, Nantes} Corrigé ; p. 30 ; 20 min ; ⋆

Résoudre dans ℝ les deux inéquations suivantes :

1 \frac{1}{x − 1} < \frac{x C 1}{x − 2}.  2 \frac{x^{2} − 5x C 6}{x^{2} C 3x − 10} ⩽ 1.

19Étude de deux courbes_{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud} Corrigé ; p. 32 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soient f et g deux fonctions qui ont pour expressions respectives

f ▷x◁ D \frac{12x − 8}{6x − 3} et g▷x◁ D 3x − 2.

Étudier la position relative des deux courbes représentant f et g.

20Trinôme inconnu_{Lycée Paul Painlevé, Oyonnax} Corrigé ; p. 33 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Trouver les valeurs possibles du réel a telles que l’inéquation x^{2}Cax C4 ⩽ 0 n’ait pas de solution.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 14 — #24 INTERROS_{14}

Somme et produit de racines

21Somme et produit_{Lycée Saint-Louis-de-Gonzagues, Paris} Corrigé ; p. 33 ; 10 min ; ⋆

Trouver pour les sommes et produits suivants, les couples de réels correspondant : 1 a C b D 4, ab D 4. 2 a C b D 8, ab D 12. 3 a C b D 24, ab D 324.

22Dimensions d’un rectangle_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 34 ; 10 min ; ⋆

Trouver les dimensions d’un rectangle dont l’aire vaut 315 et dont le périmètre vaut 72.

23Second degré et géométrie_{Lycée Bouchardon, Chaumont} Corrigé ; p. 34 ; 15 min ; ⋆

1 Déterminer les dimensions d’un rectangle dont l’aire est 275 m^{2} et le

périmètre 72 m. 2 Calculer les longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle

dont l’hypoténuse mesure 5 cm et dont l’aire est 6 cm^{2}.

24Forme x^{2} − Sx C P D 0_{Lycée Saint-Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 35 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre dans ℝ les équations : 1 x^{2} − ▷3 C \sqrt{2}◁x C 3\sqrt{2} D 0. 2 2,7x^{2} C 8,1x − 10,8 D 0. 3 x^{2} − ▷α C β◁x C αβ D 0, avec α > β.

25Recherche de deux nombres_{Lycée Saint-Étienne, Rennes} Corrigé ; p. 35 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Peut-on trouver deux nombres réels x et y tels que la somme de leurs inverses soit \frac{1}{2} et la somme de leurs carrés \frac{25}{36} ? Justifier votre réponse.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 15 — #25 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{15} CORRIGÉS INTERROS COURS
26Trois nombres inconnus_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 36 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Trouver trois nombres entiers x, y et z tels que x < y < z et :

\{ \begin{matrix}x C y C z D 27 \\ xz C yz D 180 \\ xy D 35 \end{matrix}

Factorisations

27Factorisation d’un polynôme_{Lycée Pasteur, Neuilly} Corrigé ; p. 37 ; 20 min ; ⋆

Soit P ▷x◁ D 8x^{3} − 48x^{2} C 94x − 60. 1 En écrivant ▷a C b◁^{3} D ▷a C b◁^{2}▷a C b◁, développer, pour tous nombres

réels a et b, l’identité remarquable ▷a C b◁^{3}. 2 Déterminer les trois réels a, b et c tels que :

P ▷x◁ D a▷2x − 5◁^{3} C b▷2x − 5◁^{2} C c▷2x − 5◁ .

3 En déduire une factorisation de P ▷x◁. 4 Résoudre alors l’équation P ▷x◁ D 0.

28Fonction rationnelle_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 39 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Soit le polynôme :

P ▷x◁ D x^{4} C 6x^{3} − 11x^{2} − 60x C 100 .

1 Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction trinôme du second degré Q▷x◁ D ax^{2} C bx C c vérifie la relation :

P ▷x◁ D (Q▷x◁)^{2}.

2 Résoudre alors l’équation P ▷x◁ D 0. 3 (a) Trouver trois réels a, b, c tels que :

x^{3} C 6x^{2} C 6x C 5 D ▷x C 5◁▷ax^{2} C bx C c◁ .

(b) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction rationnelle f suivante et la simplifier :

f ▷x◁ D \frac{x^{4} C 6x^{3} − 11x^{2} − 60x C 100}{x^{3} C 6x^{2} C 6x C 5} .

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 16 — #26 INTERROS_{16}
29Recherche d’une fonction_{Lycée La Bruyère, Versailles} Corrigé ; p. 40 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Trouver une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère du plan a pour sommet le point S de coordonnées ▷−1 I 2◁ et

dont une racine vaut \frac{5}{2}.

Pour aller plus loin...

30Des techniques de résolution variées_{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse} Corrigé ; p. 41 ; 40 min ; ⋆

1 (a) Résoudre dans ℝ (en calculant le discriminant) l’équation :

u^{2} − 6u − 16 D 0 .

(b) En déduire les solutions de l’équation : ▷|x| − 2◁^{2} D 2 ▷|x| C 10◁. 2 (a) Résoudre dans ℝ (grâce à une racine apparente) l’équation :

u^{2} − 5u − 6 D 0 .

(b) En déduire les solutions de l’équation : \sqrt{15 − x} D x − 3. 3 (a) Résoudre dans ℝ (grâce à la forme canonique) l’équation

u^{2} − 7u C 6 D 0 .

(b) Un drapeau a pour dimensions 3 et 4 (en mètres) et la « croix blanche » est de largeur constante. Quelle est cette largeur sachant que l’aire de la croix est égale à l’aire rouge?

31Revenir au second degré_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pin-Justaret} Corrigé ; p. 42 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre dans ℝ les équations suivantes : 1 −6\sqrt{x} − 2x C 80 D 0. 2 2x^{4} − 24 − 2x^{2} D 0.

3 4x C \frac{8}{x} C 24 D 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 17 — #27 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{17} CORRIGÉS INTERROS COURS
32Choisir une méthode adaptée_{Lycée Saint-Martin, Pontoise} Corrigé ; p. 43 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre, le plus simplement possible, les équations suivantes : 1 x^{2} − 16 C 2▷x − 4◁ D 0.

2 x^{2} − 2,4x − 0,81 D 0.

3 \sqrt{2} C 2\sqrt{2}x D 4x.

4 \frac{x}{2} C 1 D \frac{x^{2}}{4}.

Algorithmes & programmation en Python

33

Affichage de plusieurs images

Corrigé ; p. 44 ; 5 min ; ⋆

On considère l’algorithme suivant :

 Pour x variant de -5 à 5 avec un pas de 0.5:
      f ← -3*(x+1)*(x+1)+4
      Afficher f
 Fin du Pour

1 Quel est le rôle de cet algorithme?

2 Écrire le programme Python correspondant à cet algorithme.

34

Tableau de valeurs

Corrigé ; p. 45 ; 10 min ; ⋆

Soient les fonctions f et g définies sur ℝ par :

f ▷x◁ D x^{2} − 4x C 2 et g▷x◁ D f ▷x C 2◁.

1 Écrire un algorithme permettant de construire un tableau de valeurs de f

et g sur l’intervalle T−5 I 5U avec un pas de 1, puis d’afficher les valeurs. 2 Écrire le programme Python correspondant. On mettra les différentes

valeurs de f dans une liste nommée F, et celles de g dans une liste G. Aide : on utilisera la méthode F.append(<valeur>) pour ajouter une valeur à la liste L.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 18 — #28 INTERROS_{18}
35Lunules_{Lycée Les Chartreux, Lyon} Corrigé ; p. 46 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Les unités de longueur sont en cm, et les unités d’aires sont en cm^{2}. Soit un demi-cercle ▷C◁ de centre O et de diamètre TABU, tel que AB D 8, et soit M un point mobile sur le segment TABU. On construit deux demi-cercles ▷D_{1}◁ et ▷D_{2}◁ de diamètres respectifs TAMU et TBMU. On pose x D AM.

Soit f ▷x◁ l’aire de la partie colorée.

1 Montrer que pour tout réel x de T0I 8U, f ▷x◁ D \frac{π}{4} ▷−x^{2} C 8x◁.

2 Déterminer les valeurs de x telles que l’aire de la surface colorée soit

supérieure ou égale à un quart de l’aire du demi-disque ▷C◁. 3 Dresser le tableau de variation de f sur T0I 8U et en déduire la position

du point M telle que l’aire de la surface colorée soit maximale. Donner cette aire maximale arrondie au cm^{2}.

4 Compléter le programme suivant, écrit en Python, afin que la fonction result(x) retourne si l’aire colorée est supérieure, inférieure ou égale à un quart de l’aire du disque ▷C◁ pour une valeur de x entrée en argument.

Python

 from math import pi
 def result(x):
     A1 = ...
     A2 = ...
     if ...:
         return "L'aire achurée est ..."
     elif ...:
         return "L'aire achurée est ..."
     else:
         return "Les deux aires ..."

Signe de f ▷x◁ et de 1 — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 19 — #29 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{19} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Résolution d’équations du second degré {Énoncé \atop p. 7}

1 Vrai. a D 150; c D −17,5. Les coefficients a et c étant de signe contraire, −4ac est strictement positif donc le discriminant est strictement positif. L’équation admet deux racines réelles distinctes.

MÉTHODE

Si a et c sont de signes contraires, le trinôme ax^{2} C bx C c admet deux racines réelles distinctes.

2 Faux. −x^{2} C 6x − 9 D −▷x − 3◁^{2}. Ce trinôme s’annule pour x D 3.

3 Faux. Les équations ax^{2} C bx C c D 0 et 2ax^{2} C 2bx C 2c D 0 sont

équivalentes et ont le même ensemble de solutions. 4 Vrai. Le discriminant de cette équation est strictement négatif.

5 Vrai. Pour tout réel x, x^{2}C16 ⩾ 16; x^{2}C16 est donc strictement positif.

2_{V/F} Propriétés d’un trinôme {Énoncé \atop p. 7}

1 Faux. En effet, f ▷0◁ D 1 et si on prend x D 0 dans la forme proposée,

on trouve −10 × ( \frac{1}{16} C \frac{3}{80}) , qui est un nombre négatif. Cette forme

canonique n’est donc pas celle de f ▷x◁. 2 Vrai. Toute fonction de la forme f ▷x◁ D ax^{2}CbxCc est représentée gra-

phiquement par une parabole qui admet la droite d’équation

x D −\frac{b}{2a} comme axe de symétrie, et ici, −\frac{b}{2a} D \frac{−5}{−20} D \frac{1}{4}.

3 Faux. Le discriminant de ax^{2} C bx C c vaut 1 D b^{2} − 4ac.

Ici, a D −10 et 1 D 65 > 0, donc le trinôme a deux racines et son signe n’est pas constant (voir cours page 3) : il est du signe de −a, donc positif, entre ses racines.

4 Vrai. Comme le trinôme a deux racines, il se factorise bien en un produit de deux facteurs du premier degré.

3_{V/F} Signe de f ▷x◁ et de 1 {Énoncé \atop p. 7}

1 Vrai. En effet, si 1 était positif ou nul, f aurait au moins une racine, c’est-à-dire qu’il existerait au moins un réel x tel que f ▷x◁ D 0, ce qui n’est pas le cas.

2 Vrai. Si 1 < 0, alors f ne changerait pas de signe sur ℝ, et f ▷α◁f ▷β◁ serait alors forcément positif.

Choisir les bonnes courbes — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 20 — #30 CORRIGÉS_{20}

3 Faux. Par exemple f ▷x◁ D x^{2} C 1 : on a 1 D −4 mais f ▷x◁ est positif

pour tout réel x. 4 Vrai. En effet, β étant à l’extérieur des racines, f ▷β◁ est alors du signe

de a, et α étant à l’intérieur des racines, f ▷α◁ est du signe de −a; f ▷α◁ et f ▷β◁ sont bien de signes opposés, et leur produit est négatif.

4_{QCM} Signes et coefficients {Énoncé \atop p. 8}

1 Réponses b et c . En effet, on calcule le discriminant du trinôme :

1 D 5. Le trinôme a donc deux racines \frac{5 C \sqrt{5}}{5} et \frac{5 − \sqrt{5}}{5} .

La réponse a est donc fausse. La factorisation proposée en b est exacte. Comme le trinôme admet deux racines distinctes, il n’est pas de signe constant, donc c est exacte. Par contre en −2 le trinôme prend la valeur positive 22, donc la réponse d est fausse.

2 Réponse c . La courbe est ouverte vers le haut, donc le coefficient de x^{2} est positif, ce qui élimine les choix b et d . La forme canonique permet de trouver l’abscisse du sommet dans les deux autres cas : 2 pour a et

\frac{4}{4} D 1 pour c , ce qui ne permet pas de les différencier. Par contre

pour la proposition a , la courbe coupe l’axe des ordonnées en 17, alors qu’elle la coupe en 2 pour le choix c . Comme le repère est orthonormé, même si on ne connaît pas l’échelle, il est évident que le choix a ne peut pas alors convenir. En effet, l’ordonnée du point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées semble environ égale au double de l’abscisse du sommet et ne peut donc pas être égale à 17.

3 Réponse b . Si le discriminant est négatif ou nul, le trinôme est toujours du signe de -3 ou nul, donc négatif ou nul, ce qui montre que la réponse a est fausse. Si le discriminant est strictement positif, le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre les racines. Cela montre que les réponses c et d sont fausses. Il est par contre exact de dire qu’il n’est pas toujours positif, même si le discriminant est négatif.

4 Réponses a et c . Le trinôme n’a pas de racine, donc le discriminant est strictement négatif. De plus le trinôme est toujours négatif, donc a est négatif. 1 et a sont donc de même signe et négatifs.

5Choisir les bonnes courbes_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} {Énoncé \atop p. 9}

1 Lorsque le coefficient du terme de degré 2 est positif, la parabole est ouverte vers le haut. C’est donc le cas de la fonction f_{1}.

Formes canoniques — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 21 — #31

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{21} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Lorsque le discriminant est négatif ou nul, le trinôme a au plus une racine, donc la parabole et l’axe des abscisses ont au plus un point en commun. C’est donc le cas des fonctions f_{1} et f_{3}.

3 Le terme constant est strictement positif lorsque l’image de 0 est strictement positive. C’est le cas des fonctions f_{1} et f_{2}.

6Résolution d’équations_{Lycée Buffon, Paris} {Énoncé \atop p. 9}

1 Pour P_{1}, on a 1 D 9 − 4 × ▷−2◁ × 5 D 49, d’où :

\{ \begin{matrix}x_{1} & D \frac{−3 C 7}{−4} D −1 \\ x_{2} & D \frac{−3 − 7}{−4} D \frac{5}{2} \end{matrix} S D \{−1 I \frac{5}{2}\} .

2 Pour P_{2}, on a 1 D 400 − 4 × ▷−3◁ × 7 D 484, d’où :

\{ \begin{matrix}x_{1} & D \frac{−20 C 22}{−6} D −\frac{1}{3} \\ x_{2} & D \frac{−20 − 22}{−6} D 7 \end{matrix} S D \{−\frac{1}{3} I 7\} .

7Équation avec paramètre_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 10}

Le discriminant du trinôme x^{2} − ax − 1 est :

1 D ▷−a◁^{2} − 4 × 1 × ▷−1◁ D a^{2} C 4.

Or, a^{2} ⩾ 0 pour tout réel a, donc a^{2} C 4 ⩾ 4 > 0 pour tout réel a. Ainsi, le discriminant est toujours strictement positif, ce qui signifie que l’équation x^{2} − ax − 1 D 0 admet toujours deux solutions distinctes.

8Formes canoniques_{Lycée du Trapèze, Meudon} {Énoncé \atop p. 10}

1 x^{2} − 12x. On calcule d’abord α :

α D −\frac{b}{2a} D −\frac{−12}{2 × 1} D 6.

Ensuite on calcule β en remplaçant x par α :

β D 6^{2} − 12 × 6 D 36 − 72 D −36.

Ainsi, x^{2} − 12x D ▷x − 6◁^{2} − 36.

Trinôme avec paramètre — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 22 — #32

CORRIGÉS_{22}

2 x^{2} − 12x C 5. D’après ce qui précède,

x^{2} − 12x C 5 D ▷x − 6◁^{2} − 36 C 5 D ▷x − 6◁^{2} − 31.

3 4x^{2} − 8x.

α D −\frac{−8}{2 × 4} D 1 et β D 4 × 1^{2} − 8 × 1 D −4.

Ainsi, 4x^{2} − 8x D 4▷x − 1◁^{2} − 4. 4 4x^{2} − 8x − 16. D’après ce qui précède,

4x^{2} − 8x − 16 D 4▷x − 1◁^{2} − 4 − 16 D 4▷x − 1◁^{2} − 20.

5 4x^{2} − 6x.

α D −\frac{−6}{2 × 4} D \frac{3}{4} et β D 4 × ( \frac{3}{4}) ^{2} − 6 × \frac{3}{4} D −\frac{9}{4}.

Ainsi, 4x^{2} − 6x D 4 ( x − \frac{3}{4}) ^{2} − \frac{9}{4}.

6 4x^{2} − 6x C \frac{3}{8}. D’après ce qui précède,

4x^{2} − 6x C \frac{3}{8} D 4 ( x − \frac{3}{4}) ^{2} − \frac{9}{4} C \frac{3}{8} D 4 ( x − \frac{3}{4}) ^{2} − \frac{15}{8}.

9Racines évidentes_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 10}

1 x^{2} − 9x C 8. La somme des coefficients est 1 − 9 C 8 D 0 donc x_{1} D 1 est une racine évidente. La seconde racine est alors x_{2} D \frac{c}{a} D 8.

2 −5x^{2}C4x C9. La somme des coefficients est −5C4C9 D 8 donc « 1 » n’est pas une racine évidente. Mais pour x D −1, on a : −5▷−1◁^{2} C 4▷−1◁ C 9 D −5 − 4 C 9 D 0. Donc x_{2} D −1 est une racine évidente. La seconde racine est donc x_{2} telle que x_{1}x_{2} D \frac{c}{a}, soit

−x_{2} D \frac{9}{−5} ; ainsi, x_{2} D \frac{9}{5}.

3 101x^{2} − 100x − 1. La somme des coefficients est nulle donc x_{1} D 1 est

une racine évidente. La seconde racine est donc x_{2} D −\frac{1}{101}.

4 5x^{2} − 4x − 12. Une racine évidente est x_{1} D 2 car :

5▷2◁^{2} − 4▷2◁ − 12 D 20 − 8 − 12 D 0.

La seconde racine est alors x_{2} telle que 2x_{2} D \frac{−12}{5} ; ainsi, x_{2} D −\frac{6}{5}.

Lecture graphique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 23 — #33

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{23} CORRIGÉS INTERROS COURS

10Trinôme avec paramètre_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} {Énoncé \atop p. 10}

1 On a 1 D m^{2} − 8. Le trinôme admet deux racines distinctes si et seulement si le discriminant est strictement positif. Il faut donc étudier le signe du trinôme en m : m^{2} − 8. La factorisation immédiate de ce trinôme en ▷m − 2\sqrt{2}◁▷m C 2\sqrt{2}◁ montre qu’il admet deux racines et comme le coefficient de m^{2} est positif, le trinôme est positif à l’extérieur des racines, c’est-à-dire sur ] − ∞ I −2\sqrt{2}[ ∪ ]2\sqrt{2} I C∞[.

Le trinôme −2x^{2}Cmx −1 admet donc deux racines distinctes pour tout réel m dans ] − ∞ I −2\sqrt{2}[ ∪ ]2\sqrt{2} I C∞[.

2 Si une des racines vaut 1, alors −2 × 1^{2} C m × 1 − 1 D 0, c’est à dire m D 3. On constate que 3 est bien dans l’ensemble trouvé question 1, et alors le trinôme a bien deux racines. Pour m D 3, le trinôme devient −2x^{2} C 3x − 1. 1 est racine, donc l’autre racine vaut :

\frac{c}{a} D \frac{−1}{−2} D \frac{1}{2}.

11Lecture graphique_{Lycée Hector Berlioz, Vincennes} {Énoncé \atop p. 10}

1 On développe l’expression proposée :

5 ( x − \frac{3}{10}) ^{2} − \frac{49}{20} D 5 ( x^{2} − \frac{6x}{10} C \frac{9}{100}) − \frac{49}{20}

D 5x^{2} − \frac{30x}{10} C \frac{9 − 49}{20}

D 5x^{2} − 3x − 2.

On retrouve bien l’expression de h▷x◁. 2 Le coefficient de x est positif, donc la parabole est ouverte vers le haut.

Le minimum de la fonction est atteint pour x D \frac{3}{10}. Il a donc une abscisse positive. Cela signifie que la représentation graphique de h est celle de la figure a.

3 À partir de la forme canonique, on peut factoriser h▷x◁ à l’aide de l’identité A^{2} − B^{2} D ▷A − B◁▷A C B◁. Cela donne :

h▷x◁D 5 [ ( x − \frac{3}{10}) ^{2} − \frac{49}{100}]

D 5 ( x − \frac{3}{10} − \frac{7}{10}) ( x − \frac{3}{10} C \frac{7}{10})

D 5▷x − 1◁ ( x C \frac{2}{5}) .

Recherche des coefficients — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 24 — #34 CORRIGÉS_{24}

4 Le point A correspond à la plus petite racine et a pour coordonnées

( −\frac{2}{5} I 0) .

Le point B est l’intersection avec l’axe des ordonnées et a pour coordonnées ▷0 I h▷0◁◁, donc ▷0 I −2◁. Le point C est le sommet dont les coordonnées se lisent dans la forme

canonique :( \frac{3}{10} I −\frac{49}{20}) .

Le point D correspond à la seconde racine, et a pour coordonnées ▷1 I 0◁.

12Recherche des coefficients_{Lycée Edgar Quinet, Paris} {Énoncé \atop p. 11}
1 \begin{aligned}f ( \frac{4}{3}) D 0 & ⟺ \frac{16}{9}a C 20 C c D 0. \\ f ( −\frac{1}{2}) D 0 & ⟺ \frac{1}{4}a − \frac{15}{2} C c D 0. \end{aligned}

On doit résoudre le système :

\{ \begin{matrix}\frac{16}{9}a C c & D −20 & ▷L_{1}◁ \\ \frac{1}{4}a C c & D \frac{15}{2} & ▷L_{2}◁ \end{matrix}

▷L_{1}◁ − ▷L_{2}◁ donne : ( \frac{16}{9} − \frac{1}{4}) a D −20 − \frac{15}{2},

soit \frac{55}{36}a D −\frac{55}{2} d’où a D −18.

En remplaçant a par −18 dans ▷L_{1}◁ on a alors −32 C c D −20, d’où c D 12. D’où :

\{ \begin{matrix}a & D −18 \\ c & D 12 \end{matrix}

2 Pour que l’équation g▷x◁ D 7x^{2} C bx C 2 D 0 n’admette pas de racine, il faut et il suffit que 1 < 0, soit :

1 D b^{2} − 56 < 0

soit encore :

(b − 2\sqrt{14})(b C 2\sqrt{14}) < 0 .

On a un trinôme du second degré négatif entre les racines, soit pour :

b ∈ ]−2\sqrt{14} I 2\sqrt{14}[ .

À la recherche du nombre mystérieux — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 25 — #35 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{25} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 La fonction f admet un minimum; on est donc dans le cas a > 0. Si on avait 1 ⩽ 0, f ▷x◁ serait, pour tout x réel, nul ou du signe de a, donc positif. Comme la valeur −1 est atteinte, 1 > 0, il y a deux racines distinctes.

4 Notons L la longueur et l la largeur de la pelouse, avec L D 2l. La longueur et la largeur totale de la surface délimitée par l’allée de trois mètres (qui correspond donc à la somme des surfaces de la pelouse et de l’allée) valent alors, respectivement L C 6 et l C 6, ainsi qu’on peut le voir sur le schéma page suivante.

L’aire totale vaut donc A D ▷L C 6◁▷l C 6◁ D 360, ce qui donne :

A − 360 D ▷2l C 6◁▷l C 6◁ − 360 D 2l^{2} C 18l C 36 − 360 D 0

d’où :

l^{2} C 9l − 162 D 0 .

On a alors 1 D 81 C 648 D 729, d’où les solutions :

( \begin{matrix}l & D 9 \\ ou \\ l & D −18 \end{matrix}

La seconde solution n’étant évidemment pas possible, la pelouse mesure donc 9 m de largeur sur 18 m de longueur.

13À la recherche du nombre mystérieux_{Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’Ecole} {Énoncé \atop p. 11}

Soit x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités de N. On a alors N D 10x C y avec x C y D 14. De plus, si on permute les chiffres de N, on obtient un nombre N′ qui a comme chiffre des dizaines y et comme chiffre des unités x. Donc :

N′D 10y C x.

La condition NN′D 5 605 s’écrit alors :

▷10x C y◁▷10y C x◁ D 5 605 .

Équations non quadratiques — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 26 — #36 CORRIGÉS_{26}

On résout le système :

\{ \begin{matrix}x C y D 14 \\ ▷10x C y◁▷10y C x◁ D 5 605 \end{matrix}

c’est-à-dire :

\{ \begin{matrix}y D 14 − x \\ − 81x^{2} C 1 134x − 3 645 D 0 . \end{matrix}

En simplifiant par −81, l’équation du second degré se ramène à :

x^{2} − 14x C 45 D 0.

Cette équation, dont le discriminant est 16, admet deux solutions : 9 et 5. On en déduit que le nombre N peut être soit 95 soit 59.

14Équations non quadratiques_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 12}

1 Résolution de l’équation 3x^{4} − 5x^{2} − 2 D 0.

On pose X D x^{2}. Alors,

3x^{4} − 5x^{2} − 2 D 0 ⟺ 3(x^{2})^{2} − 5▷x◁^{2} − 2 D 0
⟺ 3X^{2} − 5X − 2 D 0.

Le discriminant de 3X^{2} − 5X − 2 est :

1 D b^{2} − 4ac D ▷−5◁^{2} − 4 × 3 × ▷−2◁ D 25 C 24 D 49. Le trinôme admet donc deux racines :

X_{1} D \frac{−b − \sqrt{1}}{2a} D \frac{−▷−5◁ − \sqrt{49}}{2 × 3} D \frac{5 − 7}{6} D −\frac{1}{3}

et

X_{2} D \frac{−b C \sqrt{1}}{2a} D \frac{5 C 7}{6} D 2.

Il nous faut maintenant voir à quelles valeurs de x ces valeurs de X correspondent :

X_{1} D x_{1}^{2} D −\frac{1}{3} est impossible car un carré ne peut pas être négatif;

X_{2} D x_{2}^{2} D 2 donc x_{2} D −\sqrt{2} ou x_{2} D \sqrt{2}. Ainsi, l’ensemble solution de l’équation 3x^{4} − 5x^{2} − 2 D 0 est :

S D \{−\sqrt{2}I \sqrt{2}\}.

2 Résolution de l’équation 2x^{3} − x C 4x^{2} D 0.

2x^{3} − x C 4x^{2} D 0 ⟺ x▷2x^{2} C 4x − 1◁ D 0
⟺ x D 0 ou 2x^{2} C 4x − 1 D 0.

Droite et parabole (intersection) — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 27 — #37

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{27} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le discriminant de 2x^{2} C 4x − 1 est :

1 D 4^{2} − 4 × 2 × ▷−1◁ D 16 C 8 D 24.

Ses deux racines sont alors :

x_{1} D \frac{−4 − \sqrt{24}}{2 × 2} D \frac{−4 − 2\sqrt{6}}{4} D \frac{−2 − \sqrt{6}}{2}

et sa conjuguée :

x_{2} D \frac{−2 C \sqrt{6}}{2} .

Ainsi, l’ensemble solution de l’équation 2x^{3} − x C 4x^{2} D 0 est :

S D \{ \frac{−2 − \sqrt{6}}{2} I 0 I \frac{−2 C \sqrt{6}}{2} \} .

15Droite et parabole (intersection)_{Lycée Saint-Just, Lyon} {Énoncé \atop p. 12}

1 (a) La représentation de la parabole P et de la droite D est la suivante :

(b) Les abscisses des points d’intersection de P et de D sont solutions

de l’équation :

−2x C 2 D x^{2}.

Or :

x^{2} C 2x − 2 D 0 ⟺ ▷x C 1◁^{2} − 1 − 2 D 0
⟺ ▷x C 1◁^{2} D 3
⟺ x C 1 D \sqrt{3} ou x C 1 D −\sqrt{3}

d’où les racines :

x_{1} D −1 C \sqrt{3} et x_{2} D −1 − \sqrt{3}.

D coupe P en deux points de coordonnées respectives :

(−1 C \sqrt{3} I 4 − 2\sqrt{3}) et (−1 − \sqrt{3} I 4 C 2\sqrt{3}) .

Droite et parabole (intersection) — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 28 — #38

CORRIGÉS_{28}

MÉTHODE

On aurait aussi pu utiliser le discriminant pour trouver les racines.

2 (a) D_{m} a un coefficient directeur égal à −2, comme D : elle est donc

parallèle à D.

(b) Pour déterminer la droite qui a un seul point d’intersection avec P,

il suffit de résoudre l’équation :

−2x C m D x^{2} soit x^{2} C 2x − m D 0.

et de déterminer la condition pour laquelle il n’y a qu’une seule solution. On a 1 D 4 C 4m. Pour avoir une solution unique, il faut et il suffit que 1 D 0, soit m D −1. La solution est alors la racine double :

x D −\frac{b}{2a} D −\frac{2}{2} D −1

d’où :

y D ▷−1◁^{2} D 1 .

On a alors le graphe :

Le point d’intersection de D_{−1} et P a pour coordonnées ▷−1 I 1◁.

(c) On a deux points d’intersection lorsque 1 > 0, soit 4 C 4m > 0.

Soit finalement :

m > −1 .

Le milieu de TA_{m}B_{m}U a pour coordonnées :

( \frac{x_{A_{m}} C x_{B_{m}}}{2} I \frac{y_{A_{m}} C y_{B_{m}}}{2})

x_{A_{m}} et x_{B_{m}} étant les solutions de x^{2} C 2x − m D 0. On a :

x_{A_{m}} C x_{B_{m}} D \frac{−2 C \sqrt{4 C 4m}}{2} C \frac{−2 − \sqrt{4 C 4m}}{2} D −2

Étude de signe — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 29 — #39 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{29} CORRIGÉS INTERROS COURS

donc :

x_{I_{m}} D −1 .

A_{m} et B_{m} sont sur D_{m}, donc leur milieu I_{m} l’est aussi. Donc :

y_{I_{m}} D −2x_{I_{m}} C m D m C 2

d’où I_{m}▷−1 I m C 2◁, soit l’ensemble des points :

{▷−1 I 2 C m◁, m ∈]−1 I C∞[ } .

On obtient donc une demi-droite ouverte définie par : ▷x D −1,y > 1◁.

16Problème ouvert_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} {Énoncé \atop p. 12}

Appelons x la longueur, en mètres, de ficelle qui sert à former le carré, alors il reste 1 − x mètres pour former le rectangle. Puisque la longueur L du rectangle est deux fois sa largeur ℓ, le périmètre du

rectangle vaut 2▷ℓ C 2l◁ D 6l D ℓ − x. On en déduit que ℓ D \frac{1 − x}{6} .

De plus, le côté a du carré vérifie 4a D x.

L’aire du carré est donc ( \frac{x}{4})^{2} D \frac{x^{2}}{16}

et l’aire du rectangle est \frac{1 − x}{6} × 2 × \frac{1 − x}{6} D \frac{▷1 − x◁^{2}}{18}.

L’aire totale est donc égale à f ▷x◁ D \frac{x^{2}}{16} C \frac{▷1 − x◁^{2}}{18}. Le problème consiste donc à étudier si le polynôme du second degré f ▷x◁ admet un minimum, et si c’est le cas, déterminer pour quelle valeur de x il est atteint. En développant l’expression, on trouve :

f ▷x◁ D \frac{x^{2}}{16} C \frac{1}{18} − \frac{x}{9} C \frac{x^{2}}{18} ,

c’est-à-dire :

f ▷x◁ D \frac{17}{144}x^{2} − \frac{1}{9}x C \frac{1}{18}.

Le coefficient de x^{2} étant positif, on sait que cette fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum qui est atteint pour :

x D −\frac{b}{2a} D \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2 × 17}{144}} D \frac{1 × 144}{9 × 2 × 17} D \frac{8}{17}.

Le problème a donc bien une solution, en coupant un morceau de longueur

\frac{8}{17} de mètre pour faire le carré.

Résolution d’inéquations — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 30 — #40

CORRIGÉS_{30}

17Étude de signe_{Lycée Jean Puy, Roanne} {Énoncé \atop p. 13}

1 (a) Pour A▷x◁: 1 D −3. Le coefficient de x^{2} est 1, donc positif. A▷x◁ est toujours positif.

(b) Pour B▷x◁ : 1 D 1^{2} − 4 × ( −\frac{1}{2}) × ( −\frac{1}{2}) D 0.

Le trinôme s’annule pour x D \frac{−1}{2 × ( −\frac{1}{2})} D 1. Ailleurs, il est

toujours du signe du coefficient de x^{2}, donc il est toujours négatif.

(c) Pour C▷x◁ : 1 D 7^{2} − 4 × ▷−2◁ × ▷−6◁ D 1.

Le trinôme admet deux racines :

x_{1} D \frac{−7 − 1}{2 × ▷−2◁} D \frac{−8}{−4} D 2 et x_{2} D \frac{−7 C 1}{2 × ▷−2◁} D \frac{−6}{−4} D \frac{3}{2}.

Le trinôme est du signe du coefficient de x^{2}, donc négatif, à l’extérieur des racines, et positif entre les racines.

On résume les résultats dans les trois tableaux de signes suivants :

x  −∞  C∞
A▷x◁  C

\begin{matrix}x & −∞ & & 1 & & C∞ \\ B▷x◁ & & − & 0 & − \end{matrix}

x  −∞  \frac{3}{2}  2  C∞
C▷x◁  − 0 C 0 −

2 D’après les tableaux de signes, l’ensemble solution de B▷x◁ ⩾ 0 est {1},

et l’ensemble solution de C▷x◁ < 0 est ]−∞ I \frac{3}{2}[ ∪ U2 I C∞T.

18Résolution d’inéquations_{Lycée Notre-Dame-de-Toutes-Aides, Nantes} {Énoncé \atop p. 13}

MÉTHODE

Pour résoudre une inéquation, il faut toujours commencer par trouver l’ensemble de définition, car les différentes manipulations peuvent faire perdre de vue que certaines valeurs sont interdites.

1 L’ensemble de définition correspond simplement à la non nullité des

dénominateurs, soit :

D_{f} D ℝ \ {1 I 2} .

Résolution d’inéquations — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 31 — #41

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{31} CORRIGÉS INTERROS COURS

On peut donc transformer l’inégalité pour obtenir :

\frac{x C 1}{x − 2} − \frac{1}{x − 1} > 0

soit, en réduisant au même dénominateur :

\frac{x^{2} − 1 − x C 2}{▷x − 1◁▷x − 2◁} > 0

ou encore : \frac{x^{2} − x C 1}{▷x − 1◁▷x − 2◁} > 0 .

Le discriminant de x^{2} − x C 1 est 1 D 1 − 4 D −3. Comme 1 < 0, le numérateur est toujours positif (a D 1 donc a > 0). Il ne reste donc plus qu’à étudier le signe du dénominateur (qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 1 et 2, et dont le coefficient de x^{2} est 1, donc positif); on a alors le tableau de signes :

x  −∞  1  2  C∞
▷x − 1◁▷x − 2◁  C 0 − 0 C

On obtient donc :

S D ]−∞ I 1[ ∪]2 I C∞[ .

2 On a :

\frac{x^{2} − 5x C 6}{x^{2} C 3x − 10} ⩽ 1 .

L’ensemble de définition correspond à la non nullité du dénominateur. Le discriminant de x^{2} C 3x − 10 est 1 D 9 C 40 D 49, d’où les racines :

x_{1} D \frac{−3 − 7}{2} D −5 et x_{2} D \frac{−3 C 7}{2} D 2 .

L’ensemble de définition est donc :

D_{g} D ℝ \ {−5 I 2} .

En transformant l’inéquation, on obtient :

\frac{x^{2} − 5x C 6}{x^{2} C 3x − 10} − 1 ⩽ 0

et, en réduisant au même dénominateur :

\frac{x^{2} − 5x C 6 − x^{2} − 3x C 10}{x^{2} C 3x − 10} ⩽ 0

soit \frac{−8x C 16}{x^{2} C 3x − 10} ⩽ 0 ,

ce qui équivaut, en divisant par −8, à :

\frac{x − 2}{x^{2} C 3x − 10} ⩾ 0 ▷car − 8 < 0◁ .

Posons :

Q▷x◁ D \frac{x − 2}{x^{2} C 3x − 10} .

Étude de deux courbes — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 32 — #42 CORRIGÉS_{32}

Dressons un tableau de signes :

x −∞ −5 2 C∞
x^{2} C 3x − 10  C 0 − 0 C
x − 2  −  − 0 C
Q▷x◁  −  C  C

On obtient donc l’ensemble des solutions S D ]−5 I 2[ ∪]2 I C∞[ .

� ATTENTION On voit ici la nécessité de déterminer dès le début l’ensemble de définition, sans quoi on risquait, ici par exemple, de prendre en compte la valeur 2.

19Étude de deux courbes_{Lycée Alexandre Dumas, Saint-Cloud} {Énoncé \atop p. 13}

MÉTHODE Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les deux fonctions représentées.

La fonction f est définie sur ℝ \ \{ \frac{1}{2}\} et la fonction g est définie sur ℝ. On

étudie le signe de la différence f ▷x◁ − g▷x◁ sur ℝ \ \{ \frac{1}{2}\}. Cela donne :

\frac{12x − 8}{6x − 3} − ▷3x − 2◁ ⩽ 0

⟺ \frac{12x − 8 − ▷3x − 2◁▷6x − 3◁}{6x − 3} ⩽ 0
⟺ \frac{12x − 8 − 18x^{2} C 21x − 6}{6x − 3} ⩽ 0
⟺ \frac{−18x^{2} C 33x − 14}{6x − 3} ⩽ 0.

On commence par étudier le signe du trinôme du second degré au numérateur. Son discriminant vaut 1 D 81 D 9^{2}. Il admet donc deux racines x_{1} D \frac{7}{6} et

x_{2} D \frac{2}{3}. Comme le coefficient de x^{2} est négatif, le trinôme est positif entre ses racines et négatif à l’extérieur.

Dimensions d’un rectangle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 33 — #43

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{33} CORRIGÉS INTERROS COURS

On trouve le signe du quotient du trinôme par l’expression affine 6x − 3 à l’aide d’un tableau de signes :

x  −∞  \frac{1}{2}  \frac{2}{3}  \frac{7}{6}  C∞
−18x^{2} C 33x − 14  −  − 0 C 0 −
6x − 3  −  0  C  C  C
f ▷x◁ − g▷x◁  C  − 0 C 0 −

On en déduit que la courbe de f est en dessous de la courbe de g pour

x ∈ ] \frac{1}{2} I \frac{2}{3}[ ∪ ] \frac{7}{6} I C∞[ ; les courbes se coupent pour x D \frac{2}{3} et x D \frac{7}{6}.

La courbe de f est au-dessus de celle de g dans les autres cas.

20Trinôme inconnu_{Lycée Paul Painlevé, Oyonnax} {Énoncé \atop p. 13}

Calculons le discriminant du trinôme x^{2} C ax C 4 :

1 D a^{2} − 16.

On veut que l’inéquation x^{2} C ax C 4 ⩽ 0 n’ait pas de solution, donc il faut et il suffit que 1 soit strictement négatif. Il faut donc que a^{2} − 16 < 0. Or, a^{2} − 16 est un trinôme en a, dont les racines sont −4 et 4. Le coefficient de a^{2} est 1, il est positif. Par conséquent a^{2} − 16 est négatif entre les racines. Les valeurs de a telles que l’inéquation x^{2}C ax C 4 n’ait pas de solution sont donc toutes les valeurs de l’intervalle U − 4 I 4T.

21Somme et produit_{Lycée Saint-Louis-de-Gonzagues, Paris} {Énoncé \atop p. 14}

1 D’après le cours, a et b sont les racines du trinôme x^{2}−4xC4 D ▷x−2◁^{2}.

La racine double est x D 2. donc a D b D 2. 2 D’après le cours, a et b sont les racines du trinôme x^{2} − 8x C 12.

1 D 8^{2} − 4 × ▷−1◁ × ▷−12◁ D 16 D 4^{2}.

D’où x_{1} D \frac{−8 C 4}{−2} D 2 et x_{2} D \frac{−8 − 4}{−2} D 6.

Ainsi, a D 2 et b D 6, ou a D 6 et b D 2. 3 D’après le cours, a et b sont les racines du trinôme x^{2} − 24x C 324.

1 D 24^{2} − 4 × ▷−1◁ × ▷−324◁ D −720 < 0.

Il n’existe donc pas de nombres a et b correspondant à cette somme et ce produit.

Forme x^{2} − Sx C P D 0 — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 34 — #44

CORRIGÉS_{34}

22Dimensions d’un rectangle_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 14}

Notons x et y les dimensions du rectangle (longueur et largeur).

L’aire du rectangle se calcule avec la formule « longueur × largeur », donc elle s’exprime ici par : xy. Or, elle vaut 315 d’après l’énoncé. Ainsi, xy D 315. Le périmètre du rectangle est « 2 × ▷longueur C largeur◁ », donc ici égal à 2▷x C y◁. Or, elle vaut 72 d’après l’énoncé; donc 2▷x C y◁ D 72, c’est-à-dire, en divisant par 2 les membres de cette égalité : x C y D 36.

On sait donc maintenant que le produit de x et y vaut 315 et que leur somme vaut 36. Ainsi, x et y sont les solutions de l’équation x^{2} − 36x C 315 D 0, dont le discriminant est 1 D ▷−36◁^{2} − 4 × 315 D 36. Les deux solutions de l’équation sont donc :

x D \frac{36 − 6}{2} D 15 et y D \frac{36 C 6}{2} D 21.

Le rectangle a donc pour dimensions 21 × 15.

23Second degré et géométrie_{Lycée Bouchardon, Chaumont} {Énoncé \atop p. 14}

1 Désignons par x et y les dimensions du rectangle, exprimées en mètres (x ⩾ y). Les nombres x et y vérifient le système suivant :

\{ \begin{matrix}2▷x C y◁ & D 72 \\ x × y & D 275 \end{matrix}  soit :  \{ \begin{matrix}x C y & D 36 \\ xy & D 275. \end{matrix}

x et y sont donc les solutions de l’équation x^{2} − 36x C 275 D 0. Le discriminant est : 1 D ▷−36◁^{2} − 4 × 275 D 196. L’équation admet deux solutions : 25 et 11. On en déduit que les dimensions du rectangle sont 25 m et 11 m.

2 Désignons par a et b les mesures des côtés de l’angle droit exprimées en centimètres, avec a ⩾ b. Les nombres a et b vérifient le système :

\{ \begin{matrix}a^{2} C b^{2} & D 25 \\ \frac{1}{2}ab & D 6 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}a^{2} C b^{2} & D 25 \\ a^{2}b^{2} & D 12^{2} D 144 \end{matrix}

Posons A D a^{2} et B D b^{2}. Alors, A et B sont solutions de l’équation x^{2} − 25x C 144 D 0, dont le discriminant est 1 D 49.

Ainsi, A D \frac{25 − \sqrt{49}}{2} D 9 et B D \frac{25 C \sqrt{49}}{2} D 16.

Comme a et b sont positifs, a D \sqrt{9} D 3 et b D \sqrt{16} D 4. Les côtés de l’angle droit du triangle rectangle mesurent respectivement 4 cm et 3 cm.

Recherche de deux nombres — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 35 — #45 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{35} CORRIGÉS INTERROS COURS
24Forme x^{2} − Sx C P D 0_{Lycée Saint-Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 14}

1 L’équation x^{2}−▷3C\sqrt{2}◁x C3\sqrt{2} D 0 est de la forme x^{2}−Sx CP D 0, avec S D 3 C \sqrt{2} et P D 3\sqrt{2}. Elle admet donc pour solutions 3 et \sqrt{2} (d’après la propriété 5 page 4).

2 2,7x^{2} C 8,1x − 10,8 D 0 ⟺ 2,7▷x^{2} C 3x − 4◁ D 0, qui est de la forme x^{2} − Sx C P D 0, avec S D 4 C ▷−1◁ et P D 4 × ▷−1◁. L’équation admet donc pour solutions −4 et −1.

3 L’équation x^{2} − ▷α C β◁x C αβ D 0 est de la forme x^{2} − Sx C P D 0, avec S D α C β et P D αβ. Elle admet donc pour solutions α et β.

25Recherche de deux nombres_{Lycée Saint-Étienne, Rennes} {Énoncé \atop p. 14}

Soient x et y les deux nombres cherchés. Les nombres x et y sont non nuls et vérifient le système :

\{ \begin{matrix}\frac{1}{x} C \frac{1}{y} & D \frac{1}{2} \\ x^{2} C y^{2} & D \frac{25}{36} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}\frac{x C y}{xy} D \frac{1}{2} \\ ▷x C y◁^{2} − 2xy D \frac{25}{36} \end{matrix}

On pose S D x C y et P D xy. Le système précédent s’écrit alors :

\{ \begin{matrix}P D 2S \\ S^{2} − 2P D \frac{25}{36} \end{matrix} ce qui équivaut à \{ \begin{matrix}P D 2S \\ S^{2} − 4S D \frac{25}{36} . \end{matrix}

On résout l’équation du second degré :

S^{2} − 4S − \frac{25}{36} D 0 .

Son discriminant est :

1 D 16 C 4 × \frac{25}{36} D \frac{169}{9} .

L’équation admet deux solutions : \frac{25}{6} et −\frac{1}{6}.

Si S D \frac{25}{6}, alors P D 2 × \frac{25}{6} D \frac{25}{3}.

Si S D −\frac{1}{6}, alors P D 2 × ( −\frac{1}{6}) D −\frac{1}{3}.

Trois nombres inconnus — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 36 — #46 CORRIGÉS_{36}

On détermine alors les nombres x et y en résolvant les systèmes :

▷1◁ \{ \begin{matrix}x C y & D \frac{25}{6} \\ xy & D \frac{25}{3} \end{matrix} ou ▷2◁ \{ \begin{matrix}x C y & D −\frac{1}{6} \\ xy & D −\frac{1}{3} \end{matrix}

On connaît alors la somme et le produit de x et y. L’équation du second degré du système ▷1◁ est :

x^{2} − \frac{25}{6}x C \frac{25}{3} D 0

et a un discriminant strictement négatif donc elle n’admet aucune solution réelle et le premier système n’a donc pas de solution. L’équation du second degré du système ▷2◁ est :

x^{2} C \frac{1}{6}x − \frac{1}{3} D 0

et a pour discriminant 1 D \frac{49}{36} donc l’équation admet deux solutions réelles :

\frac{1}{2} et −\frac{2}{3}.

Les deux nombres répondant à la question posée sont donc \frac{1}{2} et −\frac{2}{3}.

26Trois nombres inconnus_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 15}

Le système donné peut se mettre sous la forme :

\{ \begin{matrix}x C y C z D 27 \\ z▷x C y◁ D 180 \\ xy D 35 \end{matrix} .

En posant T D x C y et en ne prenant que les deux premières lignes, on a :

\{ \begin{matrix}T C z D 27 \\ T z D 180 \end{matrix} .

On connaît donc la somme et le produit de z et T ; ainsi, z et T sont les solutions de l’équation a^{2} − 27a C 180 D 0, dont le discriminant est 1 D ▷−27◁^{2} − 4 × 180 D 9. Les deux solutions sont donc :

\frac{27 − 3}{2} D 12  et  \frac{27 C 3}{2} D 15.

Ainsi,

\{ \begin{matrix}T D x C y D 12 \\ z D 15 \end{matrix}  ou  \{ \begin{matrix}T D x C y D 15 \\ z D 12 \end{matrix} .

Factorisation d’un polynôme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 37 — #47

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{37} CORRIGÉS INTERROS COURS

1^{er} cas : x C y D 12. D’après l’énoncé, xy D 35 donc x et y sont solutions de l’équation x^{2}−12xC35 D 0, de discriminant 1 D ▷−12◁^{2}−4×35 D 4. Or, x < y donc :

x D \frac{12 − 2}{2} D 5 et y D \frac{12 C 2}{2} D 7.

2^{e} cas : x C y D 15. De plus, xy D 35 donc x et y sont solutions de l’équation b^{2} − 15x C 35 D 0 , de discriminant 1 D ▷−15◁^{2}−4×35 D 85, qui n’est pas un carré parfait, ce qui implique que x et y ne sont nécessairement pas entiers, ce qui contredit l’énoncé.

Il n’y a donc qu’une seule possibilité : x D 5, y D 7 et z D 15.

27Factorisation d’un polynôme_{Lycée Pasteur, Neuilly} {Énoncé \atop p. 15}

1 En développant, on obtient, pour tous nombres réels a et b :

▷a C b◁^{3}D ▷a C b◁^{2}▷a C b◁
D ▷a^{2} C 2ab C b^{2}◁▷a C b◁
D a^{3} C 3a^{2}b C 3ab^{2} C b^{3} .

2 On doit avoir :

P ▷x◁ D 8x^{3}−48x^{2}C94x −60 D a▷2x −5◁^{3}Cb▷2x −5◁^{2}Cc▷2x −5◁ .

On peut développer les identités remarquables du terme de droite. On a pour ▷2x − 5◁^{3} :

▷2x − 5◁^{3} D ▷2x◁^{3} C 3▷2x◁^{2}▷−5◁ C 3▷2x◁▷−5◁^{2} C ▷−5◁^{3}
D 8x^{3} − 60x^{2} C 150x − 125.

De même, on a pour ▷2x − 5◁^{2} :

▷2x − 5◁^{2} D 4x^{2} − 20x C 25.

Ce qui donne :

P ▷x◁D a▷8x^{3} − 60x^{2} C 150x − 125◁ C b▷4x^{2} − 20x C 25◁ C c▷2x − 5◁
P ▷x◁D 8ax^{3} C ▷−60a C 4b◁x^{2} C ▷150a − 20b C 2c◁x
C ▷−125a C 25b − 5c◁.

Or, on a : P ▷x◁ D 8x^{3} − 48x^{2} C 94x − 60. On doit donc résoudre le système :

\{ \begin{matrix}8a & D 8 \\ −60a C 4b & D −48 \\ 150a − 20b C 2c & D 94 \\ −125a C 25b − 5c & D −60 \end{matrix}

Factorisation d’un polynôme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 38 — #48

CORRIGÉS_{38}

On obtient de la première ligne a D 1, donc :

\{ \begin{matrix}a & D 1 \\ −60 C 4b & D −48 \\ 150 − 20b C 2c & D 94 \\ −125 C 25b − 5c & D −60 \end{matrix}

La deuxième ligne donne b D 3 et on obtient :

\{ \begin{matrix}a & D 1 \\ b & D 3 \\ 90 C 2c & D 94 \end{matrix}

d’où enfin c D 2 et l’on a bien, dans la quatrième ligne :

−125 C 75 − 10 D −60 .

On a donc le triplet solution ▷1,3,2◁ et :

P ▷x◁ D ▷2x − 5◁^{3} C 3▷2x − 5◁^{2} C 2▷2x − 5◁ .

3 Pour en déduire une factorisation de P ▷x◁, il suffit de constater que l’on peut mettre ▷2x − 5◁ en facteur dans l’expression :

P ▷x◁ D ▷2x − 5◁^{3} C 3▷2x − 5◁^{2} C 2▷2x − 5◁ ,

ce qui donne ici :

P ▷x◁D ▷2x − 5◁^{3} C 3▷2x − 5◁^{2} C 2▷2x − 5◁
D ▷2x − 5◁[▷2x − 5◁^{2} C 3▷2x − 5◁ C 2]
D ▷2x − 5◁▷4x^{2} − 20x C 25 C 6x − 15 C 2◁
D ▷2x − 5◁▷4x^{2} − 14x C 12◁.

Il ne reste donc plus qu’à factoriser :

g▷x◁ D 4x^{2} − 14x C 12 .

On a 1 D b^{2} − 4ac D 196 − 16 × 12 D 4, d’où :

x_{1} D \frac{14 − 2}{8} D \frac{3}{2} et x_{2} D \frac{14 C 2}{8} D 2 .

D’où :

4x^{2} − 14x C 12 D 4 ( x − \frac{3}{2}) ▷x − 2◁ .

On a donc finalement :

P ▷x◁ D 4▷2x − 5◁▷x − 2◁ ( x − \frac{3}{2}) ,

qui est une factorisation de P ▷x◁. 4 D’après la factorisation précédente, l’équation P ▷x◁ D 0 est une

équation produit de termes du premier degré.

Fonction rationnelle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 39 — #49 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{39} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a ainsi, P ▷x◁ D 0 si et seulement si 2x − 5 D 0 ou x − 2 D 0 ou

x − \frac{3}{2} D 0.

Finalement, S D \{ \frac{3}{2} I 2 I \frac{5}{2}\}.

28Fonction rationnelle_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 15}

1 On considère le polynôme P ▷x◁ D x^{4} C 6x^{3} − 11x^{2} − 60x C 100, que

l’on souhaite écrire sous la forme :

P ▷x◁ D (Q▷x◁)^{2} .

Q▷x◁ D ax^{2} C bx C c étant un trinôme du second degré, on peut développer (Q▷x◁)^{2} :

(Q▷x◁)^{2}D ▷ax^{2} C bx C c◁^{2}
D ▷ax^{2} C bx C c◁▷ax^{2} C bx C c◁
D a^{2}x^{4} C 2abx^{3} C ▷b^{2} C 2ac◁x^{2} C 2bcx C c^{2}.

Les polynômes P et Q^{2} sont égaux si et seulement si :

\{ \begin{matrix}a^{2} & D 1 \\ 2ab & D 6 \\ b^{2} C 2ac & D −11 \\ 2bc & D −60 \\ c^{2} & D 100 \end{matrix}

Q et −Q étant indifféremment solutions, on peut donc prendre a D 1 ou a D −1 : choisissons a > 0. On obtient alors :

\{ \begin{matrix}a & D 1 \\ b & D 3 \\ c & D −10 \end{matrix}

Finalement :

P ▷x◁ D ▷Q▷x◁◁^{2} ,

avec Q▷x◁ D x^{2} C 3x − 10. 2 P ▷x◁ D 0 ⟺ Q▷x◁ D 0 ⟺ x^{2} C 3x − 10 D 0.

On a 1 D 9 C 40 D 49, d’où

x_{1} D \frac{−3 C 7}{2} D 2 et x_{2} D \frac{−3 − 7}{2} D −5 .

Ainsi :

S D {−5,2} .

Recherche d’une fonction — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 40 — #50 CORRIGÉS_{40}

3 (a) En développant, on a :

▷x C 5◁▷ax^{2} C bx C c◁ D ax^{3} C ▷5a C b◁x^{2} C ▷5b C c◁x C 5c .

Par identification des coefficients des termes de même degré on obtient donc :

\{ \begin{matrix}a & D 1 \\ 5a C b & D 6 \\ 5b C c & D 6 \\ 5c & D 5 \end{matrix} d’où \{ \begin{matrix}a & D 1 \\ b & D 1 \\ c & D 1 \end{matrix}

et on a donc la factorisation x^{3}C6x^{2}C6xC5 D ▷xC5◁▷x^{2}CxC1◁.

(b) D’après les questions précédentes :

\begin{aligned}f ▷x◁ D & \frac{x^{4} C 6x^{3} − 11x^{2} − 60x C 100}{x^{3} C 6x^{2} C 6x C 5} D \frac{P ▷x◁}{x^{3} C 6x^{2} C 6x C 5} \\ & D \frac{▷x^{2} C 3x − 10◁^{2}}{▷x C 5◁▷x^{2} C x C 1◁}. \end{aligned}

Déterminons D_{f} : f ▷x◁ existe si et seulement si :

▷x C 5◁▷x^{2} C x C 1◁ D̸ 0

soit :

x C 5 D̸ 0 et x^{2} C x C 1 D̸ 0 .

L’équation x C 5 D 0 équivaut à x D −5. Cherchons à résoudre x^{2} C x C 1 D 0 : 1 D 1 − 4 × 1 × 1 D −3 < 0, donc cette équation n’admet pas de solutions réelles. D’où D_{f} D ℝ \ {−5}. Les racines du trinôme x^{2} C 3x − 10 sont −5 et 2 (question 2), donc :

x^{2} C 3x − 10 D ▷x C 5◁▷x − 2◁ .

Finalement :

f ▷x◁ D \frac{▷x C 5◁^{2}▷x − 2◁^{2}}{▷x C 5◁▷x^{2} C x C 1◁}D \frac{▷x C 5◁▷x − 2◁^{2}}{x^{2} C x C 1} pour x D̸ −5 .

29Recherche d’une fonction_{Lycée La Bruyère, Versailles} {Énoncé \atop p. 16}

Une fonction du second degré est représentée par une parabole dont l’axe de symétrie passe par le sommet. Ici, l’axe de symétrie est donc la droite d’équation x D −1.

Des techniques de résolution variées — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 41 — #51

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{41} CORRIGÉS INTERROS COURS

Comme le polynôme a pour racine \frac{5}{2}, la parabole coupe l’axe des abscisses

au point d’abscisse \frac{5}{2}. Par symétrie par rapport à la droite d’équation x D −1,

elle coupe aussi l’axe des abscisses au point d’abscisse r tel que \frac{r C \frac{5}{2}}{2} D −1,

c’est-à-dire r D −\frac{9}{2}. On connaît donc les deux racines du polynôme. Il se factorise donc sous la

forme f ▷x◁ D a ( x − \frac{5}{2}) ( x C \frac{9}{2}) où a est un réel à déterminer.

Comme S est le sommet de la parabole, il faut de plus que f ▷−1◁ D 2, ce qui donne l’équation :

2 D a ( −1 − \frac{5}{2}) ( −1 C \frac{9}{2}) .

C’est-à-dire : a D −\frac{8}{49}.

Le polynôme recherché est donc :f ▷x◁ D −\frac{8}{49} ( x − \frac{5}{2}) ( x C \frac{9}{2}) .

30Des techniques de résolution variées_{Lycée Pierre de Fermat, Toulouse} {Énoncé \atop p. 16}

1 (a) Soit l’équation u^{2} − 6u − 16 D 0. 1 D 36 C 64 D 100.

L’équation admet deux solutions : 8 et −2.

(b) On considère l’équation ▷|x| − 2◁^{2} D 2▷|x| C 10◁. On pose u D |x|. L’équation précédente s’écrit alors : ▷u − 2◁^{2} D 2▷u C 10◁, soit en effectuant et en réduisant : u^{2} − 6u − 16 D 0. D’après la question précédente, l’équation u^{2}−6u−16 D 0 admet deux solutions : 8 et −2. On cherche alors x tel que |x| D 8 ou |x| D −2. Or, il n’existe aucun réel x tel que |x| D −2, tandis que l’équation |x| D 8 admet deux solutions : 8 et −8. L’équation ▷|x| − 2◁^{2} D 2▷|x| C 10◁ admet donc deux solutions : 8 et −8.

2 (a) L’équation u^{2} − 5u − 6 D 0 admet comme solution évidente x_{1} D −1.

Or, le produit des racines vaut x_{1}x_{2} D \frac{c}{a} donc −x_{2} D \frac{−6}{1} , soit x_{2} D 6. Les solutions sont donc −1 et 6.

Revenir au second degré — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 42 — #52

CORRIGÉS_{42}

(b) On rappelle que l’équation \sqrt{a} D b équivaut à b ⩾ 0 et a D b^{2}. Donc l’équation \sqrt{15 − x} D x − 3 équivaut à :

x ⩾ 3 et 15 − x D x^{2} − 6x C 9 soit x^{2} − 5x − 6 D 0 .

D’après la question précédente, cette équation admet deux racines : 6 et −1. Seule 6 vérifie la condition x ⩾ 3. Il en résulte que l’équation proposée admet pour unique solution : 6.

3 (a) L’équation u^{2} − 7u C 6 D 0 équivaut successivement à :

( u − \frac{7}{2}) ^{2} − \frac{49}{4} C 6 D 0

( u − \frac{7}{2}) ^{2} − \frac{25}{4} D 0

( u − \frac{7}{2} − \frac{5}{2}) ( u − \frac{7}{2} C \frac{5}{2}) D 0

▷u − 6◁▷u − 1◁ D 0 .

L’équation admet deux solutions : 6 et 1.

(b) Soit x la largeur de la croix, exprimée en mètres (0 < x < 3). L’aire du drapeau est 12 m^{2}, l’aire de la croix est 3x C 4x − x^{2}. L’aire de la croix blanche est égale à l’aire rouge si et seulement si :

7x − x^{2} D 12 − ▷7x − x^{2}◁ ,

soit 2x^{2} − 14x C 12 D 0. En divisant les deux membres par 2, on obtient : x^{2} − 7x C 6 D 0. D’après la question précédente, cette équation admet deux solutions : 6 et 1. Seule la valeur 1 convient. La largeur de la croix blanche est donc égale à 1 mètre.

31Revenir au second degré_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pin-Justaret} {Énoncé \atop p. 16}

1 On pose X D \sqrt{x}.

L’équation est alors équivalente à −2X^{2} − 6X C 80 D 0 et X D \sqrt{x}. L’équation du second degré en X a pour discriminant 676 D 26^{2} et admet donc deux solutions, −8 et 5. Comme X D \sqrt{x}, seule la solution positive est à envisager et alors \sqrt{x} D 5, donc x D 25. L’équation a donc une solution unique : 25.

2 L’équation à résoudre est une équation bicarrée. On pose X D x^{2}. L’équation est alors équivalente à 2X^{2} − 2X − 24 D 0 avec x^{2} D X. L’équation du second degré en X a pour discriminant 196 D 14^{2} et admet donc deux solutions : X D −3 et X D 4.

Choisir une méthode adaptée — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 43 — #53

LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{43} CORRIGÉS INTERROS COURS

Cela donne les deux équations en x : x^{2} D −3 ou x^{2} D 4. Seule la deuxième équation a des solutions, 2 et −2. Donc l’équation à résoudre a deux solutions : −2 et 2.

3 On remarque que 0 n’est pas solution de l’équation (c’est une valeur interdite). On peut donc multiplier les deux membres de l’équation par x et obtenir une équation équivalente : 4x^{2} C 8 C 24x D 0. En veillant à l’ordonner suivant les puissances décroissantes de x, on calcule son discriminant, 24^{2} − 4 × 4 × 8 D 448 D ▷8\sqrt{7}◁^{2}. On trouve donc deux solutions : −3 − \sqrt{7} et −3 C \sqrt{7}, qui conviennent toutes les deux puisqu’elles ne sont pas nulles.

32Choisir une méthode adaptée_{Lycée Saint-Martin, Pontoise} {Énoncé \atop p. 17}

1 On peut voir tout de suite que 4 est solution; on a en effet :

x^{2} − 16 D ▷x − 4◁▷x C 4◁

donc :

x^{2} − 16 C 2▷x − 4◁ D ▷x − 4◁▷x C 4 C 2◁ D ▷x − 4◁▷x C 6◁.

D’où les deux solutions :

x D 4,  x D −6  et S D {4, − 6} .

2 On a :

x^{2} − 2,4x − 0,81 D ▷x − 1,2◁^{2} − 0,81 − 1,44
D ▷x − 1,2◁^{2} − 2,25.

Or, 2,25 D 1,5^{2} donc :

x^{2} − 2,4x − 0,81 D ▷x − 1,2 − 1,5◁▷x − 1,2 C 1,5◁
D ▷x − 2,7◁▷x C 0,3◁ ,

d’où les deux solutions :

x D 2,7,  x D −0,3  et S D {−0,3 I 2,7} .

Remarque : on pourrait aussi calculer le discriminant.

3 On a ici une équation du premier degré, que l’on peut écrire sous la

forme :

x▷4 − 2\sqrt{2}◁ D \sqrt{2}

donc :

x D \frac{\sqrt{2}}{4 − 2\sqrt{2}}

D \frac{\sqrt{2}▷2 C \sqrt{2}◁}{2▷2 − \sqrt{2}◁▷2 C \sqrt{2}◁}

Affichage de plusieurs images — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 44 — #54

CORRIGÉS_{44}

x D \frac{2\sqrt{2} C 2}{2▷2^{2} − 2◁}

D \frac{2\sqrt{2} C 2}{4}

D \frac{\sqrt{2} C 1}{2}.

On a alors S D \{ \frac{\sqrt{2} C 1}{2}\}.

4 On a, en multipliant les deux membres par 4 :

2x C 4 D x^{2} ⟺ x^{2} − 2x − 4 D 0
⟺ ▷x − 1◁^{2} − 1 − 4 D 0
⟺ ▷x − 1◁^{2} D 5
⟺ x − 1 D \sqrt{5} ou x − 1 D −\sqrt{5}

On a donc les racines :

\{ \begin{matrix}x_{1} & D 1 C \sqrt{5} \\ x_{2} & D 1 − \sqrt{5} \end{matrix} et S D \{1 − \sqrt{5} I 1 C \sqrt{5}\} .

Remarque : on aurait aussi pu utiliser le discriminant.

33

Affichage de plusieurs images

{Énoncé \atop p. 17}

1 Cet algorithme est constitué d’une boucle « Pour » (boucle itérative) de variable x qui prend ses valeurs de −5 à 5, avec une différence entre chaque valeur de 0,5. Dans cette boucle,

on affecte à la variable f la valeur −3▷x C 1◁^{2} C 4 (on reconnaît ici la forme canonique d’une fonction de degré 2);

on affiche la valeur de la variable f.

Le rôle de cet algorithme est donc d’afficher les images des valeurs −5, −4,5, −4, −3,5,..., 4,5, 5 par la fonction f définie par :

f ▷x◁ D −3▷x C 1◁^{2} C 4.

Tableau de valeurs — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 45 — #55 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{45} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 En Python, faire une boucle avec une variable non entière ne se fait pas avec la fonction range (qui n’accepte que des entiers). On peut contourner ce problème en utilisant une boucle « Tant que » comme dans le programme suivant :

x = -5
while x <= 5:
    f = -3*(x+1)**2+4
    print(f)
    x = x + 0.5

34

Tableau de valeurs

{Énoncé \atop p. 17}

1 Un algorithme possible est le suivant :

Algorithme

Initialisations:
  F et G sont deux listes vides
Traitement:
  Pour x allant de -5 à 5:
     f ← x*x-4*x+2
     g ← (x+2)*(x+2)-4*(x+2)+2
     Ajouter f à la liste F
     Ajouter g à la liste G
  Fin du Pour
Sortie:
  Afficher F et G

2 Le programme Python correspondant est :

En Python

F,G = [], []
for x in range(-5,6):
    f = x*x-4*x+2
    g = (x+2)*(x+2)-4*(x+2)+2
    F.append(f)
    G.append(g)
print("Les valeurs de f(x) sont :",F)
print("Les valeurs de g(x) sont :",G)

Lunules — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 46 — #56 CORRIGÉS_{46}

et il retourne :

        Les valeurs de f(x) sont :
        [47, 34, 23, 14, 7, 2, -1, -2, -1, 2, 7]
        Les valeurs de g(x) sont :
        [23, 14, 7, 2, -1, -2, -1, 2, 7, 14, 23]

Explications du programme. La ligne « F,G = [],[] » définie deux listes F et G, qui sont vides (crochets à l’intérieur desquels il n’y a pas de valeurs). « for x in range(-5,6) » créé une boucle « Pour » dont la variable est x; cette variable va prendre des valeurs comprises entre −5 (incluse) et 6 (exclue). Par défaut, le pas est égal à 1. Donc x va prendre les valeurs : −5, −4, −3, ..., 4 et 5. Dans la boucle, on calcule l’image de x par les fonctions f et g, images stockées respectivement dans les variables f et g. Les instructions « F.append(f) » et « G.append(g) » ajoutent respectivement aux listes F et G la valeur nouvellement stockée dans f et dans g. À la fin de la boucle, les listes F et G contiendront toutes les images calculées. Il n’y a plus qu’à les afficher (avec l’instruction print).

35Lunules_{Lycée Les Chartreux, Lyon} {Énoncé \atop p. 18}

1 L’aire d’un disque de rayon R est donnée par la formule :

π × R^{2}.

Donc l’aire d’un demi-disque est donnée par la formule :

\frac{1}{2} × π × R^{2}.

De plus, l’aire de la surface colorée est obtenue en soustrayant à l’aire du demi-disque ▷C◁ (de rayon 4) la somme de l’aire des demi-disques

▷D_{1}◁ (de rayon \frac{x}{2}) et ▷D_{2}◁ (de rayon \frac{8 − x}{2} ).

Ainsi l’aire f ▷x◁ de la surface colorée est :

f ▷x◁ D \frac{1}{2} × π × 4^{2} − [ \frac{1}{2} × π × ( \frac{x}{2})^{2} C \frac{1}{2} × π × ( \frac{8 − x}{2} ) ^{2}]

D 8π − ( \frac{x^{2}}{8}π C \frac{▷8 − x◁^{2}}{8}π)

D 8π − \frac{x^{2}}{8}π − \frac{64 − 16x C x^{2}}{8} π

Lunules — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 47 — #57 LE SECOND DEGRÉ CHAP. 1_{47} CORRIGÉS INTERROS COURS

f ▷x◁ D 8π − \frac{x^{2}}{8}π − 8π C \frac{16x}{8}π − \frac{x^{2}}{8}π

D −\frac{x^{2}}{4}π C \frac{8x}{4}π

D \frac{π}{4} ▷−x^{2} C 8x◁.

2 On souhaite déterminer pour quelles valeurs de x l’aire de la surface colorée est supérieure ou égale à un quart de l’aire du demi-disque ▷C◁,

soit à \frac{1}{4} × 8π D 2π. Il faut donc résoudre l’inéquation :

f ▷x◁ ⩾ 2π ⟺ \frac{π}{4} ▷−x^{2} C 8x◁ ⩾ 2π

⟺ \frac{4}{π} × \frac{π}{4} ▷−x^{2} C 8x◁ ⩾ \frac{4}{π} × 2π

⟺ −x^{2} C 8x ⩾ 8

⟺ −x^{2} C 8x − 8 ⩾ 0.

Le discriminant du polynôme −x^{2} C 8x − 8 est :

1 D 8^{2} − 4 × ▷−1◁ × ▷−8◁ D 64 − 32 D 32 > 0

donc il admet deux racines :

x_{1} D \frac{−b − \sqrt{1}}{2a} D \frac{−8 − \sqrt{32}}{−2} D 4 C 2\sqrt{2} ≈ 6,8

et

x_{2} D \frac{−b C \sqrt{1}}{2a} D \frac{−8 C \sqrt{32}}{−2} D 4 − 2\sqrt{2} ≈ 1,2.

Ces deux valeurs sont comprises entre 0 et 8, donc elles sont bien solutions à notre inéquation.

Ainsi, l’ensemble des valeurs de x telles que l’aire de la surface bleue est supérieure ou égale à un quart de celle du demi-disque ▷C◁ est T4 − 2\sqrt{2}I 4 C 2\sqrt{2}U.

3 f ▷x◁ D \frac{π}{4} x▷−x C 8◁. Ces deux racines sont donc 0 et 8. Sa courbe représentative est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas (car le coefficient de x^{2} est négatif). De plus, le sommet de la parabole a pour abscisse la moyenne des deux racines, soit x_{S} D 4. D’où le tableau suivant :

x 0  4  8
f  ↗  ↘

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 1 page 48 — #58 CORRIGÉS_{48}

L’aire maximale est donc atteinte pour x D 4, et vaut :

f ▷4◁ D \frac{π}{4} ▷−4^{2} C 8 × 4◁

D \frac{π}{4} × 16

D 4π.

4 Une complétion possible du programme est la suivante :

En Python

from math import pi
def result(x):
A1 = pi*x*x/8 # aire de D1
A2 = pi*(8-x)**2/8 # aire de D2
if 8*pi-(A1+A2) > 2*pi:
    return "L'aire achurée est supérieure au
quart du demi-disque (C)."
elif 8*pi-(A1+A2) < 2*pi:
    return "L'aire achurée est inférieure au
quart du demi-disque (C)."
else:
    return "Les deux aires sont égales."

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 49 — #59 2^{Chapitre}

Dérivation

Plan du chapitre

1. Nombre dérivé

2. Tangente à une courbe

3. Fonction dérivée

4. Fonction « valeur absolue »

Retrouvez l’essentiel de ce cours en vidéo.

1 Nombre dérivé

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {0} par :

f ▷x◁ D \frac{x^{2} C x C 2}{x}.

À l’aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de f en 1.

Exercice type 1

Lycée Marseilleveyre, Marseille

Voir corrigé page 50

Définition 1 : taux d’accroissement

Soit f une fonction dont le domaine de définition est D_{f} . Soient a ∈ D_{f} et h ∈ ℝ tel que a C h ∈ D_{f} . Le taux d’accroissement de f en a est le nombre :

τ▷h◁ D \frac{f ▷a C h◁ − f ▷a◁}{h} , h D̸ 0.

Exemple : f ▷x◁ D x^{2}. Pour tout a ∈ ℝ et pour h D̸ 0,

τ▷h◁ D \frac{▷a C h◁^{2} − a^{2}}{h} D \frac{a^{2} C 2ah C h^{2} − a^{2}}{h} D \frac{h▷2a C h◁}{h} D 2a C h.

Définition 2 : nombre dérivé

Soit f une fonction, dont le domaine de définition est D_{f} . Soit a ∈ D_{f} . Le nombre dérivé de f en a est, quand il existe, le taux d’accroissement en a quand h se rapproche de 0. On note alors :

lim_{h→0} τ▷h◁ D f′▷a◁.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 50 — #60 COURS_{50}

Exemple : f ▷x◁ D x^{2}, a ∈ ℝ et τ▷h◁ D 2a C h. Quand h se rapproche de 0, τ▷h◁ se rapproche de 2a donc :

f′▷a◁ D lim_{h→0} τ▷h◁ D 2a.

Définition 3 : fonction dérivable

On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I quand, pour tout a ∈ I, f′▷a◁ est un nombre fini.

Exemple : f ▷x◁ D x^{2} et f′▷a◁ D 2a pour tout réel a. f′▷a◁ est toujours un nombre fini donc f est dérivable sur ℝ.

Soit h un réel non nul. On pose :

t▷h◁ D \frac{f ▷1 C h◁ − f ▷1◁}{h} .

Comme f ▷x◁ D \frac{x^{2} C x C 2}{x}, alors :

f ▷1◁ D 4 et f ▷1 C h◁ D \frac{▷1 C h◁^{2} C ▷1 C h◁ C 2}{1 C h},

soit : f ▷1 C h◁ D \frac{h^{2} C 3h C 4}{1 C h}.

On a alors :

t▷h◁D \frac{f ▷1 C h◁ − f ▷1◁}{h}

D \frac{\frac{h^{2}C3hC4}{1Ch} − 4}{h}

D \frac{\frac{h^{2}C3hC4−4▷1Ch◁}{1Ch}}{h}

D \frac{h^{2} − h}{h▷1 C h◁}

D \frac{h − 1}{h C 1}.

Quand h tend vers 0, t▷h◁ tend vers −1. On en déduit que f est dérivable en 1 et que f′▷1◁ D −1.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Marseilleveyre, Marseille Voir énoncé page 49

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 51 — #61 DÉRIVATION CHAP. 2_{51} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Tangente à une courbe

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {0} par :

f ▷x◁ D \frac{x^{2} C x C 2}{x}.

Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1, sachant que f′▷1◁ D −1.

Exercice type 2

Lycée Marseilleveyre, Marseille

Voir corrigé page 51

Définition 4

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et soit C sa courbe représentative sur I. Soit a ∈ I. La tangente à C au point d’abscisse a est la droite passant par le point de coordonnées (a I f ▷a◁) et de coefficient directeur f′▷a◁.

Propriété 1

L’équation réduite de la tangente T à C au point d’abscisse a est :

y D f′▷a◁▷x − a◁ C f ▷a◁.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :

y D f′▷1◁▷x − 1◁ C f ▷1◁.

Comme f′▷1◁ D −1 et f ▷1◁ D 4, la tangente admet comme équation :

y D −▷x − 1◁ C 4 soit : y D −x C 5.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Marseilleveyre, Marseille Voir énoncé page 51

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 52 — #62 COURS_{52}

3 Fonction dérivée

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {0} par :

f ▷x◁ D \frac{x^{2} C x C 2}{x}.

1 Déterminer, avec les formules de cours, la fonction dérivée de la

fonction f. 2 Existe-t-il des tangentes à la courbe parallèles à la droite d’équation

y D −7x − 5? Si oui, préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.

Exercice type 3

Lycée Marseilleveyre, Marseille

Voir corrigé page 53

3.1 Définition

Définition 5

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout réel x de I associe son nombre dérivé f′▷x◁ est appelée fonction dérivée de f. On la note f′.

Les formules importantes à retenir sont les suivantes :

f ▷x◁ f′▷x◁ Intervalle de dérivabilité Intervalle de définition

k ∈ ℝ  0  ℝ  ℝ
x  1  ℝ  ℝ
x^{n}, n ∈ ℤ^{∗} nx^{n−1}  ℝ  ℝ
\frac{1}{x}  −\frac{1}{x^{2}}  ]−∞ I 0[ et ]0 I C∞[  ]−∞ I 0[ et ]0 I C∞[
\sqrt{x}  \frac{1}{2\sqrt{x}}  ]0 I C∞[  [0 I C∞[

Remarque : la fonction x ↦ \sqrt{x} est définie sur T0 I C∞T, mais elle est dérivable sur U0 I C∞T.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 53 — #63 DÉRIVATION CHAP. 2_{53} CORRIGÉS INTERROS COURS

3.2 Opérations sur les dérivées

Fonction  Dérivée
f ▷x◁ D u▷x◁ C v▷x◁  f′▷x◁ D u′▷x◁ C v′▷x◁
f ▷x◁ D u▷x◁ × v▷x◁ f′▷x◁ D u′▷x◁ × v▷x◁ C u▷x◁ × v′▷x◁
f ▷x◁ D ku▷x◁ ▷k ∈ ℝ◁  f′▷x◁ D ku′▷x◁
f ▷x◁ D \frac{1}{u▷x◁}  f′▷x◁ D −\frac{u′▷x◁}{Tu▷x◁U^{2}}
f ▷x◁ D \frac{u▷x◁}{v▷x◁}  f′▷x◁ D \frac{u′▷x◁ × v▷x◁ − u▷x◁ × v′▷x◁}{Tv▷x◁U^{2}}
f ▷x◁ D g▷ax C b◁  f′▷x◁ D a × g′▷ax C b◁

1 La fonction f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur ℝ\{0}. Pour tout réel x, on a :

f′▷x◁ D \frac{x▷2x C 1◁ − ▷x^{2} C x C 2◁}{x^{2}} D \frac{x^{2} − 2}{x^{2}} .

2 Soit a un réel non nul.

D’après le cours, la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a, admet comme coefficient directeur f′▷a◁. La droite T est parallèle à la droite d’équation :

y D −7x − 5

si et seulement si ces deux droites ont même coefficient directeur, c’est-à-dire si et seulement si f′▷a◁ D −7, soit :

\frac{a^{2} − 2}{a^{2}} D −7 ⟺ a^{2} − 2 D −7a^{2}

⟺ 8a^{2} D 2

⟺ a^{2} D \frac{1}{4}.

Cela signifie que :

a D \frac{1}{2} ou a D −\frac{1}{2}.

…

Solution de l’exercice type 3

Lycée Marseilleveyre, Marseille

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 54 — #64 COURS_{54}

On en déduit qu’il existe deux points de la courbe tels que la tangente à la courbe en ces points soit parallèle à la droite d’équation y D −7x −5.

f ( −\frac{1}{2}) D −\frac{7}{2}.  f ( \frac{1}{2}) D \frac{11}{2}.

Ce sont les points de coordonnées :

( \frac{1}{2} I \frac{11}{2}) et ( −\frac{1}{2} I −\frac{7}{2}) .

Solution de l’exercice type 3 (suite)

Lycée Marseilleveyre, Marseille

Voir énoncé page 52

4 Fonction « valeur absolue »

Définition 6

La fonction valeur absolue est la fonction g définie sur ℝ par l’expression

g▷x◁ D |x| D \{ \begin{matrix}x & si & x ⩾ 0 \\ −x & si & x < 0 \end{matrix}

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :

Propriété 2 : non dérivabilité de la valeur absolue en 0

La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0.

Propriété 3

La dérivée de la fonction f ▷x◁ D |x| est :

f′▷x◁ D \frac{|x|}{x}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 55 — #65 DÉRIVATION CHAP. 2_{55} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Questions de cours Corrigé p. 63 5 min

Parmi les propositions faites, une seule est correcte. Laquelle?

1 Soit C la courbe représentative d’une fonction f. Soit T_{2} la tangente à C au point d’abscisse 2. On sait que f′▷2◁ D 0. Alors : a T est verticale.

b T est horizontale. c T est une droite croissante.

d T est une droite décroissante.

2 La fonction f est représentée par une courbe dont la tangente au point d’abscisse −1 a pour équation réduite : y D 5x C 3. Alors : a f′▷−1◁ D 5.

b f′▷−1◁ D 3. c f ▷−1◁ D 3.

3 La fonction f est représentée par une courbe dont la tangente au point d’abscisse 5 a pour équation réduite : y D −5x C 5. Alors : a f′▷5◁ D 5.

b f ▷5◁ D 5. c f ▷5◁ D −20.

2_{QCM} Ensemble de définition et de dérivabilité Corrigé p. 63 10 min

Parmi les propositions faites, une seule est correcte. Laquelle? Justifier en donnant, selon les cas, l’ensemble de définition ou l’ensemble de dérivabilité le plus grand qui convienne. 1 La fonction f est définie sur ℝ_{C} par f ▷x◁ D 2x\sqrt{x}.

La fonction f est dérivable sur :

a U0 I C∞T  b T0 I C∞T  c ℝ \ {0}

2 La fonction g V x ↦ −\frac{3}{x^{2} C 5} est définie sur :

a ℝ  b ℝ \ \{\sqrt{5}\}  c ℝ_{C}

3 La fonction h V x ↦ \frac{x^{3}}{5} − 4x^{2} C \sqrt{3} est définie sur :

a ℝ  b ℝ \ {5}  c ℝ_{C}

4 La fonction h définie à la question précédente est dérivable sur :

a ℝ_{C}  b ℝ  c ℝ_{C}^{∗}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 56 — #66 INTERROS_{56}
3_{V/F} Dérivabilité Corrigé p. 64 10 min

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1 Si une fonction f est définie en x_{0}, alors f est dérivable en x_{0}. 2 La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 donc la fonction f V

x ↦ x\sqrt{x} ne l’est pas non plus. 3 La dérivée d’une fonction polynôme de degré n (n ∈ ℕ^{∗}) est une

fonction polynôme de degré n. 4 Soit f une fonction telle que f ▷1◁ D 5, alors f′▷1◁ D 0.

4_{QCM} Dérivée et lecture graphique Corrigé p. 64 10 min

Sur la figure ci-dessous, sont représentées la fonction f, définie et dérivable sur ℝ, et ses tangentes aux points d’abscisse −2, et 3.

Donner la ou les bonnes réponses aux suivantes.

1  a f′▷−2◁ D −\frac{5}{2}  b f′▷−2◁ D \frac{1}{5}  c f′▷−2◁ D 5
2  a f′▷3◁ D 0  b f′▷3◁ D 1  c On ne peut pas savoir
3  a f′▷5◁ D \frac{1}{7}  b f′▷5◁ D 7  c On ne peut pas savoir

4 L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse −2 est :

a y D −\frac{5}{2}x C 2  b y D 5x C 2  c y D −5x − 3

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 57 — #67 DÉRIVATION CHAP. 2_{57} CORRIGÉS INTERROS COURS

Nombres dérivés et tangentes

5Lecture graphique_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 65 ; 5 min ; ⋆

On a représenté ci-contre la courbe représentative d’une fonction f et celle de sa dérivée f′.

Quelle est celle qui correspond à f et à f′?

Justifier.

6Équations de tangentes_{Lycée Kremlin-Bicêtre, Meaux} Corrigé ; p. 65 ; 10 min ; ⋆

Dans chacun des cas suivants, écrire une équation de la tangente en M à la courbe C d’équation y D f ▷x◁.

1 y D \frac{1}{x}, M▷−2 I −\frac{1}{2}◁.  _{2} y D \sqrt{x} C x, M▷1 I 2◁.

7Lecture graphique et tangente_{Lycée international Victor Hugo, Colomiers} Corrigé ; p. 66 ; 10 min ; ⋆

On considère une fonction f définie sur T0 I 6U. La courbe C_{f} représentant f est donnée ci-dessous :

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 58 — #68 INTERROS_{58}

Cette courbe passe par les points A▷1 I 0◁, B▷2 I 1◁, D▷4 I 4◁ et E▷6 I 1◁. La tangente en A à la courbe C_{f} est confondue avec l’axe des abscisses; la tangente en D à C_{f} est parallèle à cet axe. La tangente à la courbe au point E passe par le point F ▷5 I 5◁. Par lecture graphique ou à l’aide des renseignements donnés : 1 Déterminer f ▷4◁ et f ▷6◁.

2 Déterminer f′▷4◁ et f′▷6◁.

3 Résoudre les équations f ▷x◁ D 0 et f′▷x◁ D 0.

4 Déterminer l’équation réduite de la tangente T_{1} à la courbe C_{f} au point D, puis celle de la tangente T_{2} au point E.

8Hyperbole_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 66 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

On considère la fonction f V x ↦ \frac{a}{x}, a ∈ ℝ_{C}^{∗}. On désigne par H_{a} l’hyperbole représentant cette fonction dans un plan muni d’un repère orthonormal ▷OI E ı, E ȷ◁ . Dans la suite du problème, M_{0} désigne le point d’abscisse x_{0} sur H_{a}, où x_{0} ∈ ℝ_{C}^{∗}.

1 Donner une équation de la tangente 1 au point d’abscisse x_{0}, en fonction

de x_{0}. 2 1 coupe les droites ▷Ox◁ et ▷Oy◁ respectivement en H et K.

Montrer que M_{0} est le milieu du segment THKU. 3 En déduire un procédé géométrique pour construire la tangente à H_{a} en

M_{0}.

9Étude d’une tangente_{Lycée Camille See, Paris} Corrigé ; p. 67 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Déterminer m pour que la courbe représentative C de la fonction définie par :

f ▷x◁ D \frac{mx C 1}{▷2 − m◁x C 3}

admette au point d’abscisse −1 une tangente de coefficient directeur −2.

10Tangentes parallèles_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 68 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D x^{3} C 3x^{2} − 9x C 6 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 59 — #69 DÉRIVATION CHAP. 2_{59} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 Soit a ∈ ℝ. Exprimer f′▷a◁.

2 Donner une équation de la droite ▷T ◁, tangente à C au point d’abscisse 2.

3 Montrer qu’il existe un autre point de C en lequel la tangente est parallèle

à ▷T ◁. 4 La courbe C admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des abscisses?

Si oui, préciser en quel(s) point(s).

11Utiliser des renseignements_{Lycée du Parc, Lyon} Corrigé ; p. 69 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Soit f une fonction définie et dérivable sur U0 I C∞T, strictement croissante sur l’intervalle U0 I 2U et strictement décroissante sur l’intervalle T2 I C∞T. La fonction n’est pas définie en 0. On note f′la fonction dérivée de f sur son ensemble de définition. On note C la courbe représentative de f dans un repère.

C passe par les points A( \frac{1}{2} I −2) , B▷1 I 0◁ et C▷2 I 1◁.

E est le point de coordonnées ( 1 I \frac{3}{2}) .

La courbe C admet au point C une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La droite (AE) est tangente à la courbe C en A.

1 Que vaut f ▷2◁, f′▷2◁, f ( \frac{1}{2}) et f′( \frac{1}{2}) ?

2 Donner l’équation de la tangente en A à la courbe C.

3 On sait de plus que l’équation f ▷x◁ D 0 admet deux solutions, 1 et 3,5. Tracer, dans un repère orthonormal, une courbe pouvant représenter la fonction f, ainsi que les tangentes aux point A et C.

Dérivabilité

12Dérivabilité en a D 1_{Lycée Alain, Le Vésinet} Corrigé ; p. 70 ; 10 min ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ^{∗} par : f ▷x◁ D \frac{1}{x^{2}}.

On pose, pour h D̸ 0 : t▷h◁ D \frac{f ▷1 C h◁ − f ▷1◁}{h} .

1 Montrer que l’on a : t▷h◁ D \frac{−2 − h}{▷1 C h◁^{2}}.

2 Montrer que f est dérivable en 1 et préciser son nombre dérivé.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 60 — #70 INTERROS_{60}
13Valeur absolue et dérivabilité_{Lycée Jeanne d’Albret, Saint-Germain-en-Laye} Corrigé ; p. 71 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D |x^{2} − 4| − 1. Étudier la dérivabilité de f en a D 2.

Fonctions dérivées

14Quotients_{Lycée Jean Renoir, Bondy} Corrigé ; p. 71 ; 15 min ; ⋆

Déterminer le domaine de définition D_{f} des fonctions suivantes, ainsi que leur dérivée f′▷x◁.

1 f ▷x◁ D \frac{3x^{2} − 4x C 7}{2x^{2} − x − 1} .

2 f ▷x◁ D 3 − 5x C \frac{1}{4x − 7} .

3 f ▷x◁ D \frac{2x C 3}{▷−x^{2} C 2◁▷x C 3◁}.

15Produits et quotients_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 72 ; 20 min ; ⋆

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f, l’ensemble de dérivabilité de f, puis calculer f′▷x◁ sur son ensemble de dérivabilité. 1 f V x ↦ ▷2x − 3◁\sqrt{x}.

2 g V x ↦ \frac{2 − 3x}{x^{2} − 5x C 4} .

3 k V x ↦ \frac{x\sqrt{x}}{x^{2} C 3}.

16Recherche de fonctions dérivées_{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison} Corrigé ; p. 74 ; 20 min ; ⋆

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1 f ▷x◁ D \frac{2x C 1}{x^{2} − x C 1} .

2 g▷x◁ D \frac{1}{x^{4} − x^{2} C 1} .

3 h▷x◁ D \frac{1}{2\sqrt{x}}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 61 — #71 DÉRIVATION CHAP. 2_{61} CORRIGÉS INTERROS COURS
17Dérivées pêle-mêle_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 75 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Calculer la dérivée des fonctions suivantes, en précisant leur ensemble de dérivabilité.

1 f ▷x◁ D −\frac{x^{5}}{5} C 4x^{3} C \frac{2}{5}x C 2π.

2 f ▷x◁ D −\frac{5}{x} C 2\sqrt{x}.

3 f ▷x◁ D \frac{1}{−x C 4} .

4 f ▷x◁ D ▷4 − 3x◁^{4}.

5 f ▷x◁ D \sqrt{−2x C 4} .

6 f ▷x◁ D \frac{1}{▷5x C 3◁^{3}}.

7 f ▷x◁ D |5 − 7x|.

18Coût marginal_{Lycée Fénelon, Paris} Corrigé ; p. 76 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Le coût de production de x objets est donné par la fonction :

C▷x◁ D 180 C 12x − 0,01x^{2}.

1 Le coût marginal C_{m}▷x◁ est défini comme l’accroissement du coût total occasionné par la production de la x^{e} pièce, ce qu’on peut écrire :

C_{m}▷x◁ D C▷x◁ − C▷x − 1◁.

Donner l’expression de C_{m}▷x◁ dans le cas étudié. 2 Donner l’expression de la dérivée C′▷x◁.

3 Si l’on utilise C′▷x◁ comme valeur approchée du coût marginal C_{m}▷x◁, quelle erreur commet-on? Donner la valeur de cette erreur lorsqu’on produit le 100^{e} objet.

19Valeur annulant la dérivée_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 76 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de ℝ telles que v et v′ne s’annulent pas sur cet intervalle.

1 On considère la fonction f D \frac{u}{v}.

Prouver que si a est un nombre de I tel que f′▷a◁ D 0, alors

f ▷a◁ D \frac{u′▷a◁}{v′▷a◁}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 62 — #72 INTERROS_{62}

2 Application.

On pose f ▷x◁ D \frac{x^{2} C 3x − 4}{x^{2} C 1} définie pour tout x de ℝ.

(a) Calculer f′▷x◁ et donner la valeur exacte de a, nombre positif tel que f′▷a◁ D 0.

(b) Utiliser le résultat de la question 1. pour donner la valeur exacte de f ▷a◁.

20Position relative_{Lycée Saint-Joseph-Du-Loquidy, Nantes} Corrigé ; p. 77 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

On considère la fonction f ▷x◁ D \frac{6x C 4}{2x C 1}, et on note C sa courbe représentative. 1 Sur quel ensemble D la fonction f est-elle définie? 2 Montrer que pour tout réel x de D, f′▷x◁ D \frac{−2}{▷2x C 1◁^{2}}. 3 On appelle T la tangente à C au point d’abscisse 0.

Déterminer une équation de T . 4 Montrer que la tangente à C au point d’abscisse −1 est parallèle à T . 5 Déterminer la position relative de C et T . 6 Soit a un réel quelconque non nul. Montrer que les tangentes à C aux

points d’abscisses −\frac{1}{2} C a et −\frac{1}{2} − a sont parallèles.

Dérivabilité — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 63 — #73 DÉRIVATION CHAP. 2_{63} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Questions de cours {Énoncé \atop p. 55}

1 Réponse b . En effet, si le nombre dérivé de f en 2 vaut 0 alors le coefficient de la tangente au point d’abscisse 2 vaut 0. Ainsi, la tangente est horizontale.

2 Réponse a . En effet, le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé. Or, si y D 5x C 1 est l’équation réduite de la tangente, alors son coefficient directeur vaut 5, d’où f′▷−1◁ D 5.

Remarque : la proposition c ne pouvait pas être correcte car d’après le cours, l’équation réduite de la tangente est :

y D f′▷−1◁(x−▷−1◁)Cf ▷−1◁ ⟺ y D f′▷−1◁xCf′▷−1◁Cf ▷−1◁.

Or, l’énoncé nous dit que cette équation est y D 5x C1. On devrait donc avoir :

\{ \begin{matrix}f′▷−1◁ D 5 \\ f′▷−1◁ C f ▷−1◁ D 1 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}f′▷−1◁ D 5 \\ f ▷−1◁ D 1 − 5 D −4. \end{matrix}

3 Réponse c . En effet, d’après le cours, l’équation réduite de la tangente est :

y D f′▷5◁(x − 5) C f ▷5◁ ⟺ y D f′▷5◁x − 5f′▷5◁ C f ▷5◁.

Or, l’énoncé nous dit que cette équation est y D −5x C 5. On devrait donc avoir :

\{ \begin{matrix}f′▷5◁ D −5 \\ −5f′▷5◁ C f ▷5◁ D 5 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}f′▷5◁ D −5 \\ f ▷5◁ D 5 − 25 D −20. \end{matrix}

2_{QCM} Ensemble de définition et de dérivabilité {Énoncé \atop p. 55}

1 Réponse b . En effet, la fonction f est dérivable sur U0 I C∞T comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Étudions maintenant la dérivabilité de f en 0 en revenant à la définition :

lim_{h→0} \frac{f ▷0 C h◁ − f ▷0◁}{h} D lim_{h→0} \frac{h\sqrt{h}}{h} D lim_{h→0} \sqrt{h} D 0.

Donc f est dérivable en 0 et f′▷0◁ D 0. 2 Réponse a . En effet, x^{2} C 5 ⩾ 5 puisque x^{2} ne peut être négatif. Donc

le dénominateur ne s’annule jamais. 3 Réponse a . L’erreur consisterait à confondre \sqrt{3} et \sqrt{x}.

4 Réponse b . De même la dérivée de x ↦ \sqrt{3} est 0, puisque \sqrt{3} est un nombre réel.

Lecture graphique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 64 — #74

CORRIGÉS_{64}

3_{V/F} Dérivabilité {Énoncé \atop p. 56}

1 Faux. Les fonctions : x ↦ |x| et x ↦ \sqrt{x} sont toutes les deux définies

en x_{0} D 0; cependant, elles n’y sont pas dérivables. 2 Faux. Il est exact que la fonction : x ↦ \sqrt{x} n’est pas dérivable en 0;

cependant, f est dérivable en 0.

On a, pour tout h > 0, T ▷h◁ D \frac{f ▷h◁ − f ▷0◁}{h} . Soit :

T ▷h◁ D \frac{h\sqrt{h}}{h} D \sqrt{h}.

T ▷h◁ admet une limite finie égale à 0 lorsque h tend vers 0. Donc la fonction f est dérivable en 0 et f′▷0◁ D 0.

3 Faux. La dérivée de la fonction f ▷x◁ D x^{n} est f ▷x◁ D nx^{n−1} qui est de

degré n − 1. 4 Faux. Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D x^{2} C 4. On a bien

f ▷1◁ D 5. La fonction f est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x, f′▷x◁ D 2x. Par suite, f′▷1◁ D 2.

4_{QCM} Dérivée et lecture graphique {Énoncé \atop p. 56}

1 Réponse a . La tangente au point d’abscisse −2 passe par les points A▷−2 I 7◁ et B▷0 I 2◁.

Son coefficient directeur est donc \frac{2 − 7}{0 − ▷−2◁} D −\frac{5}{2}. Or par définition,

ce coefficient directeur est f′▷−2◁. 2 Réponse a . La double flèche horizontale au point de la courbe d’abs-

cisse 3 signifie qu’il y a en ce point une tangente horizontale, donc f′▷3◁ D 0.

3 Réponse c . La tangente en ce point n’est pas tracée donc il n’y a aucun

moyen de déterminer son coefficient directeur. 4 Réponse a . On sait déjà que le coefficient directeur de cette tangente

est −\frac{5}{2}. De plus la droite, qui a donc une équation de la forme

y D −\frac{5}{2}x C p, passe par le point A▷−2 I 7◁. Les coordonnées de A vérifient donc l’équation de la tangente et on a :

7 D −\frac{5}{2} × ▷−2◁ C p, ce qui donne p D 2.

L’équation de la tangente est donc y D −\frac{5}{2}x C 2.

Lecture graphique et tangente — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 65 — #75

DÉRIVATION CHAP. 2_{65} CORRIGÉS INTERROS COURS

5Lecture graphique_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 57}

Supposons que la courbe rouge soit celle de f′. Alors, f′▷0◁ D 2. Cela signifierait que la tangente au point d’abscisse 0 à l’autre courbe aurait un coefficient directeur égal à 2.

Or, la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe bleue est horizontale, donc a un coefficient directeur égal à 0.

Ainsi, la courbe rouge n’est pas celle de f′.

On en conclut alors que la courbe rouge est celle de f, et la courbe bleue est celle de f′.

6Équations de tangentes_{Lycée Kremlin-Bicêtre, Meaux} {Énoncé \atop p. 57}

1 On sait que le coefficient directeur de la tangente en un point est égal au

nombre dérivé en ce point et l’on a f ▷x◁ D \frac{1}{x}.

La fonction f est dérivable sur ]−∞ I 0[ ∪ ]0 I C∞[ et f′▷x◁ D −\frac{1}{x^{2}}. En particulier en −2 :

f′▷−2◁ D −\frac{1}{4} et f ▷−2◁ D −\frac{1}{2}.

Une équation de la tangente est :

y D −\frac{1}{2} − \frac{1}{4}▷x C 2◁

ou encore :

y D −\frac{1}{4}x − 1.

2 En utilisant le même raisonnement pour f ▷x◁ D \sqrt{x} C x, on a :

f′▷x◁ D \frac{1}{2\sqrt{x}} C 1

et en particulier :

f′▷1◁ D \frac{3}{2} et f ▷1◁ D 2.

Une équation de la tangente est y D 2 C \frac{3}{2}▷x − 1◁, soit :

y D \frac{3}{2}x C \frac{1}{2}.

Hyperbole — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 66 — #76

CORRIGÉS_{66}

7Lecture graphique et tangente_{Lycée international Victor Hugo, Colomiers} {Énoncé \atop p. 57}

1 f ▷4◁ D 4; f ▷6◁ D 1.

2 f′▷4◁ D 0 (on a une tangente parallèle à l’axe des abscisses) et f′▷6◁ D −4. En effet, la tangente en E passe par E▷6 I 1◁ et F ▷5 I 5◁,

donc son coefficient directeur est \frac{5 − 1}{5 − 6} D −4.

Or, par définition, ce coefficient directeur est égal à f′▷6◁. 3 f ▷x◁ D 0 ⇔ x D 1 : le point A est le seul point de la courbe sur l’axe

des abscisses. f′▷x◁ D 0 ⇔ x D 1 ou x D 4. En effet, pour ces deux valeurs on a une tangente horizontale, donc de coefficient directeur 0.

4 Pour T_{1} : le coefficient directeur est nul (voir question 3), et cette droite passe par le point D. Donc l’équation de T_{1} est y D 4. Pour T_{2} : on sait déjà que le coefficient directeur est −4, donc l’équation est de la forme y D −4xCp. De plus, le point E appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l’équation. On a donc : 1 D −4 × 6 C p, et donc p D 25. L’équation réduite de T_{2} est y D −4x C 25.

8Hyperbole_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 58}

1 f′▷x◁ D −\frac{a}{x^{2}} donc f′▷x_{0}◁ D −\frac{a}{x_{0}^{2}}.

L’équation de la tangente est donc : y D −\frac{a}{x_{0}^{2}}▷x − x_{0}◁ C \frac{a}{x_{0}}, soit :

y D −\frac{a}{x_{0}^{2}}x C \frac{2a}{x_{0}}.

2 1 coupe l’axe des abscisses lorsque y D 0. On a alors −\frac{a}{x_{0}^{2}}x C \frac{2a}{x_{0}} D 0,

et donc :

x D \frac{−\frac{2a}{x_{0}}}{−\frac{a}{x_{0}^{2}}} D −\frac{2a}{x_{0}} × \frac{−x_{0}^{2}}{a} D 2x_{0}.

H a donc pour coordonnées ▷2x_{0} I 0◁.

1 coupe l’axe des ordonnées lorsque x D 0, on a alors y D \frac{2a}{x_{0}}.

K a donc pour coordonnées ( 0 I \frac{2a}{x_{0}}) .

Étude d’une tangente — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 67 — #77 DÉRIVATION CHAP. 2_{67} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le milieu de THKU a pour coordonnées ( \frac{2x_{0} C 0}{2} I \frac{0 C \frac{2a}{x_{0}}}{2} ) , soit

( x_{0} I \frac{a}{x_{0}}) , et ce sont bien les coordonnées de M_{0}.

3 Il y a en fait deux constructions possibles :

Soit on s’intéresse au triangle OHK : il est rectangle en O, et sa médiane issue de O est TOM_{0}U d’après le résultat précédent. Or, dans un triangle rectangle, la médiane a pour longueur la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Donc on peut tracer un cercle de rayon OM_{0} et de centre M_{0}. Il coupera les deux axes en H et K.

On pourrait aussi n’utiliser que le résultat intermédiaire, qui est l’abscisse de H : on reporte deux fois l’abscisse x_{0} à partir de O sur l’axe des abscisses, puis on joint les points H et M_{0}, ce qui permet de tracer la tangente.

9Étude d’une tangente_{Lycée Camille See, Paris} {Énoncé \atop p. 58}

Pour que la courbe représentative C de la fonction définie par

f ▷x◁ D \frac{mx C 1}{▷2 − m◁x C 3} admette au point d’abscisse −1 une tangente de

coefficient directeur −2, il faut d’abord que f soit définie en −1, donc que ▷2 − m◁▷−1◁ C 3 D̸ 0, c’est-à-dire m D̸ −1.

Tangentes parallèles — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 68 — #78

CORRIGÉS_{68}

f est alors dérivable en −1 et on doit avoir f′▷−1◁ D −2. La dérivée de f vaut :

f′▷x◁ D \frac{m▷2x − mx C 3◁ − ▷mx C 1◁▷2 − m◁}{▷2x − mx C 3◁^{2}}

D \frac{2mx − m^{2}x C 3m − 2mx − 2 C m^{2}x C m}{▷2x − mx C 3◁^{2}}

D \frac{4m − 2}{▷2x − mx C 3◁^{2}}.

Au point −1, on a :

f′▷−1◁ D \frac{4m − 2}{▷m C 1◁^{2}}.

Il faut donc avoir : \begin{matrix}\frac{4m − 2}{▷m C 1◁^{2}} & D −2 \\ 2 − 4m & D 2m^{2} C 4m C 2 \\ 2m^{2} C 8m & D 0. \end{matrix}

On obtient alors m D 0 ou m D −4, qui sont donc les deux solutions recherchées : S D {−4,0}.

10Tangentes parallèles_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 58}

1 La dérivée de f est :

f′▷x◁ D 3x^{2} C 6x − 9.

Ainsi,

∀ a ∈ ℝ, f′▷a◁ D 3a^{2} C 6a − 9.

2 D’après le cours, l’équation réduite de la tangente à C au point d’abscisse

a est :

y D f′▷a◁▷x − a◁ C f ▷a◁.

Pour a D 2, on obtient :

y D f′▷2◁▷x − 2◁ C f ▷2◁
⟺ y D ▷3 × 2^{2} C 6 × 2 − 9◁▷x − 2◁ C ▷2^{3} C 3 × 2^{2} − 9 × 2 C 6
⟺ y D 15▷x − 2◁ C 8
⟺ y D 15x − 22

L’équation réduite de ▷T ◁ est donc y D 15x − 22.

Utiliser des renseignements — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 69 — #79

DÉRIVATION CHAP. 2_{69} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 S’il existe un point d’abscisse b en lequel la tangente à C est parallèle à ▷T ◁, alors f′▷b◁ D 15 (les coefficients directeurs des tangentes sont nécessairement égaux).

f′▷b◁ D 15 ⟺ 3b^{2} C 6b − 9 D 15
⟺ 3b^{2} C 6b − 24 D 0
⟺ b^{2} C 2b − 8 D 0 (en divisant tout par 3).

Le discriminant du trinôme b^{2} C 2b − 8 est :

1 D 2^{2} − 4 × 1 × ▷−8◁ D 36.

Il a donc deux racines :

b_{1} D \frac{−2 − 6}{2} D −4  et  b_{2} D \frac{−2 C 6}{2} D 2.

Il y a donc deux points en lesquels le coefficient directeur de la tangente à C est égal à 2 : celui d’abscisse −4 et celui d’abscisse 2 (déjà vu précédemment).

4 C admet une ou des tangentes parallèles à l’axe des abscisses s’il existe au moins une valeur de a pour laquelle f′▷a◁ D 0

f′▷a◁ D 0 ⟺ 3a^{2} C 6a − 9 D 0
⟺ a^{2} C 2a − 3 D 0 (en divisant tout par 3).

a_{1} est une racine évidente de a^{2} C 2a − 3 donc la seconde racine est

a_{2} D −3 (on utilise le résultat a_{1}a_{2} D \frac{c}{a} D \frac{−3}{1} ).

Il existe donc bien deux points (d’abscisses respectives 1 et −3) en lesquels la tangente à C est horizontale.

11Utiliser des renseignements_{Lycée du Parc, Lyon} {Énoncé \atop p. 59}

1 C a pour coordonnées ▷2 I 1◁ et appartient à C.

Donc f ▷2◁ D 1.

La tangente en C à C est parallèle à l’axe des abscisses donc :

f′▷2◁ D 0.

A( \frac{1}{2} I −2) appartient à C, donc :

f ( \frac{1}{2}) D −2.

(AE) est tangente à la courbe C en A, donc le coefficient directeur de (AE) est égal à la dérivée de f en l’abscisse de A.

Dérivabilité en a D 1 — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 70 — #80 CORRIGÉS_{70}

Ce coefficient directeur est égal à :

\frac{\frac{3}{2} − ▷−2◁}{1 − \frac{1}{2}} D \frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} D 7.

On a donc f′( \frac{1}{2}) D 7.

2 On utilise la formule y D f′▷a◁▷x − a◁ C f ▷a◁.

y D 7 ( x − \frac{1}{2}) − 2 D 7x − \frac{7}{2} − 2 D 7x − \frac{11}{2}.

L’équation de la tangente en A à la courbe C est y D 7x − \frac{11}{2}. 3 On a le graphique suivant :

12Dérivabilité en a D 1_{Lycée Alain, Le Vésinet} {Énoncé \atop p. 59}

1 On a :

t▷h◁D \frac{f ▷1 C h◁ − f ▷1◁}{h} D \frac{\frac{1}{▷1 C h◁^{2}}− \frac{1}{1^{2}}}{h} D \frac{\frac{1}{▷1 C h◁^{2}}− 1}{h}

D \frac{1 − ▷1 C h◁^{2}}{h▷1 C h◁^{2}} D \frac{−h^{2} − 2h}{h▷1 C h◁^{2}} D \frac{−2 − h}{▷1 C h◁^{2}}.

Quotients — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 71 — #81 DÉRIVATION CHAP. 2_{71} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 On a donc lim_{h→0} t▷h◁ D −2, d’où :

lim_{h→0} \frac{f ▷1 C h◁ − f ▷1◁}{h} D −2.

f est dérivable en 1 et son nombre dérivé en 1 vaut −2.

Soit : f′▷1◁ D −2.

13Valeur absolue et dérivabilité_{Lycée Jeanne d’Albret, Saint-Germain-en-Laye} {Énoncé \atop p. 60}

Soit h un réel non nul, le taux de variation de la fonction f entre 2 et 2 C h est :

t▷h◁ D \frac{f ▷2 C h◁ − f ▷2◁}{h} .

Comme f ▷x◁ D |x^{2} − 4| − 1, alors t▷h◁ D \frac{|▷2 C h◁^{2} − 4| − 1 C 1}{h} .

Soit après réduction :

t▷h◁ D \frac{|h^{2} C 4h|}{h}.

On écrit t▷h◁ sous la forme \frac{|h|}{h} × |h C 4|.

Deux cas doivent alors être distingués :

Si h > 0, alors t▷h◁ D h C 4.

Si h < 0, alors t▷h◁ D −|h C 4|.

Il en résulte que t▷h◁ n’a pas de limite en 0. En effet, si h tend vers 0 par valeurs positives, t▷h◁ tend vers 4 (calcul effectué dans la première expression) et si h tend vers 0 par valeurs négatives, alors t▷h◁ tend vers −4 (calcul effectué dans la seconde expression).

On en déduit que f n’est pas dérivable en a D 2.

14Quotients_{Lycée Jean Renoir, Bondy} {Énoncé \atop p. 60}

1 f ▷x◁ existe si et seulement si 2x^{2} − x − 1 D̸ 0.

Étudions le trinôme 2x^{2} − x − 1 : 1 D 9 donc ses racines sont :

x_{1} D \frac{1 C 3}{4} D 1 et x_{2} D \frac{1 − 3}{4} D −\frac{1}{2}.

Finalement :

D_{f} D ℝ \ \{−\frac{1}{2} I 1\}

Produits et quotients — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 72 — #82

CORRIGÉS_{72}

La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition.

f′▷x◁ D \frac{▷6x − 4◁▷2x^{2} − x − 1◁ − ▷3x^{2} − 4x C 7◁▷4x − 1◁}{▷2x^{2} − x − 1◁^{2}}

D \frac{12x^{3} − 14x^{2} − 2x C 4 − ▷12x^{3} − 16x^{2} C 28x − 3x^{2} C 4x − 7◁}{▷2x^{2} − x − 1◁^{2}}

D \frac{5x^{2} − 34x C 11}{▷2x^{2} − x − 1◁^{2}} .

2 f ▷x◁ existe si et seulement si 4x − 7 D̸ 0, d’où :

D_{f} D ℝ \ \{ \frac{7}{4}\}

La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition et :

f′▷x◁ D −5 − \frac{4}{▷4x − 7◁^{2}}.

3 f ▷x◁ existe si et seulement si ▷−x^{2}C 2◁▷x C 3◁ D̸ 0, soit si et seulement si −x^{2} C 2 D̸ 0 et x C 3 D̸ 0, d’où :

D_{f} D ℝ \ \{−3 I −\sqrt{2}I \sqrt{2}\}

La fonction f est une fonction rationnelle, dérivable sur son ensemble

de définition avec, pour tout x ∈ D_{f} , f ▷x◁ D \frac{u▷x◁}{v▷x◁}, où :

u▷x◁ D 2x C 3 et v▷x◁ D ▷−x^{2} C 2◁▷x C 3◁ .

On a u′▷x◁ D 2 et, en utilisant la formule de dérivation d’un produit, v′▷x◁ D ▷−2x◁▷x C 3◁ C ▷−x^{2} C 2◁▷1◁ D −3x^{2} − 6x C 2. On a donc :

\begin{aligned}f′▷x◁ & D \frac{2▷−x^{2} C 2◁▷x C 3◁ − ▷2x C 3◁▷−3x^{2} − 6x C 2◁}{▷−x^{2} C 2◁^{2}▷x C 3◁^{2}} \\ & D \frac{4x^{3} C 15x^{2} C 18x C 6}{▷−x^{2} C 2◁^{2}▷x C 3◁^{2}} . \end{aligned}

15Produits et quotients_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 60}

1 f est définie sur ℝ_{C} et dérivable sur ℝ_{C}^{∗}.

f′▷x◁ D 2\sqrt{x} C ▷2x − 3◁ × \frac{1}{2\sqrt{x}}

D \frac{2\sqrt{x} × 2\sqrt{x} C 2x − 3}{2\sqrt{x}}

D \frac{6x − 3}{2\sqrt{x}} .

Produits et quotients — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 73 — #83

DÉRIVATION CHAP. 2_{73} CORRIGÉS INTERROS COURS

MÉTHODE

Il est intéressant d’aller jusqu’à la dernière écriture, car elle nous permettra d’étudier le signe de f′▷x◁.

f n’est pas dérivable en 0 : en effet, en revenant à la définition :

lim_{h→0} \frac{f ▷0 C h◁ − f ▷0◁}{h} D lim_{h→0} \frac{▷2h − 3◁\sqrt{h}}{h} D lim_{h→0} ( 2\sqrt{h} − \frac{3}{\sqrt{h}}) .

Or, lorsque h se rapproche de 0, \frac{3}{\sqrt{h}} devient de plus en plus grand; on

dit que cette quantité tend vers l’infini. La limite du taux de variation n’est donc pas un réel, et donc f n’est pas dérivable en 0.

2 g est définie et dérivable comme quotient de deux fonctions polynômes, lorsque le dénominateur est non nul. 1 D 9, le trinôme a donc deux racines, 1 et 4. La fonction f est donc définie et dérivable sur ℝ \ {1 I 4}.

g′▷x◁D \frac{−3▷x^{2} − 5x C 4◁ − ▷2 − 3x◁▷2x − 5◁}{▷x^{2} − 5x C 4◁^{2}}

D \frac{−3x^{2} C 15x − 12 − 4x C 10 C 6x^{2} − 15x}{▷x^{2} − 5x C 4◁^{2}}

D \frac{3x^{2} − 4x − 2}{▷x^{2} − 5x C 4◁^{2}}.

Là encore, g′▷x◁ est sous une forme où l’étude de son signe sera facile. 3 Le dénominateur de k▷x◁ ne s’annule jamais. Par contre il y a une racine

carrée. Donc k est définie sur ℝ_{C} et dérivable sur ℝ_{C}^{∗}.

k′▷x◁D \frac{( \sqrt{x} C x × \frac{1}{2\sqrt{x}}) ▷x^{2} C 3◁ − x\sqrt{x} × 2x}{▷x^{2} C 3◁^{2}}

D \frac{( \sqrt{x} C \frac{\sqrt{x}}{2}) ▷x^{2} C 3◁ − 2x^{2}\sqrt{x}}{▷x^{2} C 3◁^{2}}

D \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2}x^{2} C \frac{3}{2}\sqrt{x} × 3 − 2x^{2}\sqrt{x}}{▷x^{2} C 3◁^{2}}

D \frac{\sqrt{x}( \frac{9 − x^{2}}{2} )}{▷x^{2} C 3◁^{2}} .

La forme obtenue à la fin peut laisser penser que k est dérivable en 0, puisque rien ne s’opposerait à remplacer x par 0 dans cette formule.

Dérivées pêle-mêle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 74 — #84

CORRIGÉS_{74}

Il nous faut revenir à la définition :

lim_{h→0} \frac{k▷0 C h◁ − k▷0◁}{h}D lim_{h→0} \frac{\frac{h\sqrt{h}}{h^{2} C 3}}{h} D lim_{h→0} \frac{\sqrt{h}}{h^{2} C 3} D 0.

Donc la fonction k est bien dérivable en 0, et son ensemble de dérivabilité est finalement ℝ_{C}.

16Recherche de fonctions dérivées_{Lycée Richelieu, Rueil-Malmaison} {Énoncé \atop p. 60}

1 f ▷x◁ D \frac{2x C 1}{x^{2} − x C 1} .

La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition. Or, le discriminant du trinôme x^{2}−x C1 est −3. Donc l’équation x^{2} − x C 1 D 0 n’admet pas de solution réelle. On en déduit que f est définie et dérivable sur ℝ.

f′▷x◁ D \frac{2▷x^{2} − x C 1◁ − ▷2x C 1◁▷2x − 1◁}{▷x^{2} − x C 1◁^{2}}

D \frac{2x^{2} − 2x C 2 − 4x^{2} C 1}{▷x^{2} − x C 1◁^{2}}

D \frac{−2x^{2} − 2x C 3}{▷x^{2} − x C 1◁^{2}} .

2 On doit chercher si le dénominateur s’annule pour certaines valeurs de x.

x^{4} − x^{2} C 1 D 0 est une équation dite bicarrée : pour la résoudre, on pose X D x^{2}, et l’équation devient alors :

X^{2} − X C 1 D 0.

Cette équation est celle de la question 1., et nous avons montré qu’elle n’avait pas de solution réelle (discriminant négatif). Donc l’équation x^{4} − x^{2} C 1 D 0 n’a pas de solution non plus, et g est définie et dérivable sur ℝ.

g′▷x◁ D −\frac{4x^{3} − 2x}{▷x^{4} − x^{2} C 1◁^{2}}.

3 h▷x◁ D \frac{1}{2} × \frac{1}{\sqrt{x}}. La fonction h est définie et dérivable sur ]0 I C∞[ .

h′▷x◁ D \frac{1}{2} ( −\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{▷\sqrt{x}◁^{2}}) D −\frac{1}{4x\sqrt{x}}.

Dérivées pêle-mêle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 75 — #85

DÉRIVATION CHAP. 2_{75} CORRIGÉS INTERROS COURS

17Dérivées pêle-mêle_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 61}

1 f ▷x◁ D −\frac{x^{5}}{5} C 4x^{3} C \frac{2}{5}x C 2π.

f est un polynôme, donc dérivable sur ℝ. On dérive terme à terme pour obtenir :

f′▷x◁ D −\frac{5x^{4}}{5} C 4 × 3x^{2} C \frac{2}{5} × 1 C 0 D −x^{4} C 12x^{2} C \frac{2}{5}.

2 f ▷x◁ D −\frac{5}{x} C 2\sqrt{x}.

f est dérivable sur U0I C∞T car il y a la fonction racine carrée dans son expression. En dérivant terme à terme, on obtient :

f′▷x◁ D − ( −\frac{5}{x^{2}}) C 2 × \frac{1}{2\sqrt{x}} D \frac{5}{x^{2}} C \frac{1}{\sqrt{x}}.

3 f ▷x◁ D \frac{1}{−x C 4} .

f est dérivable sur U − ∞I 4T et sur U4I C∞T, et on remarque que :

f ▷x◁ D g▷−x C 4◁ avec g▷x◁ D \frac{1}{x} et g′▷x◁ D −\frac{1}{x^{2}}.

Ainsi, on utilise la formule du cours : (g▷ax C b◁)′D a × g′▷ax C b◁.

f′▷x◁ D −1 × ( −\frac{1}{▷−x C 4◁^{2}} ) D \frac{1}{▷−x C 4◁^{2}} .

4 f ▷x◁ D ▷4 − 3x◁^{4}.

f est un polynôme, donc dérivable sur ℝ. De plus,

f ▷x◁ D g▷4 − 3x◁ avec g▷x◁ D x^{4} et g′▷x◁ D 4x^{3}.

D’où :

f′▷x◁ D −3 × 4▷4 − 3x◁^{3} D −12▷4 − 3x◁^{3}.

5 f ▷x◁ D \sqrt{−2x C 4} .

f est dérivable sur U − ∞I 2T car −2x C 4 > 0 ⟺ x < 2. De plus,

f ▷x◁ D g▷−2x C 4◁ avec g▷x◁ D \sqrt{x} et g′▷x◁ D \frac{1}{2\sqrt{x}}.

D’où :

f′▷x◁ D −2 × \frac{1}{2\sqrt{−2x C 4}} D −\frac{1}{\sqrt{−2x C 4}} .

6 f ▷x◁ D \frac{1}{▷5x C 3◁^{3}}.

f est dérivable sur ]−∞I −\frac{3}{5}[ et sur ]−\frac{3}{5}I C∞[ . De plus,

f ▷x◁ D g▷5x C 3◁ avec g▷x◁ D \frac{1}{x^{3}} et g′▷x◁ D −\frac{3}{x^{4}}.

Valeur annulant la dérivée — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 76 — #86 CORRIGÉS_{76}

D’où :

f′▷x◁ D 5 × ( −\frac{3}{▷5x C 3◁^{4}}) D −\frac{15}{▷5x C 3◁^{4}}.

7 f ▷x◁ D |5 − 7x|. f est dérivable sur ]−∞I −\frac{5}{7}[ et sur ]−\frac{5}{7}I C∞[ car

5 − 7x D 0 ⟺ x D \frac{5}{7}. De plus,

f ▷x◁ D g▷5 − 7x◁ avec g▷x◁ D |x| et g′▷x◁ D \frac{|x|}{x}.

D’où :

f′▷x◁ D −7 × \frac{|5 − 7x|}{5 − 7x} D −\frac{7|5 − 7x|}{5 − 7x} .

18Coût marginal_{Lycée Fénelon, Paris} {Énoncé \atop p. 61}
1 \begin{matrix}C_{m}▷x◁ & D C▷x◁ − C▷x − 1◁ \\ D 180 C 12x − 0,01x^{2} − [180 C 12▷x − 1◁ − 0,01▷x − 1◁^{2}] \\ D 180 C 12x − 0,01x^{2} − 180 − 12x C 12 C 0,01x^{2} − 0,02x C 0,01 \\ D −0,02x C 12,01. \end{matrix}

2 C′▷x◁ D 12 − 0,02x.

3 L’erreur commise est C_{m}▷x◁ − C′▷x◁ D C0,01, et ce, quel que soit l’objet produit. Donc l’erreur produite lorsqu’on produit le 100^{e} objet est 0,01.

19Valeur annulant la dérivée_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 61}

1 Avec la définition de f, on peut calculer sa dérivée :

f′▷x◁ D \frac{u′▷x◁v▷x◁ − u▷x◁v′▷x◁}{▷v▷x◁◁^{2}} .

On sait que f′▷a◁ D 0, donc on a u′▷a◁v▷a◁−u▷a◁v′▷a◁ D 0 (un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul, ce qui est le cas d’après les hypothèses). On a donc u′▷a◁v▷a◁ D u▷a◁v′▷a◁, et en divisant successivement par v′▷a◁ et v▷a◁ (on peut le faire puisque u et v ne s’annulent pas sur I), on

obtient : \frac{u′▷a◁}{v′▷a◁}D \frac{u▷a◁}{v▷a◁}D f ▷a◁ par définition.

Position relative — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 77 — #87 DÉRIVATION CHAP. 2_{77} CORRIGÉS INTERROS COURS
2 (a) \begin{aligned}f′▷x◁ & D \frac{▷2x C 3◁▷x^{2} C 1◁ − ▷x^{2} C 3x − 4◁▷2x◁}{▷x^{2} C 1◁^{2}} \\ & D \frac{2x^{3} C 3x^{2} C 2x C 3 − 2x^{3} − 6x^{2} C 8x}{▷x^{2} C 1◁^{2}} \\ & D \frac{−3x^{2} C 10x C 3}{▷x^{2} C 1◁^{2}} . \end{aligned}

Cette dérivée s’annule si et seulement si −3x^{2} C 10x C 3 D 0. 1 D 100 C 36 D 136 D 4 × 34.

Les racines sont donc x′ D \frac{−10 − 2\sqrt{34}}{−6} et x′′D \frac{−10 C 2\sqrt{34}}{−6} .

Seule x′est positive, donc c’est elle qui est notée a. a D \frac{5 C \sqrt{34}}{3}.

(b) D’après la question 1, f ▷a◁ D \frac{u′▷a◁}{v′▷a◁}avec u▷x◁ D x^{2} C 3x − 4 et

v▷x◁ D x^{2} C 1.

f ▷a◁ D \frac{2a C 3}{2a}

D \frac{2 × \frac{5 C \sqrt{34}}{3} C 3}{2 × \frac{5 C \sqrt{34}}{3}}

D \frac{19 C 2\sqrt{34}}{10 C 2\sqrt{34}}

D \frac{▷19 C 2\sqrt{34}◁▷10 − 2\sqrt{34}◁}{▷10 C 2\sqrt{34}◁▷10 − 2\sqrt{34}◁}

D \frac{190 − 4 × 34 C 20\sqrt{34} − 38\sqrt{34}}{100 − 4 × 34}

D \frac{54 − 18\sqrt{34}}{−36}

D \frac{18\sqrt{34} − 54}{36}

D \frac{\sqrt{34} − 3}{2} .

20Position relative_{Lycée Saint-Joseph-Du-Loquidy, Nantes} {Énoncé \atop p. 62}

1 La fonction f est définie pour tous réels x tels que 2x C 1 D̸ 0, soit pour

x D̸ −\frac{1}{2}.

Position relative — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 78 — #88 CORRIGÉS_{78}

Le domaine de définition de f est donc :

D D ℝ \ \{−\frac{1}{2}\} .

2 f est de la forme \frac{u}{v} avec :

\begin{matrix}u▷x◁ D 6x C 4 & v▷x◁ D 2x C 1 \\ u′▷x◁ D 6 & v′▷x◁ D 2 \end{matrix}

Ainsi,

f′▷x◁ D ( \frac{u′v − v′u}{v^{2}} ) ▷x◁

D \frac{6▷2x C 1◁ − 2▷6x C 4◁}{▷2x C 1◁^{2}}

D \frac{12x C 6 − 12x − 8}{▷2x C 1◁^{2}}

D \frac{−2}{▷2x C 1◁^{2}}.

3 On a :

f ▷0◁ D \frac{6 × 0 C 4}{2 × 0 C 1} D 4;

f′▷0◁ D \frac{−2}{▷2 × 0 C 1◁^{2}} D −2.

Ainsi, une équation de T est :

y D f′▷0◁▷x − 0◁ C f ▷0◁
⟺ y D −2x C 4.

4 La tangente à C au point d’abscisse −1 a pour coefficient directeur :

f′▷−1◁ D \frac{−2}{▷2 × ▷−1◁ C 1◁^{2}} D −2.

Ainsi, cette tangente a le même coefficient directeur que T ; elle sont donc parallèles.

5  MÉTHODE

Pour trouver la position relative des courbes représentatives C_{f} et C_{g} de deux fonctions f et g, on étudie le signe de f ▷x◁ − g▷x◁ :

Si f ▷x◁ − g▷x◁ > 0 pour x ∈ I alors C_{f} est au-dessus de C_{g} sur I;

Si f ▷x◁ − g▷x◁ < 0 pour x ∈ I alors C_{f} est en-dessous de C_{g} sur I;

Si f ▷x◁ − g▷x◁ D 0 pour x D a alors C_{f} et C_{g} se coupent au point d’abscisse a.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 79 — #89 DÉRIVATION CHAP. 2_{79} CORRIGÉS INTERROS COURS
f ▷x◁ − ▷−2x C 4◁ D \frac{6x C 4}{2x C 1} C 2x − 4

D \frac{6x C 4}{2x C 1} C \frac{▷2x − 4◁▷2x C 1◁}{2x C 1}

D \frac{6x C 4 C 4x^{2} C 2x − 8x − 4}{2x C 1}

D \frac{4x^{2}}{2x C 1}.

Or, 4x^{2} > 0 pour tout réel x. Ainsi,

f ▷x◁ − ▷−2x C 4◁ > 0 ⟺ 2x C 1 > 0 ⟺ x > −\frac{1}{2}.

De plus,

f ▷x◁ − ▷−2x C 4◁ D 0 ⟺ 4x^{2} D 0 ⟺ x D 0.

On en conclut alors que : C est au-dessus de T sur ]−\frac{1}{2}I C∞[ ;

C est en-dessous de T sur ]−∞I −\frac{1}{2}[ ; C et T se coupent au point d’abscisse 0.

6 Calculons pour a D̸ 0 :

\begin{aligned}f′( −\frac{1}{2} C a) & D \frac{−2}{[2 ( −\frac{1}{2} C a) C 1]^{2}} \\ & D \frac{−2}{▷−1 C 2a C 1◁^{2}} D \frac{−2}{4a^{2}} \end{aligned}

\begin{aligned}f′( −\frac{1}{2} − a) & D \frac{−2}{[2 ( −\frac{1}{2} − a) C 1]^{2}} \\ & D \frac{−2}{▷−1 − 2a C 1◁^{2}} D \frac{−2}{4a^{2}} \end{aligned}

On a alors :

f′( −\frac{1}{2} C a) D f′( −\frac{1}{2} − a) .

Cela signifie donc que les tangentes à C aux points d’abscisses −\frac{1}{2} C a et −\frac{1}{2} − a ont le même coefficient directeur, et sont alors parallèles.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 2 page 80 — #90

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 81 — #91 3^{Chapitre}

Applications de la dérivation

Plan du chapitre

1. Signe de la dérivée et sens de variation

2. Extrema d’une fonction

Étudier la fonction f définie sur ℝ \ \{−2\} par : f ▷x◁ D \frac{x^{2}}{x C 2}.  Exercice type Lycée Montaigne, Bordeaux Voir corrigé page 83

1 Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème 1

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

f′▷x◁ > 0 sur I ⟺ f strictement croissante sur I.
f′▷x◁ < 0 sur I ⟺ f strictement décroissante sur I.
f′▷x◁ D 0 sur I ⟺ f constante sur I.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 82 — #92 COURS_{82}

Conséquences : pour connaître le sens de variation d’une fonction, il faut déterminer le ou les signes de sa dérivée :

sur les intervalles où f′▷x◁ < 0, f est strictement décroissante;

sur les intervalles où f′▷x◁ > 0, f est strictement croissante.

2 Extrema d’une fonction

Soit f une fonction définie sur Ta I bU et dérivable sur Ua I bT (noter que l’on exclut les bornes). Soit x_{0} ∈ Ta I bU.

Si x_{0} ∈ Ua I bT, f admet un extremum local en x_{0} si et seulement si f′s’annule et change de signe en x_{0}.

Si x_{0} D a ou x_{0} D b, il faut regarder le tableau de variation de f pour savoir si elle admet un extremum local en l’un de ces points.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 83 — #93 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{83} CORRIGÉS INTERROS COURS
f′▷x◁ D \frac{2x▷x C 2◁ − x^{2} × 1}{▷x C 2◁^{2}}

D \frac{2x^{2} C 4x − x^{2}}{▷x C 2◁^{2}}

D \frac{x^{2} C 4x}{▷x C 2◁^{2}}

D \frac{x▷x C 4◁}{▷x C 2◁^{2}}.

On dresse ensuite un tableau de signes de f′▷x◁.

x  −∞  −4  −2  0  C∞
x  −  −  − 0 C
x C 4  − 0 C  C  C
▷x C 2◁^{2}  C  C 0 C  C
f′▷x◁  C 0 −  − 0 C

On dresse alors le tableau de variation de f.

x −∞  −4  −2  0  C∞
f′▷x◁  C 0 −  − 0 C
−8
f ↗ ↘ ↘ ↗

0

f ▷−4◁ D \frac{16}{−2} D −8 et f ▷0◁ D 0.

Par curiosité, on peut tracer la courbe représentative de f sur la calculatrice et vérifier que les variations trouvées sont cohérentes.

Solution de l’exercice type

Lycée Montaigne, Bordeaux Voir énoncé page 81

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 84 — #94 INTERROS_{84}
1_{V/F} Extremum Corrigé p. 90 10 min

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1 Soit f la fonction définie sur I D T1 I 2U par f ▷x◁ D x^{2}C1. La fonction

f′ne s’annule pas sur I donc f n’admet pas d’extremum sur I. 2 Si deux fonctions ont la même dérivée, alors elles sont égales.

3 Si f′▷x_{0}◁ D 0, alors la fonction f admet un extremum en x_{0}.

2_{V/F} Lecture graphique avec la dérivée Corrigé p. 90 10 min

Soit f une fonction définie et dérivable sur T−4 I 4U. La courbe ci-dessous représente la fonction f′dérivée de f.

Dire si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses. Justifier dans chaque cas.

1 f′▷−2◁ D 0.

2 La fonction f admet un extrémum local en −\frac{1}{2}.

3 La fonction f est décroissante sur T1 I 4U.

4 La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 2.

3Lecture graphique_{Lycée Carnot, Paris} Corrigé ; p. 90 ; 5 min ; ⋆

On a représenté page ci-contre la courbe représentative de deux fonctions f et g , l’une des deux fonctions étant la dérivée de l’autre. Retrouver celle qui est la dérivée de l’autre.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 85 — #95 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{85} CORRIGÉS INTERROS COURS

4Étude d’une fonction cubique_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 91 ; 10 min ; ⋆

Étudier les variations de la fonction f définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D \frac{2}{3}x^{3} C x^{2} − 4x C 1.

5Étude d’une fonction rationnelle_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 92 ; 10 min ; ⋆

Après avoir précisé son domaine de définition, étudier les variations de la fonction f définie par :

f ▷x◁ D \frac{x^{2} C 1}{2x C 3}.

Optimisation

6Optimisation en économie_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} Corrigé ; p. 93 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Les contraintes de fabrication impose que le nombre x d’objets soit dans l’intervalle I D T1 I 100U. Chaque objet est vendu 100 euros, et on suppose que tous les objets fabriqués sont vendus. Le coût unitaire de production par objet produit est donné par la fonction U définie sur I par :

U▷x◁ D 2x − 83 − \frac{900}{x}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 86 — #96 INTERROS_{86}

1 (a) Écrire un programme en Python permettant de déterminer le béné-

fice maximal que peut réaliser l’entreprise.

(b) Quel est ce bénéfice maximal? Pour quelle quantité d’objets

vendus et fabriqués est-il réalisé? 2 (a) Déterminer le bénéfice global B▷x◁ réalisé par l’entreprise pour x

objets produits et vendus.

(b) Calculer B′▷x◁ et en déduire le sens de variation de la fonction B sur I.

(c) Retrouve-t-on le résultat de la question 1? Expliquer pourquoi.

7Optimisation dans le plan_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} Corrigé ; p. 95 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

À l’intérieur de la feuille de papier rectangulaire ABCD représentée ci-dessous, on dispose d’une zone rectangulaire imprimable EF GH d’aire 150 cm^{2}. On note x D DC et y D AD. Les longueurs sont exprimées en cm et on suppose que x ∈ T5 I 22U et y > 3.

1 Justifier que pour tout x de T5 I 22U, y D 3 C \frac{150}{x − 2} .

2 Cas d’une feuille carrée :

(a) Démontrer que la feuille est carrée si et seulement si :

x^{2} − 5x − 144 D 0.

(b) Existe-t-il des valeurs de x pour lesquelles la feuille est carrée? Si oui, lesquelles?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 87 — #97 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{87} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 Soit g la fonction qui à tout réel x de T5 I 22U associe l’aire, en cm^{2}, de la feuille.

(a) Démontrer que g▷x◁ D \frac{3x^{2} C 144x}{x − 2}.

(b) Calculer g′▷x◁, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de g.

(c) Pour quelle valeur de x l’aire est-elle minimale? Quelle est cette

aire minimale? 4 Pour quelles valeurs de x l’aire est-elle supérieure ou égale à 224 cm^{2}?

8Optimisation et parabole_{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés} Corrigé ; p. 96 ; 30 min ; ⋆

À l’intérieur de la parabole P d’équation y D x^{2} et sous la droite D d’équation y D 5, on veut inscrire, comme sur la figure ci-dessous, un rectangle de sorte que l’aire soit la plus grande possible. M et P appartiennent à la parabole P et N et Q appartiennent à la droite D. Le point A est l’intersection de P et D d’abscisse positive.

1 Soit x l’abscisse du point M de la parabole situé sur l’arc OA.

Exprimer l’aire du rectangle MP NQ en fonction de x. 2 Soit la fonction f qui à x associe l’aire du rectangle MP NQ.

(a) Quel est son ensemble de définition?

(b) Étudier les variations de f sur son ensemble de définition. 3 Donner la valeur exacte des coordonnées du point M qui correspond à

l’aire maximale et donner la valeur exacte de cette aire maximale.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 88 — #98 INTERROS_{88}
9Recherche d’une aire minimale_{Lycée Saint-Louis de Gonzague, Paris} Corrigé ; p. 97 ; 50 min ; ⋆ ; ⋆

ABCD est un carré du plan tel que AB D 2. I est le milieu de TABU. M est un point variable et différent de I sur la demi-droite TIz◁, perpendiculaire à la droite ▷AB◁ et représentée ci-dessous.

Les droites ▷MA◁ et ▷MB◁ coupent la droite ▷CD◁ en P et Q respectivement. On pose IM D x. f est la fonction qui, à x, associe l’aire du triangle MP Q.

1 Quel est l’ensemble de définition de f ?

2 (a) Montrer que f ▷x◁ D \frac{▷x C 2◁^{2}}{x}.

(b) Où faut-il placer M pour que l’aire du triangle MP Q soit

minimale? 3 Montrer que pour tout réel x de l’ensemble de définition de f,

f ▷x◁ D x C 4 C \frac{4}{x}.

4 Déterminer, par un calcul mental simple, l’arrondi à l’unité de la mesure de l’aire du triangle MP Q lorsque x D 1 980. Justifier.

10Optimisation dans l’espace_{Lycée international Victor Hugo, Colomiers} Corrigé ; p. 99 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

ABCDEF GH est un cube d’arête 6 cm. M est un point de TABU et I un point de TAEU tels que AM D EI D x. On construit à l’intérieur du cube le parallélépipède rectangle AMNP IJ KL tel que AMNP soit un carré.

1 Quelles sont les valeurs possibles de x?

2 Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume du parallélépipède rectangle AMNP IJ KL est maximale, et donner ce volume.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 89 — #99 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{89} CORRIGÉS INTERROS COURS
11Recherche des extrema d’une aire_{Lycée Montesquieu, Herblay} Corrigé ; p. 100 ; 45 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On découpe une ficelle de longueur l en deux morceaux; avec l’un d’eux, on forme un triangle équilatéral, et avec l’autre, un carré. Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenues soit minimale? maximale?

12Un problème de minimisation d’aire_{Lycée Riquet, Saint-Orens} Corrigé ; p. 101 ; 45 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

1 Déterminer suivant les valeurs de x, le signe de x^{3} − 216.

On pourra remarquer que 216 D 6^{3}. 2 Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné

sous la forme d’un petit parallélépipède rectangle dont le volume est égal à 576 mm^{3}. On note y la hauteur; ses autres dimensions sont x et 2x ( x et y sont en mm).

(a) Calculer y en fonction de x.

(b) Démontrer que la surface totale, en mm^{2}, de ce solide est donnée par la fonction S définie pour x D̸ 0 par :

S▷x◁ D 4 ( x^{2} C \frac{432}{x}) .

(c) Les conditions d’emballage imposent que x soit compris entre 3 et 12 mm. Étudier le sens de variation de S sur l’intervalle T3 I 12U et en déduire les dimensions du parallélépipède rectangle pour que la surface totale soit minimale.

Lecture graphique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 90 — #100

CORRIGÉS_{90}

1_{V/F} Extremum {Énoncé \atop p. 84}

1 Faux. La fonction f est dérivable sur ℝ; sa dérivée est définie sur ℝ par f′▷x◁ D 2x. On peut donc remarquer que f′ ne s’annule pas sur I. Cependant, f est strictement croissante sur I. Elle admet donc un minimum en 1 et un maximum en 2.

2 Faux. Considérons, par exemple, les fonctions f et g définies sur ℝ par f ▷x◁ D x^{2} C 13 et g▷x◁ D x^{2} − 5. Ces deux fonctions sont dérivables sur ℝ et, pour tout x réel,

f′▷x◁ D g′▷x◁ D 2x .

3 Faux. La fonction f V x → x^{3} a pour dérivée la fonction f′définie sur ℝ par f′▷x◁ D 3x^{2}. f′s’annule en 0 mais ne change pas de signe. La fonction f n’admet pas d’extremum en 0.

2_{V/F} Lecture graphique avec la dérivée {Énoncé \atop p. 84}

1 Faux. La dérivée admet une tangente horizontale, donc f′′▷−2◁ D 0, mais f′▷−2◁ D −2.

2 Vrai. En effet, pour x D −\frac{1}{2}, la dérivée s’annule et change de signe. f admet donc un extremum en cette valeur. Il s’agit d’ailleurs d’un minimum, puisque f′est d’abord négative, puis positive, donc f est d’abord décroissante, puis croissante.

3 Faux. Sur cet intervalle, la fonction dérivée est positive, donc f est crois-

sante. 4 Vrai. f′▷1◁ D 2, donc le coefficient directeur de la tangente sera bien 2.

3Lecture graphique_{Lycée Carnot, Paris} {Énoncé \atop p. 84}

MÉTHODE

Pour retrouver par lecture graphique la courbe de la fonction et celle de sa dérivée, on regarde les signes d’une fonction pour voir s’ils sont en adéquation avec les variations de l’autre fonction.

Regardons le signe de la fonction f :

f ▷x◁ < 0 pour x < −1;

f ▷x◁ > 0 pour x > −1;

Ces signes ne correspondent pas aux variations de la fonction g : en effet, g est strictement décroissante pour x < 1 (et non uniquement pour x < −1).

Étude d’une fonction cubique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 91 — #101 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{91} CORRIGÉS INTERROS COURS

Il y a donc de fortes chances pour que g soit la dérivée de f. Nous nous en assurons en regardant le signe de g▷x◁ :

pour x < 0, g▷x◁ > 0 et f est strictement croissante;

pour x > 0, g▷x◁ < 0 et f est strictement décroissante.

On peut alors conclure que f′D g.

4Étude d’une fonction cubique_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 85}

MÉTHODE

Pour étudier les variations d’une fonction, vous pouvez suivre les étapes ci-dessous dans cet ordre :

on calcule la dérivée;

on étudie le signe de la dérivée;

si le signe de la dérivée est constant, on conclut sur les variations; sinon, on construit un tableau de signes et de variations.

Nous devons étudier les variations de la fonction f définie par :

f ▷x◁ D \frac{2}{3}x^{3} C x^{2} − 4x C 1.

On calcule la dérivée :

f′▷x◁ D \frac{2}{3} × 3x^{2} C 2x − 4 D 2x^{2} C 2x − 4 D 2▷x^{2} C x − 2◁.

Remarque : il n’est pas nécessaire de factoriser, mais nous l’avons fait ici pour réduire les coefficients afin de faciliter les futurs calculs. Faire preuve d’anticipation peut quelques fois aider.

On étudie le signe de la dérivée. f′▷x◁ est du signe de x^{2}Cx −2 (car 2 > 0 et donc n’influe pas sur le signe de f′▷x◁). « x_{1} D 1 » est une racine évidente de x^{2} C x − 2 donc l’autre racine vérifie l’égalité :

x_{1}x_{2} D \frac{c}{a} ⟺ x_{2} D −2.

Ainsi, f′▷x◁ est du signe de a D 1 sur U − ∞I −2T et sur U1I C∞T, et f′▷x◁ < 0 entre les racines.

Étude d’une fonction rationnelle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 92 — #102 CORRIGÉS_{92}

Tableau de signes et de variation :

x −∞ −2 1 C∞
f′▷x◁  C 0 − 0 C

\frac{23}{3}

f ▷x◁  ↗  ↘  ↗
−\frac{4}{3}

5Étude d’une fonction rationnelle_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 85}

Domaine de définition de f ▷x◁ D \frac{x^{2} C 1}{2x C 3}. La fonction f est définie pour tous réels x tels que 2x C 3 D̸ 0, soit pour

x D̸ −\frac{3}{2}.

Ainsi, le domaine de définition de f est ]−∞I −\frac{2}{3}[ ∪ ]−\frac{2}{3}I C∞[ .

Variations de f. f est de la forme \frac{u}{v} avec :

\begin{matrix}u▷x◁ D x^{2} C 1 & u′▷x◁ D 2x \\ v▷x◁ D 2x C 3 & v′▷x◁ D 2 \end{matrix}

Ainsi,

f′▷x◁ D ( \frac{u′v − v′u}{v^{2}} ) ▷x◁

D \frac{2x▷2x C 3◁ − 2▷x^{2} C 1◁}{▷2x C 3◁^{2}}

D \frac{4x^{2} C 6x − 2x^{2} − 2}{▷2x C 3◁^{2}}

D \frac{2x^{2} C 6x − 2}{▷2x C 3◁^{2}} .

Ainsi, f′▷x◁ est du signe de 2x^{2} C 6x − 2 (car ▷2x C 3◁^{2} > 0), polynôme du second degré dont le discriminant est :

1 D 6^{2} − 4 × 2 × ▷−2◁ D 36 C 16 D 52

et dont les racines sont :

x_{1} D \frac{−b − \sqrt{1}}{2a} D \frac{−6 − \sqrt{52}}{4} D \frac{−3 − \sqrt{13}}{2}

et sa quantité conjuguée :

x_{2} D \frac{−3 C \sqrt{13}}{2} .

Optimisation en économie — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 93 — #103

APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{93} CORRIGÉS INTERROS COURS

On en déduit alors le tableau suivant :

x −∞  x_{1}  −\frac{2}{3}  x_{2}  C∞
f′▷x◁  C  0  −  −  0  C
f ▷x_{1}◁
f ▷x◁ ↗ ↘ ↘ ↗
f ▷x_{2}◁

� ATTENTION

Lorsque f admet au moins une valeur interdite, comme ici, pensez à la prendre en compte dans le tableau final. Il faut donc situer les autres valeurs importantes de x par rapport à ces valeurs interdites.

6Optimisation en économie_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} {Énoncé \atop p. 85}

1 (a) Le nombre x d’objets produits et vendus est un nombre entier. Pour x objets, x ∈ T1 I 100U, on calcule successivement le coût unitaire U donné par l’expression de U▷x◁, le coût total C=x*U, la recette réalisée par leur vente R=100*x, et enfin le bénéfice B=R-C. Pour chaque valeur de x, on teste la valeur trouvée pour B et on la conserve dans une variable M si elle est plus grande que celle qui y est déjà présente. On pense aussi à garder de la même façon la valeur de x correspondante.

Algorithme

 M ← 0
 S ← 1
 Pour x de 1 à 100
      U ← 2x-83-900/x
      C ← x*U
      R ← 100*x
      B ← R-C
      Si M<B

          M ← B
          S ← x

      Fin Si
 Fin Pour
 Afficher S
 Afficher M

Optimisation dans le plan — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 94 — #104

CORRIGÉS_{94}

En Python

 M = 0
 S = 1
 for x in range (1,101):
     U = 2*x-83-900/x
     C = x*U
     R = 100*x
     B = R-C
     if M < B:
         M = B
         S = x
 print("S = ",S,"et M =",M)

(b) En exécutant l’algorithme précédent, on trouve un bénéfice

maximal de 5 086 �, obtenus pour x D 46 objets fabriqués. 2 (a) La recette réalisée pour x objets vendus est R▷x◁ D 100x, et donc,

le bénéfice global B▷x◁ réalisé par l’entreprise est donné par :

B▷x◁D R▷x◁ − xU▷x◁

D 100x − x ( 2x − 83 − \frac{900}{x})

D −2x^{2} C 183x C 900.

(b) Pour tout réel x ∈ I, B′▷x◁ D −4x C 183. On peut alors dresser le tableau de variation de B :

x 1  \frac{183}{4}  100
B′▷x◁  C  0  −
5086,125
B▷x◁  ↗  ↘

(c) D’après les variations de B, on trouve un bénéfice maximum de 5 086,125 � pour x D 45,75 objets vendus et fabriqués. On ne retrouve pas exactement le même résultat que précédemment car l’étude des variations de B donne un maximum pour un x réel, et non entier comme dans l’algorithme. Comme ici le nombre d’objets x est un nombre entier, et que B▷45◁ D 5 085 et B▷46◁ D 5 086, on en déduit que le maximum de 5 086 � est obtenu pour x D 46 objets vendus.

Optimisation dans le plan — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 95 — #105

APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{95} CORRIGÉS INTERROS COURS

7Optimisation dans le plan_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} {Énoncé \atop p. 86}

1 D’après l’énoncé, l’aire du rectangle EF GH est : ▷x −2◁▷y −3◁ D 150,

soit y − 3 D \frac{150}{x − 2} .

On a donc bien y D 3 C \frac{150}{x − 2} .

2 (a) Pour que la feuille soit carrée, il faut et il suffit que x D y, donc il

faut et il suffit que x D \frac{3x C 144}{x − 2}.

On doit donc avoir x^{2} − 2x D 3x C 144, donc x^{2} − 5x − 144 D 0, ce qui est l’équation proposée.

(b) Pour cette équation du second degré, 1 D 25 C 4 × 144 D 601. Donc il existe a priori deux valeurs de x telles que la feuille soit

carrée : x′D \frac{5 − \sqrt{601}}{2} et x′′D \frac{5 C \sqrt{601}}{2}.

Cependant seule x" est acceptable puisque c’est la seule solution positive de l’équation appartenant à l’intervalle T5 I 22U. Donc la seule valeur de x pour laquelle la feuille est carrée est

\frac{5 C \sqrt{601}}{2}.

3 (a) \begin{aligned}g▷x◁ & D xy \\ & D x ( 3 C \frac{150}{x − 2} ) \\ & D x ( \frac{3▷x − 2◁ C 150}{x − 2}) \\ & D \frac{3x^{2} C 144x}{x − 2}. \end{aligned}

(b) \begin{aligned}g′▷x◁ & D \frac{▷6x C 144◁▷x − 2◁ − ▷3x^{2} C 144x◁}{▷x − 2◁^{2}} \\ & D \frac{6x^{2} − 12x C 144x − 288 − 3x^{2} − 144x}{▷x − 2◁^{2}} \\ & D \frac{3x^{2} − 12x − 288}{▷x − 2◁^{2}} . \end{aligned}

g′▷x◁ s’annule si 3x^{2} − 12x − 288 D 0. 1 D 3 600. Le trinôme admet donc deux racines :

x′D \frac{12 − 60}{6} D −8 et x′′D \frac{12 C 60}{6} D 12.

Le trinôme est du signe de a, donc positif à l’extérieur des racines, et négatif à l’intérieur des racines. Le dénominateur est toujours positif.

g▷5◁ D 265 I g▷12◁ D 216 I g▷22◁ D 231.

Optimisation et parabole — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 96 — #106

CORRIGÉS_{96}

On obtient donc le tableau de variation suivant :

x 5  12  22
g′▷x◁  − 0 C
265  231
g▷x◁ ↘ ↗

216

MÉTHODE

On ne développe jamais le dénominateur d’une fonction dérivée car son écriture sous la forme d’un carré nous permet d’affirmer qu’il est positif.

(c) D’après le tableau de variation, l’aire est minimale pour x D 12, et elle est alors égale à 216 cm^{2}.

4 L’aire est supérieure ou égale à 224 si et seulement si :

\frac{3x^{2} C 144x}{x − 2} ⩾ 224 ⇔ 3x^{2} C 144x ⩾ 224▷x − 2◁
⇔ 3x^{2} − 80x C 448 ⩾ 0.

1 D 1 024. Les racines du trinôme sont donc : x′ D \frac{80 − 32}{6} D 8 et

x′′D \frac{80 C 32}{6} D \frac{56}{3}. Le trinôme est du signe de a (donc positif) à l’extérieur des racines. x étant un nombre de l’intervalle T5 I 22U, l’aire de MNP Q est donc

supérieure ou égale à 224 si x est supérieur ou égal à \frac{56}{3}, ou si x est inférieur au égal à 8.

L’ensemble solution est donc T5 I 8U ∪ [ \frac{56}{3} I 22].

8Optimisation et parabole_{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-Fossés} {Énoncé \atop p. 87}

1 L’abscisse de M est x donc son ordonnée est x^{2}. L’abscisse de Q est la même que celle de M, et son ordonnée est 5. Par symétrie, l’abscisse de P est −x, son ordonnée est x^{2}, et l’abscisse de N est −x, et son ordonnée 5. On a donc P M D x − ▷−x◁ D 2x et MQ D 5 − x^{2}. L’aire du rectangle MP NQ est donc 2x▷5 − x^{2}◁ D 10x − 2x^{3}.

Recherche d’une aire minimale — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 97 — #107 APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{97} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 f ▷x◁ D 10x − 2x^{3}.

(a) x est positif et est au plus égal à l’abscisse de A (qui est l’antécédent de 5 par la fonction carré). Donc D_{f} D [0 I \sqrt{5}].

(b) \begin{aligned}f′▷x◁ & D 10 − 6x^{2} \\ & D −2▷3x^{2} − 5◁ \\ & D −2 ( \sqrt{3}x − \sqrt{5}) ( \sqrt{3}x C \sqrt{5}) . \end{aligned}

Le trinôme est du signe du coefficient de x^{2} (donc négatif) à l’exté-

rieur de ses racines −\sqrt{\frac{5}{3}} et \sqrt{\frac{5}{3}}.

De plus, f ▷0◁ D 0;

f ( \sqrt{\frac{5}{3}}) D 2\sqrt{\frac{5}{3}} ( 5 − \frac{5}{3}) D \frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}} ;

f ( \sqrt{5}) D 0.

On obtient donc le tableau de variation suivant :

x 0  \sqrt{\frac{5}{3}}  \sqrt{5}
f′▷x◁  C  0  −
\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}
f ▷x◁  ↗  ↘
0  0

3 D’après le tableau de variation ci-dessus, le point M correspondant à

l’aire maximale a pour abscisse \sqrt{\frac{5}{3}}, donc son ordonnée est \frac{5}{3}.

La valeur exacte de l’aire maximale est, toujours d’après le tableau de

variation : \frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}.

9Recherche d’une aire minimale_{Lycée Saint-Louis de Gonzague, Paris} {Énoncé \atop p. 88}

1 Le point M appartient à la demi-droite TIz◁ et il est différent de I, donc

IM > 0. L’ensemble de définition de la fonction f est U0 I C∞T. 2 (a) Soit H le point d’intersection des droites ▷IM◁ et ▷DC◁. Comme

ABCD est un carré, les droites ▷AB◁ et ▷DC◁ sont parallèles donc la droite ▷IM◁ qui est perpendiculaire à ▷AB◁ est aussi perpendiculaire à ▷DC◁. On a donc :

f ▷x◁ D \frac{1}{2}P Q × MH D P H × MH.

Optimisation dans l’espace — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 98 — #108

CORRIGÉS_{98}

Or, le point I appartient au segment TMHU donc :

MH D MI C IH D 2 C x.

En appliquant le théorème de Thalès au triangle MP H, on obtient :

\frac{MI}{MH} D \frac{AI}{P H} ,

soit :

\frac{x}{x C 2} D \frac{1}{P H} .

On en déduit que :

P H D \frac{x C 2}{x}.

En remplaçant alors dans l’expression de f ▷x◁, on obtient :

f ▷x◁ D \frac{▷x C 2◁^{2}}{x}.

(b) Pour déterminer l’aire minimale du triangle MP Q, on étudie les variations de la fonction f. La fonction f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout x > 0 :

f′▷x◁ D \frac{2x▷x C 2◁ − ▷x C 2◁^{2}}{x^{2}},

soit :

f′▷x◁ D \frac{▷x − 2◁▷x C 2◁}{x^{2}}.

Comme x C2 et x^{2} sont strictement positifs sur U0 I C∞T, f′▷x◁ est du signe de x − 2. Il en résulte que f est strictement décroissante sur U0 I 2U et strictement croissante sur U2 I C∞T. Donc la fonction f admet un minimum pour x D 2. L’aire du triangle MP Q est minimale lorsque IM D 2.

3 Pour tout réel x de U0 I C∞T, on a :

x C 4 C \frac{4}{x} D \frac{x▷x C 4◁ C 4}{x} D \frac{x^{2} C 4x C 4}{x} D \frac{▷x C 2◁^{2}}{x} D f ▷x◁.

4 Pour déterminer l’arrondi à l’unité de la mesure de l’aire du triangle MP Q lorsque x D 1 980, on utilise l’écriture :

f ▷x◁ D x C 4 C \frac{4}{x}.

On a alors :

f ▷1 980◁ D 1 984 C \frac{4}{1 980}.

On en déduit que l’arrondi cherché est 1 984.

Optimisation dans l’espace — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 99 — #109

APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{99} CORRIGÉS INTERROS COURS

10Optimisation dans l’espace_{Lycée international Victor Hugo, Colomiers} {Énoncé \atop p. 88}

Voici la figure correspondant à l’énoncé :

1 x est une longueur donc x ⩾ 0. Par ailleurs, le côté du cube étant 6, x ⩽ 6 . Donc 0 ⩽ x ⩽ 6.

2  MÉTHODE

Aucune indication n’est donnée pour traiter cette question, et c’est volontaire. Le mot maximale doit faire penser à optimisation, et cela doit faire penser à sens de variation.

On va donc chercher à exprimer en fonction de x le volume du parallélépipède rectangle AMNIJ KL, et on étudiera les variations de cette fonction. La base de ce parallélépipède a pour aire x^{2}, et la hauteur est 6 − x, donc son volume est V ▷x◁ D x^{2}▷6 − x◁ D −x^{3} C 6x^{2}. V′▷x◁ D −3x^{2} C 12x D −3x▷x − 4◁. V′▷x◁ est un trinôme du second degré dont on connaît les racines (0 et 4), donc on connaît son signe. V ▷0◁ D 0; V ▷4◁ D 32; V ▷6◁ D 0. On obtient donc le tableau de variation suivant pour la fonction V ▷x◁ :

\begin{aligned}x & 0 & & 4 & & 6 \\ V′▷x◁ & & C & 0 & − \\ & & & 32 \\ V ▷x◁ & & ↗ & & ↘ \\ & 0 & & & & 0 \end{aligned} D’après ce tableau de variation, la valeur de x pour laquelle le volume est maximal est 4, et le volume maximal est 32 (le tout exprimé en cm et cm^{3}).

Recherche des extrema d’une aire — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 100 — #110 CORRIGÉS_{100}
11Recherche des extrema d’une aire_{Lycée Montesquieu, Herblay} {Énoncé \atop p. 89}

Soit ℓ la longueur de la ficelle, x celle du côté du carré et y celle du côté du triangle équilatéral. On a les conditions : x ⩾ 0 , y ⩾ 0 et, comme ℓ D 4x C 3y, \frac{ℓ}{4} ⩾ x. La somme des aires du carré et du triangle est :

S▷x◁ D x^{2} C \frac{1}{2}y ( \frac{y\sqrt{3}}{2}) D x^{2} C \frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}.

En effet, on démontre facilement par le théorème de Pythagore ou la trigonométrie que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté y mesure \frac{y\sqrt{3}}{2}.

Or y D \frac{ℓ − 4x}{3} , donc : \begin{matrix}S▷x◁ & D x^{2} C \frac{\sqrt{3}}{4} [ \frac{ℓ − 4x}{3} ]^{2} \\ D x^{2} ( 1 C \frac{4\sqrt{3}}{9}) − 2xℓ\frac{\sqrt{3}}{9} C \frac{ℓ^{2}\sqrt{3}}{36}. \end{matrix}

Étudions alors les variations de la fonction S définie sur [0 I \frac{ℓ}{4}] par :

S▷x◁ D x^{2} ( 1 C \frac{4\sqrt{3}}{9}) − 2xℓ\frac{\sqrt{3}}{9} C \frac{ℓ^{2}\sqrt{3}}{36}.

S est dérivable sur [0 I \frac{ℓ}{4}] en tant que fonction polynôme. Pour tout x de

[0 I \frac{ℓ}{4}], on a : S′▷x◁ D 2x ( 1 C \frac{4\sqrt{3}}{9}) − 2ℓ\frac{\sqrt{3}}{9}.

S′▷x◁ D 0 ⇔ 2x(9 C 4\sqrt{3}) D 2ℓ\sqrt{3} ⇔ x D \frac{ℓ\sqrt{3}}{9 C 4\sqrt{3}}×\begin{matrix}√ & \overline{3} \\ √ & \overline{3} \end{matrix} D \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4}.

On vérifie que \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4} est dans l’intervalle [0 I \frac{ℓ}{4}]. S′▷x◁ ⩾ 0 équivaut à :

2x ( 1 C \frac{4\sqrt{3}}{9}) − 2ℓ\frac{\sqrt{3}}{9} ⩾ 0, soit : x ⩾ \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4}.

La fonction S est donc décroissante sur [0 I \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4}] et croissante sur

[ \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4} I \frac{ℓ}{4}].

On en déduit que la fonction S admet un minimum en \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4}.

Un problème de minimisation d’aire — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 101 — #111

APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION CHAP. 3_{101} CORRIGÉS INTERROS COURS

La somme des aires du carré et du triangle est minimale lorsque x D \frac{ℓ}{3\sqrt{3} C 4}.

Pour savoir pour quelle valeur de x la somme des aires est maximale, il faut comparer les valeurs de S▷0◁ et de S ( \frac{ℓ}{4}) . On a :

S▷0◁ D \frac{ℓ^{2}}{12\sqrt{3}} et S ( \frac{ℓ}{4}) D \frac{ℓ^{2}}{16}.

Or 16 < 12\sqrt{3} donc :

S ( \frac{ℓ}{4}) > S▷0◁.

On en déduit que la somme des aires est maximale lorsque x D \frac{ℓ}{4}, c’est-à-dire lorsque l’on garde toute la ficelle pour faire le carré.

12Un problème de minimisation d’aire_{Lycée Riquet, Saint-Orens} {Énoncé \atop p. 89}

1 f V x ↦ x^{3} est croissante sur ℝ.

Donc pour tout x > 6, x^{3} > 6^{3} soit x^{3} > 216. On en déduit alors que

x^{3} − 216 > 0 pour x > 6.

Pour tout x < 6, x^{3} < 6^{3} soit x^{3} < 216. On en déduit alors que

x^{3} − 216 < 0.
x  −∞  6  C∞
↗
f ▷x◁ D x^{3}  6^{3} D 216
↗
x^{3} − 216  −  0  C

2 (a) Le volume du parallélépipède est x × 2x × y.

On a donc 2x^{2}y D 576. On en déduit que y D \frac{288}{x^{2}}.

(b) La surface totale de ce solide est S▷x◁ D 2xy C 2y▷2x◁ C 2▷2x◁x soit S▷x◁ D 6xy C 4x^{2}. On remplace alors y par la valeur trouvée à la question précédente.

S▷x◁ D 4x^{2} C 6x ( \frac{288}{x^{2}}) D 4 ( x^{2} C \frac{432}{x}) .

(c) La fonction S est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur T3 I 12U.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 3 page 102 — #112 CORRIGÉS_{102}

Pour tout x de T3 I 12U :

S′▷x◁ D 4 ( 2x − \frac{432}{x^{2}}) .

Soit après réduction au même dénominateur et factorisation :

S′▷x◁ D 8 ( \frac{x^{3} − 216}{x^{2}} ) .

Sur l’intervalle T3 I 12U, \frac{8}{x^{2}} est strictement positif donc S′▷x◁ est du signe de x^{3} − 216, qui a été étudié dans la question 1. Il en résulte que S′▷x◁ > 0 sur ]6 I 12], donc S est strictement croissante sur ]6 I 12] et S′▷x◁ < 0 sur [3 I 6[. Ainsi, S est strictement décroissante sur [3 I 6[. S admet donc un minimum en x D 6. On en déduit que les dimensions du parallélépipède pour que la surface totale soit minimale sont 6 mm, 12 mm et \frac{288}{36} soit 8 mm.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 103 — #113 4^{Chapitre}

Fonction exponentielle

Plan du chapitre

1. Définition et propriétés algébriques

2. Étude de la fonction exponentielle

Retrouvez ce cours en vidéo.

1 Définition et propriétés algébriques

1 Montrer que pour tout réel x on a :

\frac{e^{x} − 1}{e^{x} C 1} D \frac{1 − e^{−x}}{1 C e^{−x}} D 1 − \frac{2}{e^{x} C 1}.

Retrouvez le corrigé de cette question en vidéo. 2 Résoudre l’équation :

e^{3x^{2}}e^{−6x} D (e^{2−x} )^{2} .

3 Résoudre l’inéquation :

e^{3xC2} > −2.

Exercice type 1

Lycée Guynemer, Compiègne

Voir corrigé page 105

1.1 Définition

Théorème 1

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ, telle que f ▷0◁ D 1 et, pour tout réel x, f′▷x◁ D f ▷x◁.

Définition 1

On appelle fonction exponentielle la fonction notée exp telle que :

exp′▷x◁ D exp▷x◁ et exp▷0◁ D 1.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 104 — #114 COURS_{104}

1.2 Propriétés algébriques

Propriété 1

Pour tous réels x et y,

exp▷x C y◁ D exp▷x◁ × exp▷y◁ et exp▷x − y◁ D \frac{exp▷x◁}{exp▷y◁}.

Conséquence : en prenant y D −x, la première égalité donne :

exp▷x◁ × exp▷−x◁ D 1 soit exp▷−x◁ D \frac{1}{exp▷x◁}.

1.3 Notation e^{x}

Les égalités de la propriété 1 sont identiques à celles vues au collège sur les puissances. C’est l’une des raisons pour lesquelles nous allons désormais convenir de la notation suivante :

∀ x ∈ ℝ, exp▷x◁ D e^{x}.

Ainsi, les égalités précédentes s’écrivent :

e^{xCy} D e^{x} × e^{y}  ,  e^{x−y} D \frac{e^{x}}{e^{y}} et e^{−x} D \frac{1}{e^{x}}.

De plus,

e^{0} D 1 et ∀ x ∈ ℝ, (e^{x})′D e^{x}.

1.4 Le nombre e

Définition 2 : nombre d’Euler, ou constante de Neper

On note :

e D e^{1}.

On a l’approximation :

e ≈ 2,718.

Remarque : il existe plusieurs fonctions exponentielles. Celle que nous étudions dans ce chapitre est appelée la fonction exponentielle de base e.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 105 — #115 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{105} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 On a : \frac{e^{x} − 1}{e^{x} C 1} D \frac{e^{x} ( 1 − \frac{1}{e^{x}})}{e^{x} ( 1 C \frac{1}{e^{x}})} D \frac{1 − e^{−x}}{1 C e^{−x}} ,

et aussi : \frac{e^{x} − 1}{e^{x} C 1} D \frac{e^{x} C 1 − 2}{e^{x} C 1} D 1 − \frac{2}{e^{x} C 1}.

2 e^{3x^{2}}e^{−6x} D (e^{2−x} )^{2} ⟺ e^{3x^{2}−6x} D e^{2▷2−x◁}.

Or, e^{x} D e^{y} ⇔ x D y donc :

3x^{2} − 6x D 4 − 2x ,

c’est-à-dire :

3x^{2} − 4x − 4 D 0.

Cette équation du second degré de discriminant 1 D 64 admet deux solutions : −\frac{2}{3} et 2, qui sont donc aussi les solutions de l’équation initiale.

3 e^{3xC2} > −2.

Cette inégalité est toujours vérifiée car pour tout réel a, e^{a} > 0. Par conséquent, l’ensemble des solutions est ℝ.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Guynemer, Compiègne

Voir énoncé page 103

2 Étude de la fonction exponentielle

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :

f ▷x◁ D ▷2 − x◁e^{x}.

1 Montrer que pour tout réel x, f′▷x◁ D ▷1 − x◁e^{x}. 2 En déduire les variations de f sur ℝ.

Exercice type 2

Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne

Voir corrigé page 107

2.1 Signe et sens de variation

Propriétés 2

Pour tout réel x, e^{x} > 0. La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur ℝ.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 106 — #116 COURS_{106}

La courbe représentative de la fonction exponentielle est la suivante :

Remarque : si on considère un point M, d’abscisse x, sur cette courbe, alors le point d’abscisse x C 1 est obtenu en multipliant celle de M par e.

2.2 Conséquences

Propriétés 3

Pour tous réels x et y, e^{x} D e^{y} ⟺ x D y; e^{x} > e^{y} ⟺ x > y; e^{x} < e^{y} ⟺ x < y.

Exemple : on souhaite résoudre l’inéquation e^{3xC1} > e^{5x} C 7 :

e^{3xC1} > e^{5xC7} ⟺ 3x C 1 > 5x C 7
⟺ −2x > 6
⟺ x < −3.

2.3 Dérivée de x ↦ e^{axCb}

Propriété 4

Pour tous réels a et b,

(e^{axCb})′D ae^{axCb}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 107 — #117 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{107} CORRIGÉS INTERROS COURS

Exemple : soit f ▷x◁ D e^{−3xC5} .

Alors,

f′▷x◁ D −3e^{−3xC5} .

e^{−3xC5} > 0 sur ℝ (car une exponentielle est toujours strictement positive, quel que soit ce qui est mis en exposant), donc f′▷x◁ < 0 sur ℝ.

On on déduit que f est strictement décroissante sur ℝ.

1 f est de la forme u × v avec :

\begin{matrix}u▷x◁ D 2 − x & v▷x◁ D e^{x} \\ u′▷x◁ D −1 & v′▷x◁ D e^{x} \end{matrix}

Ainsi,

f′▷x◁ D ▷u′v C v′u◁▷x◁
D −e^{x} C ▷2 − x◁ex
D ▷−1 C 2 − x◁e^{x}
D ▷1 − x◁e^{x}.

2 On déduit de la question précédente que f′▷x◁ est du signe de 1 − x, car e^{x} > 0 sur ℝ. De plus,

f ▷1◁ D ▷2 − 1◁ × e^{1} D e.

D’où le tableau suivant :

x −∞ 1 C∞
f′▷x◁  C 0 −

e

f ▷x◁  ↗  ↘

Remarque : même si ce n’est pas précisé dans l’énoncé, il est toujours intéressant de calculer la valeur de l’extremum (quand il existe) et de l’insérer dans le tableau de variation.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne Voir énoncé page 105

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 108 — #118 INTERROS_{108}
1_{V/F} Fonction exponentielle Corrigé p. 116 10 min

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes?

1 Pour tous réels a et b, e^{a−b} D \frac{e^{a}}{e^{b}}.

2 Le nombre −e^{−x} est toujours strictement positif.

3 La droite d’équation y D x C 1 est tangente à la courbe représentative

de la fonction exponentielle au point d’abscisse 1. 4 La tangente à la courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par

f ▷x◁ D \frac{1}{1 C e^{x}} au point d’abscisse 0 est parallèle à la droite d’équation

y D −\frac{1}{4}x.

2_{QCM} Dérivation Corrigé p. 116 10 min

Pour chacune des questions suivantes, une seule des propositions est exacte. Laquelle? 1 La dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f ▷x◁ D xe^{x} C 3x C e^{−x}

est :

a x ↦ e^{x}▷x C 1◁ C 3 C e^{−x} b x ↦ e^{x} C 3 − e^{−x} c x ↦ e^{x}▷x C 1◁ C 3 − e^{−x}

2 La dérivée de la fonction g définie sur ℝ par g▷x◁ D ▷x C 1◁e^{3−5x} est :

a x ↦ −▷5x C 4◁e^{3−5x}
b x ↦ −5e^{3−5x}
c x ↦ ▷3x C 4◁e^{3−5x}

3 Soient f et g définies par f ▷x◁ D x^{2}e^{x} et g▷x◁ D xe^{x}. Les courbes représentatives de f et g ont, pour deux valeurs de x : a des tangentes communes b des tangentes parallèles c ni l’un ni l’autre

4 Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D e^{0,5xC2}. La tangente à sa courbe représentative dans un repère au point d’abscisse 0 a pour équation : a y D 0,5x C 5 b y D 0,5e^{2}x c y D 0,5e^{2}x C e^{2}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 109 — #119 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{109} CORRIGÉS INTERROS COURS
3_{QCM} Connaissances générales Corrigé p. 117 15 min

Pour chaque affirmation, une seule réponse est juste. Pour chaque question donner la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.

1 L’expression g▷x◁ D \frac{e^{x} − e^{2x}}{x} définie sur ℝ^{∗} est :

a toujours positive  b toujours négative
c du signe de −x  d du signe de x

2 On considère la fonction f définie sur ℝ par f ▷x◁ D \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} C e^{−x}} .

Parmi les expressions suivantes, la seule qui n’est pas égale à f ▷x◁ est :

a \frac{e^{2x} − 1}{e^{2x} C 1}  b 1 − \frac{2}{e^{2x} C 1}
c \frac{1 − e^{−2x}}{1 C e^{−2x}}  d \frac{e^{2x} − 1}{1 C e^{−2x}}

3 Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D ▷x C 2◁e^{−x} .

a La représentation graphique de f admet une tangente d’équation y D 2 − x.

b f′▷x◁ D ▷x C 3◁e^{−x} .

c Une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 est y D x C 2.

d f′▷−1◁ D 2e.

4 L’équation e^{−x} Ce^{x} D m, d’inconnue réelle x, où m est un nombre réel :

a a toujours une solution  b a au moins deux solutions
c n’a jamais de solution  d a au plus deux solutions

4_{QCM} Propriétés de la fonction exponentielle Corrigé p. 118 20 min

Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Laquelle?

1 Pour tout nombre réel x non nul, 2 − \frac{e^{−x} − 2}{e^{−x} − 1} est égal à :

a \frac{3e^{−x} − 4}{e^{−x} − 1}  b \frac{1}{1 − e^{x}}

c Aucune de ces deux réponses.

2 L’équation e^{2x} − ( e C \frac{1}{e}) e^{x} C 1 D 0 admet dans ℝ :

a une solution  b deux solutions

c aucune solution

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 110 — #120 INTERROS_{110}

3 L’inéquation e^{2x} − ▷e C 1◁e^{x} C e < 0 admet pour ensemble solution :

\begin{matrix}a ∅ & b U0 I 1T \\ c U1 I eT & d U − ∞ I 0T∪U1 I C∞T \end{matrix}

4 Les nombres \frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} C e^{−x}} et \frac{e^{2x} C 1}{e^{2x} − 1} sont, pour tout x réel :

a égaux  b inverses

c opposés

Propriétés algébriques, équations et inéquations

5Propriétés algébriques_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} Corrigé ; p. 119 ; 5 min ; ⋆

Simplifier et factoriser si possible les expressions suivantes :

A D \frac{e^{xCy}}{e^{x}} − e^{2y} B D \frac{e^{2xC2y}}{e^{x}e^{2y}} .

6Équation_{Lycée Lacordaire, Marseille} Corrigé ; p. 119 ; 5 min ; ⋆

Résoudre l’équation suivante dans ℝ :

\frac{e^{3x}e^{x}}{e^{2x}} − e^{x} D 0.

7Équation_{Lycée Le Corbusier, Poissy} Corrigé ; p. 120 ; 5 min ; ⋆

Résoudre l’équation suivante dans ℝ :

e^{3x−1} × e^{xC2} D 1.

8Inéquations_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 120 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Résoudre les inéquations suivantes : 1 e^{3x−5} ⩽ e^{−x^{2}C7} 2 e^{3x−1} > e^{5x−4} 3 e^{2x} C e^{x} − 2 < 0

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 111 — #121 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{111} CORRIGÉS INTERROS COURS

Études de fonctions

9Dérivée et tangente_{Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} Corrigé ; p. 121 ; 10 min ; ⋆

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :

f ▷x◁ D ▷2 − x◁e^{x}.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1 (a) On note f′la fonction dérivée de f.

Montrer que pour tout nombre réel x, f′▷x◁ D ▷1 − x◁e^{x}.

(b) En déduire les variations de f sur ℝ. 2 Déterminer une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse 0.

10Extremum et position relative_{Le Chartreux, Lyon} Corrigé ; p. 122 ; 15 min ; ⋆

On considère la fonction g définie sur ℝ par :

g▷x◁ D 1 − 2x C e^{2x}.

1 Étudier le sens de variation de g sur ℝ. 2 Préciser la nature et la valeur de l’extremum de la fonction g sur ℝ, et

en quelle valeur il est atteint. 3 En déduire que pour tout réel x, g▷x◁ > 0. 4 En déduire alors la position relative de la droite D d’équation y D 2x −1

et de la courbe 0 d’équation y D e^{2x} sur ℝ.

11Positivité d’une fonction_{Lycée Descartes, Cournon} Corrigé ; p. 123 ; 20 min ; ⋆

Soit a un nombre réel. Soit f la fonction définie sur ℝ par f ▷x◁ D xe^{x} C a. 1 Dresser le tableau de variations de f. 2 Déterminer les valeurs de a telles que, pour tout x, f ▷x◁ ⩾ 0.

12Conjecture et preuve_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} Corrigé ; p. 123 ; 25 min ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ▷x◁ D \frac{e^{2x} − 1}{e^{2x} C 1}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 112 — #122 INTERROS_{112}

1 Tracer la fonction sur la calculatrice et faire une conjecture concernant

un encadrement possible de f ▷x◁ pour tout x. 2 Prouver que, pour tout x, −1 < f ▷x◁ < 1. 3 Dresser le tableau de variation de f. 4 Donner, à 10^{−2} près, en expliquant votre méthode, la plus petite valeur

de x telle que 1 − f ▷x◁ < 0,001.

13Cosinus et sinus hyperboliques_{Lycée Jacques Prévert, Boulogne} Corrigé ; p. 124 ; 45 min ; ⋆

Les fonctions ch et sh sont définies sur ℝ par :

chx D \frac{e^{x} C e^{−x}}{2} et shx D \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} .

1 Dresser le tableau des signes de ces fonctions. 2 Calculer ch′et sh′.

Quel lien y a-t-il entre ch′et sh? Entre sh′et ch? 3 Dresser les tableaux de variations de ch et sh. 4 Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ch^{2} x − sh^{2} x D 1

(a) En dérivant f ▷x◁ D ch^{2} x − sh^{2} x.

(b) Par un calcul algébrique. 5 Montrer comme en 4.a ou 4.b (au choix) que :

(a) sh▷2x◁ D 2 chx × shx

(b) ch▷2x◁ D ch^{2} x C sh^{2} x

6 Donner une représentation graphique de ch et de sh.

14Décroissance radioactive_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 126 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Le taux d’un élément radioactif diminue de 30% en 1 500 ans. On sait de plus que ce taux est égal à e^{−λt} après t années, où λ ∈ ℝ.

À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10^{−4} près de la valeur λ.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 113 — #123 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{113} CORRIGÉS INTERROS COURS
15Algorithme_{Lycée Buffon, Paris} Corrigé ; p. 127 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

On considère l’algorithme ci-dessous :

Entrée
a et n sont des nombres
Saisir a
n ← 0
Traitement
Tant que exp(-n) ⩾ a
    n ← n+1
Fin du Tant que
Sortie
Afficher n

1 Qu’affiche cet algorithme si on entre a D 0,3?

2 Donner si possible une valeur de a pour laquelle l’algorithme affiche 0.

3 Qu’affiche l’algorithme si on entre a D 10^{−20} ?

16Fonction exponentielle et algorithme_{Cité scolaire internationale, Grenoble} Corrigé ; p. 128 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Soit la fonction f définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D 4e^{0,25x} − 5 ,

et C_{f} sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1 (a) Étudier les variations de f sur ℝ.

(b) Existe-t-il un point de C_{f} en lequel la tangente est parallèle à l’axe

des abscisses? 2 On considère l’algorithme suivant :

Entrée
    P est un réel strictement positif
Initialisation
    X ← 0 et Y ← -1
Traitement
    Tant que Y < 0
        X ← X + P
        Y ← f(X)
        (f étant la fonction définie précédemment)
    Fin de Tant que
Sortie
    Afficher X-P et X

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 114 — #124 INTERROS_{114}

(a) On entre P D 0,1. Quelles sont les valeurs affichées en sortie?

(b) Que fait cet algorithme?

(c) On fait fonctionner l’algorithme avec une certaine valeur de P et on obtient en sortie les valeurs 0,892 et 0,893. Quelle valeur de P avait-on choisi en entrée?

(d) On entre une valeur de P égale à 0,000 1. Quelles sont les valeurs affichées en sortie?

17À l’aide du graphique_{Lycée Corneille, La-Celle-Saint-Cloud} Corrigé ; p. 128 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ▷O,E ı, E ȷ◁. La courbe C page ci-contre représente la fonction f définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D ▷ax C b◁e^{x},

où a et b sont deux nombres que l’on se propose de déterminer. La courbe C passe par le point A▷0 I 1◁ et elle admet une tangente horizontale au point d’abscisse −2.

1 Exprimer f′▷x◁ en fonction de x, a et b. 2 À l’aide des informations de l’énoncé, déterminer les valeurs de a et b. 3 Étudier les variations de la fonction f. Dresser son tableau de variations

sur l’intervalle T−3 I 1U. 4 Discuter, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de

l’équation sur l’intervalle T−3 I 1U :

▷x C 1◁e^{x} D m.

Aide : on raisonnera graphiquement.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 115 — #125 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{115} CORRIGÉS INTERROS COURS
18Coût moyen minimal_{Lycée Chaptal, Paris} Corrigé ; p. 130 ; 80 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Une entreprise achète une machine 30 000 euros. Elle peut la revendre au bout de t années au prix de :

v▷t◁ D \frac{30}{0,5t C 1} pour 0 ⩽ t ⩽ 8 ,

où t est exprimé en années et v▷t◁ en milliers d’euros (k�). 1 (a) Au bout de combien d’années la machine aura-t-elle perdu 50 % de

sa valeur d’achat?

(b) Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans?

(c) La différence, exprimée en k�, entre le prix d’achat de la machine et son prix de revente au bout de t années est : D▷t◁ D 30 − v▷t◁. Montrer que D est une fonction croissante sur l’intervalle [0 I 8].

2 On peut exprimer le coût total d’entretien de la machine en k�, pour une durée de t années d’utilisation, par :

E▷t◁ D 2,5 e^{0,4 t} − t − 2,5.

(a) Calculer E′▷t◁, où E′désigne la fonction dérivée de E.

(b) Montrer que E est une fonction croissante sur l’intervalle [0 I 8]. 3 (a) Vérifier que le coût d’usage total, en k�, de cette machine est :

C▷t◁ D D▷t◁ C E▷t◁ D 27,5 − \frac{30}{0,5t C 1} C 2,5e^{0,4t} − t.

(b) Déduire des questions précédentes le sens de variation de C sur [0 I 8].

(c) Tracer la courbe représentative 0 de C, dans un plan muni d’un repère orthogonal, avec pour unités : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 4 k� sur l’axe des ordonnées. On pourra utiliser le tableau de valeurs suivant :

\begin{matrix}t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ C▷t◁ & 0 & 10,23 & 16,06 & 20,80 & 25,88 \end{matrix}

\begin{matrix}t & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ C▷t◁ & 28,90 & 32,40 & 41,56 & 54,94 & 74,83 \end{matrix}

4 Le coût moyen d’utilisation, en k� et au bout de t années, est égal à :

U▷t◁ D \frac{C▷t◁}{t}avec 1 ⩽ t ≤ 8.

(a) Soit M le point d’abscisse t de la courbe 0. Montrer que U▷t◁ est le coefficient directeur de la droite ▷OM◁.

(b) Déterminer graphiquement la valeur de t pour laquelle U▷t◁ est minimal.

Dérivation — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 116 — #126 CORRIGÉS_{116}
1_{V/F} Fonction exponentielle {Énoncé \atop p. 108}

1 Vrai. Il s’agit d’une formule du cours. 2 Faux. D’après les propriétés de la fonction exponentielle le réel e^{−x} est

toujours strictement positif donc −e^{−x} est toujours strictement négatif. 3 Faux. La droite d’équation y D x C 1 est tangente à la courbe représen-

tative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 et non au point d’abscisse 1.

4 Vrai. Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point d’abscisse 0 est f′▷0◁. Or, la fonction f est dérivable sur ℝ et, pour tout réel x,

f′▷x◁ D \frac{−e^{x}}{▷1 C e^{x}◁^{2}}donc f′▷0◁ D −\frac{1}{4}. La tangente T et la droite d’équa-

tion y D −\frac{1}{4} sont deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées et de même coefficient directeur donc elles sont parallèles.

2_{QCM} Dérivation {Énoncé \atop p. 108}

1 Réponse c . On a : f′▷x◁ D e^{x} C xe^{x} C 3 − e^{−x} . 2 Réponse a . g est un produit de la forme u × v avec u▷x◁ D x C 1 et

v▷x◁ D e^{3−5x} . Donc g′D u′v C uv′. u′▷x◁ D 1 et v′▷x◁ D −5e^{3−5x} donc :

g′▷x◁D 1 × e^{3−5x} C ▷x C 1◁ × ▷−5◁e^{3−5x}
D [1 − 5▷x C 1◁]e^{3−5x}
D ▷1 − 5x − 5◁e^{3−5x}
D ▷−5x − 4◁e^{3−5x}
D −▷5x C 4◁e^{3−5x} .

3 Réponse b . On a :

f′▷x◁ D 2xe^{x} C x^{2}e^{x} D x▷x C 2◁e^{x}.
g′▷x◁D 1e^{x} C xe^{x} D ▷x C 1◁e^{x}.
f′▷x◁ D g′▷x◁ ⟺ x▷x C 2◁e^{x} D ▷x C 1◁e^{x}
⟺ x▷x C 2◁ D x C 1 car e^{x} D̸ 0
⟺ x^{2} C x − 1 D 0.

Les solutions de cette dernière équation sont :

x_{1} D \frac{−1 − \sqrt{5}}{2} et x_{2} D \frac{−1 C \sqrt{5}}{2} .

En x_{1}, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f est :

y D f′▷x_{1}◁▷x − x_{1}◁ C f ▷x_{1}◁.

Connaissances générales — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 117 — #127

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{117} CORRIGÉS INTERROS COURS

En x_{1}, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g est :

y D g′▷x_{1}◁▷x − x_{1}◁ C g▷x_{1}◁.

Après calculs, on voit que les deux équations ne sont pas équivalentes, donc les tangentes sont distinctes, tout en ayant des coefficients directeurs égaux. Elles sont donc strictement parallèles. Ce raisonnement est aussi valable en x_{2}.

4 Réponse c . f ▷0◁ D e^{2}.

f′▷x◁ D 0,5e^{0,5xC2}. Donc f′▷0◁ D 0,5e^{2}. La tangente a donc pour équation y D 0,5e^{2}▷x − 0◁ C e^{2}, soit y D 0,5e^{2}x C e^{2}.

3_{QCM} Connaissances générales {Énoncé \atop p. 109}

1 Réponse b . g▷x◁ D \frac{e^{x} − e^{2x}}{x} D \frac{e^{x} ▷1 − e^{x}◁}{x} .

Tableau de signes :

x  −∞  0  C∞
e^{x}  C  C
1 − e^{x}  C  0  −
x  −  0  C
g▷x◁  −  ∥  −

On constate que g▷x◁ est toujours négative. 2 Réponse d .

\frac{e^{2x} − 1}{1 C e^{−2x}} D \frac{e^{−x} (e^{3x} − e^{x})}{e^{−x} (e^{x} C e^{−x} )} D \frac{e^{3x} − e^{x}}{e^{x} C e^{−x}} .

Cette expression est égale à f ▷x◁ si e^{x} − e^{−x} D e^{3x} − e^{x}. Or, il existe au moins une valeur de x pour laquelle cette égalité n’est pas vérifiée (par exemple pour x D 1, on vérifie facilement que e − e^{−1} D̸ e^{3} − e). La proposition d est donc fausse.

3 Réponse a . f′▷x◁ D e^{−x} ▷1 − x − 2◁ D e^{−x} ▷−1 − x◁.

On a alors f ▷0◁ D 2 et f′▷0◁ D −1. Donc la droite d’équation y D −x C 2 est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0. Si on ne pense pas au point d’abscisse 0, il est facile de montrer, une fois la dérivée calculée, que les 3 autres propositions sont fausses.

4 Réponse d . Comme e^{x} D̸ 0, en multipliant les deux termes de l’équation par e^{x}, on obtient une équation équivalente :

(e^{x})^{2} C 1 D me^{x}.

Propriétés de la fonction exponentielle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 118 — #128

CORRIGÉS_{118}

Puis en posant X D e^{x}, on a une équation du second degré :

X^{2} − mX C 1 D 0.

Le discriminant de cette équation vaut m^{2} − 4 D ▷m − 2◁▷m C 2◁. Selon les valeurs de m, l’équation en X a donc zéro, une ou deux solutions (cela élimine donc les réponses a et b ). Pour avoir une solution en x, il faut de plus que l’équation en X ait une solution positive. Il est facile de voir que pour m D 2, l’équation X^{2} − 2X C 1 D 0 admet « 1 » comme racine, donc au moins dans ce cas, l’équation e^{−x} Ce^{x} D m admet une solution, ce qui élimine la réponse c .

4_{QCM} Propriétés de la fonction exponentielle {Énoncé \atop p. 109}

1 Réponse b . On a :

2 − \frac{e^{−x} − 2}{e^{−x} − 1} D \frac{2e^{−x} − 2 − e^{−x} C 2}{e^{−x} − 1}

D \frac{e^{−x}}{e^{−x} − 1}

D \frac{1}{1 − e^{x}} en multipliant haut et bas par e^{x}.

2 Réponse b . On pose e^{x} D X.

L’équation devient alors X^{2} − ( e C \frac{1}{e}) X C 1 D 0. On calcule :

1 D ( e C \frac{1}{e}) ^{2} − 4 D e^{2} C 2 C \frac{1}{e^{2}} − 4 D e^{2} − 2 C \frac{1}{e^{2}} D ( e − \frac{1}{e}) ^{2} .

Le discriminant est strictement positif et les deux solutions sont :

X_{1} D \frac{e C \frac{1}{e} − e C \frac{1}{e}}{2} D \frac{1}{e} et X_{2} D \frac{e C \frac{1}{e} C e − \frac{1}{e}}{2} D e.

On a donc soit e^{x} D e^{−1} ⇔ x D −1, soit e^{x} D e ⇔ x D 1. L’équation admet donc deux solutions, 1 et −1.

3 Réponse b . Ici aussi, on pose X D e^{x}.

On obtient alors l’expression X^{2} − ▷e C 1◁X C e.

1 D ▷e C 1◁^{2} − 4e D e^{2} C 2e C 1 − 4e D e^{2} − 2e C 1 D ▷e − 1◁^{2}.

Le trinôme en X a deux racines, e et 1. On peut donc factoriser l’expression de départ :

e^{2x} − ▷e C 1◁e^{x} C e D ▷e^{x} − 1◁▷e^{x} − e◁.

Équation — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 119 — #129 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{119} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a donc :

e^{x} − 1 > 0 ⟺ e^{x} > 1
⟺ x > 0

et

e^{x} − e > 0
⟺ e^{x} > e
⟺ x > 1.

On obtient donc le tableau de signes suivant :

x  −∞  0  1  C∞
e^{x} − 1  − 0 C  C
e^{x} − e  −  − 0 C
▷e^{x} − 1◁▷e^{x} − e◁  C 0 − 0 C

4 Réponse b . En multipliant par e^{x} le numérateur et le dénominateur, et en simplifiant, on a :

\frac{e^{x} − e^{−x}}{e^{x} C e^{−x}} D \frac{e^{x}▷e^{x} − e^{−x} ◁}{e^{x}▷e^{x} C e^{−x} ◁} D \frac{e^{2x} − 1}{e^{2x} C 1}.

Ces deux nombres sont donc inverses.

5Propriétés algébriques_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} {Énoncé \atop p. 110}

On utilise ici les propriétés algébriques de la fonction exponentielle :

A D e^{xCy−x} − e^{2y}
D e^{y} − e^{2y}
D e^{y}▷1 − e^{y}◁.
B D e^{2xC2y−x−2y} D e^{x}.

6Équation_{Lycée Lacordaire, Marseille} {Énoncé \atop p. 110}

Une simplification est possible en se ramenant à une situation e^{U} D e^{V} :

e^{3xCx−2x} − e^{x} D 0 ⟺ e^{3xCx−2x} D e^{x}

⟺ e^{2x} D e^{x}

⟺ 2x D x par stricte croissance de exp ⟺ x D 0.

Inéquations — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 120 — #130

CORRIGÉS_{120}

7Équation_{Lycée Le Corbusier, Poissy} {Énoncé \atop p. 110}

e^{3x−1} × e^{xC2} D 1 ⟺ e^{▷3x−1◁C▷xC2◁} D 1

⟺ e^{4xC1} D e^{0}

⟺ 4x C 1 D 0 (par propriété du cours)

⟺ x D −\frac{1}{4}

La solution de ▷F ◁ est donc : −\frac{1}{4}.

8Inéquations_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 110}

1

e^{3x−5} ⩽ e^{−x^{2}C7} ⟺ 3x − 5 ⩽ −x^{2} C 7 (par propriété du cours)
⟺ x^{2} C 3x − 12 ⩽ 0.

Le discriminant du polynôme x^{2} C 3x − 12 est 1 D 9 C 48 D 57 donc ce dernier a deux racines :

x_{1} D \frac{−3 − \sqrt{57}}{2} et x_{2} D \frac{−3 C \sqrt{57}}{2} .

Il est du signe de −a (donc négatif ici) entre les racines donc l’ensemble solution de l’inéquation est :

S D [ \frac{−3 − \sqrt{57}}{2} I \frac{−3 C \sqrt{57}}{2} ] .

2 e^{3x−1} > e^{5x−4} ⟺ \frac{e^{3x−1}}{e^{5x−4}} > 1

⟺ e^{3x−1−▷5x−4◁} > e^{0}

⟺ e^{−2xC3} > e^{0} ⟺ −2x C 3 > 0 ⟺ −2x > −3

⟺ x < \frac{3}{2}.

L’ensemble solution de l’inéquation est donc :

S D ]−∞ I \frac{3}{2}[ .

3 e^{2x} C e^{x} − 2 < 0 ⟺ (e^{x})^{2} C e^{x} − 2 < 0. Pour résoudre cette inéquation, on pose X D e^{x}. Ainsi,

e^{2x} C e^{x} − 2 < 0 ⟺ X^{2} C X − 2 < 0.

Dérivée et tangente — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 121 — #131

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{121} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le polynôme X^{2} C X − 2 admet X_{1} D 1 comme racine évidente donc la seconde racine X_{2} est telle que X_{1}X_{2} D \frac{c}{a}, soit X_{2} D −2. Ainsi,

X^{2}CX −2 D ▷X −1◁▷X C2◁ donc e^{2x}Ce^{x}−2 D (e^{x}−1)(e^{x}C2).

De plus, pour tout réel x,

e^{x} > 0 donc e^{x} C 2 > 0.

Ainsi,

e^{2x} C e^{x} − 2 < 0 ⟺ (e^{x} − 1)(e^{x} C 2) < 0
⟺ e^{x} − 1 < 0
⟺ e^{x} < 1
⟺ e^{x} < e^{0}
⟺ x < 0.

L’ensemble solution de l’inéquation est donc :

S DU − ∞ I 0T.

9Dérivée et tangente_{Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} {Énoncé \atop p. 111}

1 (a) f est de la forme u × v avec :

\begin{matrix}u▷x◁ D 2 − x & v▷x◁ D e^{x} \\ u′▷x◁ D −1 & v′▷x◁ D e^{x} \end{matrix}

Ainsi,

f′▷x◁ D ▷u′v C v′u◁▷x◁
D −1 × e^{x} C ▷2 − x◁ × e^{x}
D [ − 1 C ▷2 − x◁]e^{x}
D ▷−1 C 2 − x◁e^{x}
D ▷1 − x◁e^{x}.

MÉTHODE

Quand on dérive une fonction produit dont un des facteurs est une exponentielle, on pourra toujours factoriser par cette exponentielle. Cela nous permet d’obtenir une expression factorisée de la dérivée, qui pourra par la suite noue permettre d’en étudier le signe.

(b) f′▷x◁ est du signe de ▷1 − x◁ car pour tout réel x, e^{x} > 0. Or,

1 − x > 0 ⟺ 1 > x ⟺ x < 1.

Extremum et position relative — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 122 — #132

CORRIGÉS_{122}

De plus,

f ▷1◁ D ▷2 − 1◁e^{1} D e.

D’où le tableau suivant :

x −∞ 1 C∞
f′▷x◁  C 0 −

e

f ▷x◁  ↗  ↘

2 T est la tangente à C au point A d’abscisse 0, donc son équation est de

la forme :

y D f′▷0◁▷x − 0◁ C f ▷0◁.

D’après les calculs précédents,

f′▷0◁ D ▷1 − 0◁e^{0} D 1 × 1 D 1 et f ▷0◁ D ▷2 − 0◁e^{0} D 2.

Ainsi,

T  V y D 1▷x − 0◁ C 2
⟺ y D x C 2

10Extremum et position relative_{Le Chartreux, Lyon} {Énoncé \atop p. 111}

1 Pour tout réel x, la dérivée de g est :

g′▷x◁ D −2 C 2e^{2x} D 2(e^{2x} − 1).

Or, 2 > 0. Donc,

g′▷x◁ ⩾ 0 ⟺ e^{2x} − 1 ⩾ 0
⟺ e^{2x} ⩾ 1
⟺ 2x ⩾ 0
⟺ x ⩾ 0.

Remarque : nous avons ici utilisé l’équivalence « e^{X} ⩾ 0 ⟺ X ⩾ 0 » en posant X D 2x.

De plus,

g▷0◁ D 1 − 2 × 0 C e^{2×0} D 1 C 1 D 2.

On en déduit alors le tableau suivant :

x −∞ 0 C∞
g′▷x◁  − 0 C
g▷x◁ ↘ ↗

2

2 Du tableau précédent, on peut conclure que g atteint son minimum pour x D 0, et ce minimum vaut 2.

Conjecture et preuve — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 123 — #133

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{123} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 De la question précédente, on déduit que pour tout réel x, g▷x◁ ⩾ 2.

Or, 2 > 0; par conséquent, pour tout réel x, g▷x◁ > 0.

4 De la question précédente, on peut écrire :

∀ x ∈ ℝ, g▷x◁ > 0
⟺ 1 − 2x C e^{2x} > 0
⟺ e^{2x} > 2x − 1.

Ainsi, sur ℝ, la courbe 0 d’équation y D e^{2x} se situe toujours au-dessus de la droite D d’équation y D 2x − 1.

Remarque : la lettre grecque « 0 » se lit « Gamma ».

11Positivité d’une fonction_{Lycée Descartes, Cournon} {Énoncé \atop p. 111}

1 Pour tout réel x, f′▷x◁ D e^{x} C xe^{x} D ▷1 C x◁e^{x}. Comme e^{x} est strictement positif, f′▷x◁ est du signe de 1 C x, donc positif pour x > −1 et négatif sinon. Sachant que f ▷−1◁ D a − e^{−1} , on peut établir le tableau de variations suivant :

x −∞  −1  C∞
f′▷x◁  −  0  C
f ▷x◁  ↘  ↗

a − \frac{1}{e}

2 D’après le tableau de variations, le minimum de f est atteint en −1 et

vaut a − \frac{1}{e}.

On a alors f ▷x◁ ⩾ 0 pour tout x si et seulement si a− \frac{1}{e} ⩾ 0, c’est-à-dire

a ⩾ \frac{1}{e}.

12Conjecture et preuve_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} {Énoncé \atop p. 111}

1 À la calculatrice, il semble que pour tout x, f ▷x◁ soit compris entre −1

et 1. 2 Pour tout x, e^{2x} − 1 < e^{2x} C 1 et comme e^{2x} > 0, on a aussi :

−e^{2x} − 1 < e^{2x} − 1 ,

Cosinus et sinus hyperboliques — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 124 — #134

CORRIGÉS_{124}

ce qui donne la double inégalité :

−▷e^{2x} C 1◁ < e^{2x} − 1 < e^{2x} C 1.

En divisant chaque membre par e^{2x} C 1 qui est strictement positif on trouve l’inégalité cherchée :

−1 < f ▷x◁ < 1.

3 On calcule la dérivée de f :

\begin{aligned}f′▷x◁ & D \frac{2e^{2x}▷e^{2x} C 1◁ − 2e^{2x}▷e^{2x} − 1◁}{▷e^{2x} C 1◁^{2}} \\ & D \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} C 1)^{2}} . \end{aligned}

On constate que f′▷x◁ > 0 pour tout x, donc f est strictement croissante sur ℝ.

x −∞  C∞
f′▷x◁  +
f ▷x◁  ↗

4 On cherche la plus petite valeur de x telle que 1 − f ▷x◁ < 0,001, c’està-dire telle que f ▷x◁ > 0,999. Notons a cette valeur. On programme la fonction f à la calculatrice, puis on affiche un premier tableau de valeurs par pas de 1 à partir de 0. Comme f ▷3◁ < 0,999 < f ▷4◁, on en déduit que a est compris entre 3 et 4. On tabule à nouveau la fonction à partir de 3 par pas de 0,1. On trouve f ▷3,8◁ < 0,999 < f ▷3,9◁. On recommence à tabuler à partir de 3,8 par pas de 0,01 et on trouve finalement f ▷3,8◁ < 0,999 < f ▷3,81◁. La valeur cherchée est donc a D 3,81.

13Cosinus et sinus hyperboliques_{Lycée Jacques Prévert, Boulogne} {Énoncé \atop p. 112}

1 Pour tout x ∈ ℝ, e^{x} > 0 et e^{−x} > 0, donc chx > 0.

Pour tout x ∈ ℝ^{C}, e^{x} ⩾ 1 et e^{−x} ⩽ 1, donc shx D \frac{1}{2}▷e^{x} − e^{−x} ◁ ⩾ 0.

Comme sh est impaire, on en déduit pour tout x ∈ ℝ^{−} , shx ⩽ 0. D’où les tableaux de signes :

\begin{matrix}x & −∞ & & 0 & & C∞ \\ shx & & − & 0 & C \\ chx & & C & 1 & C \end{matrix}

Cosinus et sinus hyperboliques — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 125 — #135

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{125} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Les fonctions ch et sh sont toutes deux dérivables en tant que sommes

de fonctions dérivables et pour tout x ∈ ℝ,

ch′x D \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} D shx et sh′x D \frac{e^{x} − ▷−e^{−x} ◁}{2} D chx.

3 Le tableau de variation de ch est alors :

x −∞ 0 C∞
shx  − 0 C
C∞  C∞
chx ↘ ↗

1

et celui de sh est :

x −∞ 0 C∞
chx  C 1 C
C∞
↗
shx  0
↗
−∞

4 (a) Pour tout x ∈ ℝ,

f′▷x◁ D ▷ch^{2}◁′▷x◁ − ▷sh^{2}◁′▷x◁
D 2 chx ch′x − 2 shx sh′x
D 2 chx shx − 2 shx chx D 0.

Donc f est constante sur ℝ et pour tout x ∈ ℝ,

f ▷x◁ D ▷chx◁^{2} − ▷shx◁^{2}
D f ▷0◁
D 1 − 0
D 1.

(b) Pour tout x ∈ ℝ,

f ▷x◁ D ▷chx◁^{2} − ▷shx◁^{2} D ( \frac{e^{x} C e^{−x}}{2} ) ^{2} − ( \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} ) ^{2} .

Ou encore,

f ▷x◁ D \frac{1}{4} (▷e^{2x} C 2 C e^{−2x} ◁ − ▷e^{2x} − 2 C e^{−2x} ◁) D \frac{4}{4} D 1.

Décroissance radioactive — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 126 — #136 CORRIGÉS_{126}

5 (a) Pour tout x ∈ ℝ,

2 chx shx D 2 ( \frac{e^{x} C e^{−x}}{2} ) ( \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} )

D \frac{2}{4} (▷e^{x}◁^{2} − ▷e^{−x} ◁^{2})

D sh▷2x◁.

(b) Posons :

g▷x◁ D 2 chx shx − sh▷2x◁.

Pour tout x ∈ ℝ,

g′▷x◁ D 2 shx shx C 2 chx chx − 2 ch▷2x◁.

Or, g est constante donc g′est nulle. Donc, pour tout x ∈ ℝ,

ch▷2x◁ D ▷chx◁^{2} C ▷shx◁^{2} .

6 Les fonctions ch et sh ont pour représentations graphiques :

On appelle la fonction ch « cosinus hyperbolique » et la fonction sh « sinus hyperbolique ».

14Décroissance radioactive_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 112}

Le taux d’un élément radioactif diminue de 30% en 1 500 ans. Donc :

e^{−λ×1 500} D 0,7.

Algorithme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 127 — #137

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{127} CORRIGÉS INTERROS COURS

Un algorithme nous permettant de trouver un encadrement de λ est :

Algorithme

l ← 0
Pour i allant de 1 à 40:
   l ← i/100000
   f ← exp(-1500*i)
   Si |f-0.7| ⩽ 0.01 alors
     Afficher l et f
   Fin du Si
Fin du Pour

En Python

from math import exp
l = 0
for i in range (40):
    l = i/100000
    f = exp(-1500*l)
    if abs(f-0.7) <= 0.01:
        print(l,f)

On trouve alors :

0,00023 ⩽ λ ⩽ 0,00024.

Ainsi, une valeur approchée de λ à 10^{−4} est \underline{λ ≈ 0,0002} .

15Algorithme_{Lycée Buffon, Paris} {Énoncé \atop p. 113}

1 Lorsque l’on applique cet algorithme en donnant à a la valeur 0,3, on obtient les résultats successifs suivants :

n exp▷−n◁ test : exp▷−n◁ ⩾ 0,3
0  e^{0} D 1  1 ⩾ 0,3 : vrai
1 e^{−1} ≈ 0,37  0,37 ⩾ 0,3 : vrai
2 e^{−2} ≈ 0,14  0,14 ⩾ 0,3 : faux

La boucle s’achève pour n D 2 et la valeur affichée est donc 2. 2 L’algorithme affiche le premier entier tel que le test « e^{−n} ⩾ a » soit

faux.

Pour afficher 0, il faut donc que e^{−0} ⩾ a soit faux, donc que 1 < a. On constate que pour a D 2, on obtient bien n D 0.

À l’aide du graphique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 128 — #138 CORRIGÉS_{128}

3 Si a D 10^{−20} , le test devient faux dès que e^{−n} < 10^{−20} , avec n entier, c’est-à-dire dès que e^{n} > 10^{20}. À la calculatrice, on trouve e^{46} ≈ 9,5 × 10^{19} et e^{47} ≈ 2,6 × 10^{20}. Comme la fonction exponentielle est croissante, cela permet de trouver que si a D 10^{−20} , la valeur affichée est 47.

16Fonction exponentielle et algorithme_{Cité scolaire internationale, Grenoble} {Énoncé \atop p. 113}

1 (a) f′▷x◁ D 4 × 0,25e^{0,25x} D e^{0,25x}.

f′▷x◁ est positif pour tout x, donc f est strictement croissante sur ℝ.

(b) La dérivée ne s’annule jamais donc il n’y a aucun point où la tan-

gente est parallèle à l’axe des abscisses. 2 (a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs successives de X et Y, Y

étant arrondi au 1 000^{e} inférieur.

\begin{matrix}X & 0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\ Y & −1 & −0,899 & −0,795 & −0,689 & −0,580 \end{matrix}

\begin{matrix}X & 0,5 & 0,6 & 0,7 & 0,8 & 0,9 \\ Y & −0,468 & −0,353 & −0,235 & −0,115 & 0,010 \end{matrix}

Dans la dernière colonne, Y est positif. Donc les valeurs affichées seront 0,8 et 0,9.

(b) Cet algorithme donne un encadrement d’amplitude P de la solution de l’équation f ▷x◁ D 0. On démarre à Y D −1 car c’est la valeur de f ▷0◁.

(c) Ici, l’encadrement a pour amplitude 0,001 donc P D 0,001.

(d) On peut programmer l’algorithme, mais aussi utiliser la fonction table de la calculatrice, ce qui est plus rapide puisqu’on a déjà un encadrement d’amplitude 0,01. On obtient en sortie 0,892 5 et 0,892 6.

17À l’aide du graphique_{Lycée Corneille, La-Celle-Saint-Cloud} {Énoncé \atop p. 114}

1 La fonction f est le produit uv, avec :

u▷x◁ D ▷ax C b◁ et v▷x◁ D e^{x}.

Les fonctions u et v sont dérivables sur ℝ, donc f l’est aussi par produit.

f′D u′v C uv′⇒ f′▷x◁ D ae^{x} C ▷ax C b◁e^{x} D ▷ax C a C b◁e^{x}.

2 D’après ce qui précède, on sait que f′▷−2◁ D ▷−2a C a C b◁e^{−2} .

À l’aide du graphique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 129 — #139 FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{129} CORRIGÉS INTERROS COURS

D’après l’énoncé, la tangente à la courbe C au point d’abscisse −2 est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, c’est-à-dire f′▷−2◁ D 0 :

f′▷−2◁ D 0 ⟺ ▷−2a C a C b◁e^{−2} D ▷b − a◁\underbrace{e^{−2}}_{D̸ 0} D 0
⟺ b − a D 0
⟺ a D b.

Par ailleurs, A ∈ C donc f ▷0◁ D 1 (1 unité en ordonnées prend deux graduations).

f ▷0◁ D 1 ⟺ b \underbrace{e^{0}}_{D 1} D 1 ⟺ b D 1.

Finalement, on obtient a D b D 1 et f ▷x◁ D ▷x C 1◁e^{x}. 3 En substituant les valeurs de a et b dans le calcul précédent de f′▷x◁ :

f′▷x◁ D ▷x C 2◁ \underbrace{e^{x}}_{positif} et f′▷x◁ > 0 ⟺ x C 2 > 0 ⟺ x > −2.

x  −3  −2  1
f′▷x◁  −  0 C
−2e^{−3}  2e
f ▷x◁  ↘  ↗

−\frac{1}{e^{2}}

f ▷−2◁ D ▷−2 C 1◁e^{−2} D −\frac{1}{e^{2}} ; f ▷−2◁ ≈ −0,14 à 10^{−2} près.

4 Il s’agit de résoudre f ▷x◁ D m, autrement dit, de discuter du nombre d’antécédents de m par f. On peut s’aider ici d’un graphique.

Si m < −\frac{1}{e^{2}}, l’équation f ▷x◁ D m n’a aucune solution car f admet

pour minimum −\frac{1}{e^{2}}.

Coût moyen minimal — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 130 — #140

CORRIGÉS_{130}

Si m D −\frac{1}{e^{2}}, l’équation f ▷x◁ D m admet une unique solution : −2.

Si −\frac{1}{e^{2}} < m ⩽ −2e^{−3} , l’équation f ▷x◁ D m admet deux solutions, une dans T−3 I −2T et l’autre dans U − 2 I 1T.

Si 2e^{−3} < m ⩽ 2e, l’équation f ▷x◁ D m admet une unique solution dans l’intervalle U − 2 I 1T, et elle n’en admet pas ailleurs car sur l’intervalle T−3 I −2U, f ▷x◁ < 2e^{−3} .

Si m > 2e, l’équation n’admet aucune solution car 2e est le maximum absolu de la fonction sur T−3 I 1U.

18Coût moyen minimal_{Lycée Chaptal, Paris} {Énoncé \atop p. 115}

1 (a) v▷t◁ D \frac{30}{0,5t C 1} ⇒ v▷0◁ D \frac{30}{0,5 × 0 C 1} D 30 D v_{0}.

On retrouve bien la valeur d’achat annoncée.

On cherche t_{0} tel que v▷t_{0}◁ ⩽ 0,5 v_{0}, soit :

\frac{30}{0,5t_{0} C 1} ⩽ \frac{1}{2} × 30  \frac{1}{0,5t_{0} C 1} ⩽ \frac{1}{2}
⟺ 0,5t_{0} C 1 ⩾ 2 ⟺ t_{0} ⩾ 2.

La machine aura perdu la moitié de sa valeur initiale au bout de 2 ans.

(b) Au bout de 4 ans, l’entreprise pourra revendre la machine au prix de v▷4◁ :

v▷4◁ D \frac{30}{0,5 × 4 C 1} D \frac{30}{3} D 10.

La valeur de revente de la machine au bout de 4 ans est de 10 000 �.

(c) \begin{matrix}D▷t◁ & D 30 − v▷t◁ \\ D 30 − \frac{30}{0,5t C 1} \\ D 30 ( 1 − \frac{1}{0,5t C 1}) \\ D 30 × \frac{0,5t C 1 − 1}{0,5t C 1} \\ D \frac{15t}{0,5t C 1}. \end{matrix}

Coût moyen minimal — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 131 — #141

FONCTION EXPONENTIELLE CHAP. 4_{131} CORRIGÉS INTERROS COURS

On calcule la dérivée de D par la formule du quotient :

D′▷t◁D \frac{15▷0,5t C 1◁ − 15t × ▷0,5◁}{▷0,5t C 1◁^{2}}
D′▷t◁D \frac{15}{▷0,5t C 1◁^{2}}.

On observe que D′▷t◁ > 0 (le dénominateur est un carré); donc D est une fonction strictement croissante sur son ensemble de définition [0 I 8].

2 (a) E▷t◁ D 2,5e^{0,4t} − t − 2,5 est dérivable en tant que somme d’une exponentielle et d’une fonction affine (sur tout ℝ donc a fortiori sur [0 I 8]) :

E′▷t◁ D 2,5 × 0,4 × e^{0,4t} − 1 D e^{0,4t} − 1.

(b) On sait, d’après l’ensemble de définition, que t ≥ 0. Cherchons le signe de E′▷t◁.

E′▷t◁ D 0 ⟺ e^{0,4t} − 1 D 0
⟺ e^{0,4t} D 1
⟺ e^{0,4t} D e^{0}
⟺ t D 0.

E′▷t◁ > 0 ⟺ e^{0,4t} − 1 > 0
⟺ e^{0,4t} > 1
⟺ 0,4t > 0
⟺ t > 0.

Autrement dit, E′est strictement positive sur ]0 I 8] et nulle en t D 0. E est donc une fonction strictement croissante sur [0 I 8].

3 (a) Le coût total de la machine est composé de la partie d’investissement « utilisée » depuis son achat, à laquelle il faut rajouter le prix de son entretien.

C▷t◁D D▷t◁ C E▷t◁

D \underbrace{30 − \frac{30}{0,5t C 1}}_{D▷t◁D30−v▷t◁}C 2,5e^{0,4×t} − t − 2,5

D 27,5 − \frac{30}{0,5t C 1} C 2,5e^{0,4×t} − t.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 4 page 132 — #142 CORRIGÉS_{132}

(b) On a C▷t◁ D D▷t◁ C E▷t◁. Or, d’après les questions précédentes, D et E sont des fonctions strictement croissantes sur [0 I 8]. Leur somme C est donc elle aussi strictement croissante sur [0 I 8]. Il est inutile d’étudier de signe de la dérivée.

(c) On a tracé la courbe en fin de corrigé. Nous avons respecté les proportions données par l’énoncé (1 unité en abscisses pour 1 année, 1 unité en ordonnées pour 8 k�).

4 (a) Le point M d’abscisse x_{M} D t appartient à 0 si et seulement ses coordonnées vérifient l’équation de 0 : y D C▷t◁. Donc y_{M} D C▷t◁. Le coefficient directeur a de la droite ▷OM◁ vaut donc :

a D \frac{y_{M}}{x_{M}} D \frac{C▷t◁}{t}D U▷t◁.

(b) Faire varier le point M sur la courbe 0, c’est faire varier la droite ▷OM◁. Plusieurs positions de ▷OM◁ sont indiquées en pointillés sur le graphique. Comme ▷OM◁ passe par l’origine, elle a pour équation y D ax. En diminuant son coefficient directeur a, ▷OM◁ se rapproche de l’horizontale. Or diminuer a, c’est diminuer U▷t◁. Le coefficient directeur minimal de ▷OM◁ est obtenu quand ▷OM◁ est tangente à 0 et sous 0. Cela correspond à une abscisse d’environ 4,5. Donc, le coût minimum est atteint pour 4 années et demi, environ.

Suites numériques

Plan du chapitre

1. Généralités sur les suites numériques

2. Suites arithmétiques

3. Suites géométriques

1 Généralités sur les suites numériques

On considère la suite w définie pour tout entier naturel n par :

w_{n} D \frac{n^{2}}{2^{n}}.

1 Calculer les quatre premiers termes de la suite w.

2 (a) Montrer que pour tout entier naturel n,

w_{nC1} − w_{n} D \frac{−n^{2} C 2n C 1}{2^{nC1}} .

(b) En déduire que la suite w est décroissante à partir d’un certain rang N que l’on déterminera.

Exercice type 1

Lycée Jules Ferry, Paris

Voir corrigé page 137

1.1 Définition

Définition 1

On appelle suite numérique une fonction à variable entière.

Notation : une suite est représentée, comme une fonction, par une lettre. Supposons que l’on désigne par la lettre u une suite. Alors, la suite pourra être notée, de manière indifférente :

u , ▷u◁ , ▷u_{n}◁ , ▷u_{n}◁_{n⩾0} , (u▷n◁)

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 134 — #144 COURS_{134}

Définitions 2

On appelle termes les nombres qui composent la suite numérique.

On appelle indice du terme u_{n} le nombre n.

On appelle rang du terme u_{n} sa position dans la suite.

Exemple : si u_{0} D 7 alors :

« 7 » est un terme de la suite ▷u_{n}◁, « 0 » est l’indice, le rang de 7 est 1 (car c’est le 1^{er} terme de la suite).

1.2 Suites définies de manière explicite

Définition 3

Une suite est définie de manière explicite si tous ses termes sont exprimés à l’aide d’une fonction dont la variable est leur rang.

Exemple : Si ▷u_{n}◁ est la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_{n} D n^{2} − 3

alors elle est définie de manière explicite et :

{ u_{0} D 0^{2} − 3 D −3 ; u_{1} D 1^{2} − 3 D −2 ; u_{2} D 2^{2} − 3 D 1 ; u_{3} D 3^{2} − 3 D 6 ; ⋮

1.3 Suites définies par récurrence (d’ordre 1)

Définition 4

Une suite est définie par récurrence (d’ordre 1) si un terme se calcule en fonction de son précédent.

Exemple : Si ▷v_{n}◁ est la suite définie par son premier terme v_{0} D 5 et par l’égalité :

v_{nC1} D 3v_{n} − 5,

alors ▷v_{n}◁ est une suite récurrente (d’ordre 1). Cela signifie ici que pour calculer un terme de cette suite, il faut multiplier son précédent par 3, puis soustraire 5.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 135 — #145 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{135} CORRIGÉS INTERROS COURS

\begin{aligned}On a donc : \\ & \{ & v_{0} D 5 ; v_{1} D 3 × 5 − 5 D 10 ; v_{2} D 3 × 10 − 5 D 25 ; v_{3} D 3 × 25 − 5 D 70 ; ⋮ \end{aligned}

1.4 Variations d’une suite

On dit que la suite ▷u_{n}◁ est :

constante si et seulement si pour tout n, on a u_{nC1} D u_{n}; croissante si et seulement si, pour tout n, u_{nC1} ⩾ u_{n}; strictement croissante si et seulement si, pour tout n, u_{nC1} > u_{n}; décroissante si et seulement si, pour tout n, u_{nC1} ⩽ u_{n}; strictement décroissante si et seulement si, pour tout n, u_{nC1} < u_{n}.

Dans la pratique, pour étudier le sens de variation d’une suite, on utilise principalement l’une des trois méthodes suivantes :

1.4.1 -Sens de variation de la fonction

Si la suite ▷u_{n}◁ est de la forme u_{n} D f ▷n◁ alors elle a le même sens de variation que la fonction f sur [0 I C∞[ .

Exemple : soit ▷u_{n}◁ la suite définie pour tout entier naturel n par :

u_{n} D n^{2} .

La fonction f définie sur ℝ par f ▷x◁ D x^{2} est croissante sur [0, C ∞[ ; la suite u est donc croissante.

1.4.2 -Différence de deux termes consécutifs

C’est la méthode générale : on étudie le signe de u_{nC1} − u_{n}.

si, pour tout n, u_{nC1} − u_{n} ⩽ 0 alors la suite u est décroissante; si, pour tout n, u_{nC1} − u_{n} ⩾ 0 alors la suite u est croissante.

Exemple : soit la suite ▷u_{n}◁ définie par son premier terme u_{0} D 5 et par la relation de récurrence u_{nC} D u_{n} C 7. Pour tout entier naturel n, on a :

u_{nC1} − u_{n} D ▷u_{n} C 7◁ − u_{n} D 7 > 0

donc ▷u_{n}◁ est strictement croissante.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 136 — #146 COURS_{136}

1.4.3 -Quotient de deux termes consécutifs

Cette méthode n’est à utiliser que si tous les termes sont strictement positifs. Dans ce cas,

si, pour tout n, \frac{u_{nC1}}{u_{n}} ⩽ 1 alors la suite est décroissante;

si, pour tout n, \frac{u_{nC1}}{u_{n}} ⩾ 1 alors la suite est croissante.

Exemple : soit la suite ▷u_{n}◁ définie pour tout entier naturel n par :

u_{n} D \frac{3^{n}}{2^{nC1}} .

Cette suite est bien à termes strictement positifs car pour tout n ∈ ℕ, 3^{n} > 0 et 2^{nC1} > 0. De plus,

u_{nC1} D \frac{3^{nC1}}{2^{nC2}}

donc :

\frac{u_{nC1}}{u_{n}} D u_{nC1} × \frac{1}{u_{n}} D \frac{3^{nC1}}{2^{nC2}} × \frac{2^{nC1}}{3^{n}} D \frac{3^{nC1}}{3^{n}} × \frac{2^{nC1}}{2^{nC2}} D 3 × \frac{1}{2} D \frac{3}{2} > 1

donc la suite est croissante.

1.5 Suites majorées, suites minorées

On dit que la suite ▷u_{n}◁ est :

majorée par le réel A si, pour tout n ∈ ℕ, on a : u_{n} ⩽ A; minorée par le réel a si, pour tout n ∈ ℕ, on a : u_{n} ⩾ a; bornée par les réels a et A si, pour tout n ∈ ℕ, on a : a ⩽ u_{n} ⩽ A.

Exemple : soit ▷u_{n}◁ définie pour tout entier naturel n par u_{n} D \frac{1}{n C 1}. ▷u_{n}◁ est minorée par 0 car pour tout entier naturel n, u_{n} > 0; ▷u_{n}◁ est majorée par 1 car pour tout entier naturel n, u_{n} ⩽ 1; ▷u_{n}◁ est bornée car elle est minorée et majorée.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 137 — #147 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{137} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 Les quatre premiers termes de la suite w sont w_{0}, w_{1}, w_{2} et w_{3}.

w_{0} D \frac{0^{2}}{2^{0}} D 0 (on remplace n par 0 dans l’expression de u_{n});

w_{1} D \frac{1^{2}}{2^{1}} D \frac{1}{2} (on remplace n par 1 dans l’expression de u_{n});

w_{2} D \frac{2^{2}}{2^{2}} D 1 (on remplace n par 2 dans l’expression de u_{n});

w_{3} D \frac{3^{2}}{2^{3}} D \frac{9}{8} (on remplace n par 3 dans l’expression de u_{n}).

2 (a) Pour tout entier naturel n, w_{nC1} s’obtient en remplaçant n par ▷n C 1◁ dans l’expression de w_{n}. Donc,

w_{nC1} − w_{n} D \frac{▷n C 1◁^{2}}{2^{nC1}}− \frac{n^{2}}{2^{n}}

D \frac{n^{2} C 2n C 1}{2^{nC1}} − \frac{n^{2} × 2^{1}}{2^{n} × 2^{1}}

D \frac{n^{2} C 2n C 1 − 2n^{2}}{2^{nC1}}

D \frac{−n^{2} C 2n C 1}{2^{nC1}} .

(b) Pour tout entier naturel n, 2^{nC1} > 0 donc w_{nC1} − w_{n} est du signe de −n^{2} C 2n C 1; le trinôme −x^{2} C 2x C 1 a pour discriminant :

1 D 2^{2} − 4 × ▷−1◁ × 1 D 8.

Ses racines sont donc :

\frac{−2 − \sqrt{8}}{−2} D 1 C \sqrt{2} > 0  et  1 − \sqrt{2} < 0.

On en déduit donc le tableau de signes suivant :

\begin{matrix}x & 0 & & 1 C \sqrt{2} & & C∞ \\ −x^{2} C 2x C 1 & & C & 0 & − \end{matrix}

On en déduit alors que −n^{2} C 2n C 1 < 0 pour n > 1 C \sqrt{2}, soit pour n ⩾ 3. Ainsi, la suite ▷w◁ est strictement décroissante à partir du rang N D 3.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Jules Ferry, Paris Voir énoncé page 133

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 138 — #148 COURS_{138}

Retrouvez les suites arithmétiques et géométriques en vidéo.

2 Suites arithmétiques

1 ▷a_{n}◁ est la suite définie pour tout n ∈ ℕ par :

a_{n} D 5n − 8.

Montrer que ▷a_{n}◁ est une suite arithmétique, dont on précisera la raison r et le premier terme a_{0}.

2 ▷c_{n}◁ est la suite définie pour tout entier naturel n par :

\{ \begin{matrix}c_{0} D 10 \\ c_{nC1} D \frac{1}{2}c_{n} C n. \end{matrix}

Cette suite est-elle arithmétique? Justifier.

Exercice type 2

Lycée Pierre Caraminot, Egletons

Voir corrigé page 140

2.1 Définition

Définition 5

On dit que la suite ▷u_{n}◁ est arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, u_{nC1} D u_{n} C r. r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Exemple : la suite ▷u_{n}◁ définie par u_{0} D 2 et pour tout n ∈ ℕ, u_{nC1} D u_{n} C 5 est arithmétique de raison 5.

2.2 Formule explicite du terme général

Théorème 1

Soit ▷u_{n}◁ une suite arithmétique de raison r. Alors, pour tous entiers naturels n et p,

u_{n} D u_{p} C ▷n − p◁r.

En particulier, si p D 0,

u_{n} D u_{0} C nr.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 139 — #149 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{139} CORRIGÉS INTERROS COURS

Exemple : soit ▷u_{n}◁ la suite arithmétique définie pour n ∈ ℕ telle que u_{5} D 10 et r D 3. Alors, pour tout n ∈ ℕ,

u_{n} D u_{5} C ▷n − 5◁r D 10 C ▷n − 5◁ × 3 D 3n − 5.

2.3 Sens de variation

Propriété 1

Si r > 0 alors ▷u_{n}◁ est strictement croissante. Si r < 0 alors ▷u_{n}◁ est strictement décroissante. Si r D 0 alors ▷u_{n}◁ est constante.

Exemples La suite ▷u_{n}◁ définie par u_{0} D 3 et u_{nC1} D u_{n} C 7 est strictement croissante car sa raison (r D 7) est strictement positive. La suite ▷u_{n}◁ définie par u_{0} D 3 et u_{nC1} D u_{n} − 4 est strictement décroissante car sa raison (r D −4) est strictement négative.

2.4 Somme des premiers termes

Propriété 2 : somme des premiers entiers

Pour tout entier naturel n,

1 C 2 C 3 C ⋯C n D \frac{n▷n C 1◁}{2}.

Remarque : cette propriété s’écrit aussi ∑_{kD1}^{n}k D \frac{n▷n C 1◁}{2}.

Cette égalité est à connaître par cœur.

Propriété 3 : somme des premiers termes

Soit ▷u_{n}◁ une suite arithmétique de premier terme u_{0} et de raison r. Alors,

u_{0} C u_{1} C u_{2} C ⋯C u_{n} D ▷n C 1◁ × \frac{u_{0} C u_{n}}{2} .

Remarque : on peut aussi retenir cette formule ainsi :

▷nombre de termes dans la somme◁ × ▷moyenne des termes extrêmes◁.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 140 — #150 COURS_{140}

1 Pour tout entier naturel n,

a_{nC1} − a_{n} D [5▷n C 1◁ − 8] − [5n − 8]
D 5n C 5 − 8 − 5n C 8
D 5.

Le résultat ne dépend pas de n : la différence entre deux termes consécutifs quelconques de cette suite est donc constante. La suite est donc arithmétique. Sa raison vaut 5 (la différence entre deux termes consécutifs) et son premier terme a_{0} se trouve en remplaçant n par 0 dans l’expression de a_{n} :

a_{0} D 5 × 0 − 8 D −8.

2 On a :

c_{0} D 10;

c_{0C1} D \frac{1}{2} × c_{0} C 0, soit c_{1} D \frac{1}{2} × 10 C 0 D 5;

c_{1C1} D \frac{1}{2}c_{1} C 1, soit c_{2} D \frac{1}{2} × 5 C 1 D \frac{7}{2}.

Ainsi,

c_{1} − c_{0} D 5 − 10 D −5 et c_{2} − c_{1} D \frac{7}{2} − 5 D −\frac{3}{2}.

Par conséquent, c_{1} − c_{0} D̸ c_{2} − c_{1}; la suite ▷c_{n}◁ n’est donc pas arithmétique.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Pierre Caraminot, Egletons

Voir énoncé page 138

3 Suites géométriques

1 ▷b_{n}◁ est la suite définie pour tout n ∈ ℕ par : b_{n} D \frac{3 × 12^{n}}{4^{n}} .

Montrer que ▷b_{n}◁ est une suite géométrique, dont on précisera la raison q et le premier terme b_{0}.

2 ▷c_{n}◁ est la suite définie pour tout entier naturel n par :

\{ \begin{matrix}c_{0} D 10 \\ c_{nC1} D \frac{1}{2}c_{n} C n. \end{matrix}

Cette suite est-elle géométrique? Justifier.

Exercice type 3

Lycée Pierre Caraminot, Egletons Voir corrigé page 142

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 141 — #151 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{141} CORRIGÉS INTERROS COURS

3.1 Définition

Définition 6

On dit que la suite ▷u_{n}◁ est géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n,

u_{nC1} D qu_{n} .

q est alors appelé la raison de la suite géométrique. Exemple : soit ▷u_{n}◁ la suite définie par son premier terme u_{0} D 7 et par la relation de récurrence u_{nC1} D \frac{1}{2}u_{n}. Alors, ▷u_{n}◁ est une suite géométrique de raison q D \frac{1}{2}.

3.2 Formule explicite du terme général

Théorème 2

Soit ▷u_{n}◁ une suite géométrique de raison q. Alors, pour tous entiers naturels n et p,

u_{n} D u_{p} × q^{n−p} .

En particulier, si p D 0,

u_{n} D u_{0} × q^{n}.

Exemple : soit ▷u_{n}◁ la suite géométrique de premier terme u_{0} D 7 et de raison q D \frac{1}{3}. Alors, pour tout entier naturel n,

u_{n} D 7 × ( \frac{1}{3}) ^{n} D \frac{7}{3^{n}}.

3.3 Somme des premiers termes

Propriété 4

Soit q D̸ 1. Alors, pour tout entier naturel n,

1 C q C q^{2} C ⋯C q^{n} D \frac{1 − q^{nC1}}{1 − q} .

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 142 — #152 COURS_{142}

Propriété 5

Soit ▷u_{n}◁ une suite géométrique de premier terme u_{0} et de raison q D̸ 1. Alors, pour tout entier naturel n,

u_{0} C u_{1} C u_{2} C ⋯C u_{n} D u_{0} × \frac{1 − q^{nC1}}{1 − q} .

1 Pour tout entier naturel n,

b_{nC1} D \frac{3 × 12^{nC1}}{4^{nC1}} D \frac{3 × 12^{n} × 12^{1}}{4^{n} × 4^{1}} D \frac{3 × 12^{n}}{4^{n}} × \frac{12}{4} D b_{n} × 3.

Ainsi, ▷b_{n}◁ est une suite géométrique de raison q D 3 et de premier terme :

b_{0} D \frac{3 × 12^{0}}{4^{0}} D 3.

2 On a :

c_{0} D 10;

c_{0C1} D \frac{1}{2} × c_{0} C 0, soit c_{1} D \frac{1}{2} × 10 C 0 D 5;

c_{1C1} D \frac{1}{2}c_{1} C 1, soit c_{2} D \frac{1}{2} × 5 C 1 D \frac{7}{2}.

Ainsi,

\frac{c_{1}}{c_{0}} D \frac{5}{10} D \frac{1}{2}  et  \frac{c_{2}}{c_{1}} D \frac{7}{10} D̸ \frac{c_{1}}{c_{0}}.

La suite ▷c_{n}◁ n’est donc pas géométrique.

Solution de l’exercice type 3

Lycée Pierre Caraminot, Egletons Voir énoncé page 140

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 143 — #153 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{143} CORRIGÉS INTERROS COURS

Généralités

1_{QCM} Exprimer le terme suivant Corrigé p. 154 5 min

Indiquer la bonne réponse parmi les propositions a , b , c . 1 Si u_{n} D n^{2} C n − 1, alors u_{nC1} D

a n^{2} C n b n^{2} C 3n c n^{2} C 3n C 1

2 Si v_{n} D ▷2n − 1◁^{2} alors v_{nC1} D

a n^{2} b ▷2n C 1◁^{2} c 4n^{2} − 4n C 1

3 Si w_{n} D \frac{5n − 1}{5n C 1} alors w_{nC1} D

a \frac{5n C 4}{5n C 6}  b \frac{5n − 6}{5n C 6}  c \frac{5n − 6}{5n C 1}
2_{V/F} Vérifiez vos connaissances Corrigé p. 154 10 min

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1 Si on pose pour tout n ∈ ℕ :

\{ \begin{matrix}u_{0} & D 2 \\ u_{nC1} & D \frac{1}{u_{n} − 1} , \end{matrix}

la suite ▷u_{n}◁ est bien définie. 2 Si, pour tout entier naturel n, v_{n} D 5n^{2}−10nC7, alors v_{9} est le neuvième

terme de la suite ▷v_{n}◁. 3 On pose t_{n} D n^{2} C n C 1 pour tout entier naturel n. Alors, ▷t_{n}◁ est une

suite croissante.

3_{V/F} Suite croissantes Corrigé p. 154 15 min

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1 Si u_{n} D f ▷n◁ et ▷u_{n}◁ est croissante, alors f est croissante. 2 Si \frac{u_{nC1}}{u_{n}} > 1 alors ▷u_{n}◁ est croissante. 3 La somme de deux suites croissantes est croissante.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 144 — #154 INTERROS_{144}
4Définition explicite d’une suite_{Lycée Saint-Benoît, Grenoble} Corrigé ; p. 155 ; 10 min ; ⋆

Soit ▷u_{n}◁ la suite définie par :

u_{n} D \sqrt{2n C 4} .

1 Compléter le programme suivant, écrit en langage Python, afin que l’appel à la fonction u(n) affiche une valeur approchée des termes de la suite ▷u_{n}◁ de u_{0} et u_{n}, pour n entier naturel quelconque.

En Python

    from math import sqrt
    def u(n):
        for k in range(...):
            u = sqrt(...)
            print(u)

2 Calculer le vingtième et le centième terme de la suite.

5Étude de la monotonie de deux suites_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 156 ; 15 min ; ⋆

Étudier la monotonie des suites définies sur ℕ par :

1 u_{n} D n − n^{3}

2 v_{n} D \frac{2n C 1}{n C 2}

6Sens de variation d’une suite_{Lycée Saint-Exupéry, Marseille} Corrigé ; p. 156 ; 20 min ; ⋆

On donne la suite ▷u_{n}◁ définie par :

∀ n ∈ ℕ,  u_{nC1} D \sqrt{2 C u_{n}}  ,  u_{0} D 0.

On suppose que 0 ⩽ u_{n} ⩽ 2 pour tout entier naturel n.

1 Montrer l’égalité :

u_{nC1} − u_{n} D \frac{2 C u_{n} − u_{n}^{2}}{\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}} .

2 Étudier le signe de 2 C x − x^{2} sur ℝ.

3 Donner le sens de variation de ▷u_{n}◁.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 145 — #155 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{145} CORRIGÉS INTERROS COURS
7Suite explicite avec radical_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} Corrigé ; p. 157 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ▷u_{n}◁_{n∈ℕ} la suite définie par :

u_{n} D \sqrt{n C 1} − \sqrt{n}.

1 (a) Montrer que, pour tout entier n ⩾ 1 :

n ⩾ \sqrt{n^{2} − 1} .

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n ⩾ 1 :

\sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} ⩽ 2\sqrt{n}.

Aide : utiliser l’identité remarquable (\sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} )^{2}.

(c) Exprimer u_{n} − u_{n−1} en fonction de n, et, à l’aide de la question précédente, et en déduire le sens de variation de la suite ▷u_{n}◁.

2 (a) Montrer que pour tout entier n ⩾ 1 :

0 < u_{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}.

(b) Soit un réel quelconque M > 0. Déduire de la question précédente, un rang n_{0} tel que, pour tout entier n ⩾ n_{0}, 0 ⩽ u_{n} ⩽ M.

Suites arithmétiques

8Recherche d’une suite arithmétique_{Lycée Poincaré, Nancy} Corrigé ; p. 158 ; 10 min ; ⋆

Soit ▷u_{n}◁ une suite arithmétique de raison r. On désigne par :

S_{n} D ∑_{kD1}^{n}u_{k} D u_{1} C u_{2} C ⋯C u_{n}

la somme des n premiers termes de la suite. Calculer u_{1} et S_{17} sachant que u_{17} D 105 et r D −2.

9Calcul de la distance parcourue_{Lycée Montesquieu, Herblay} Corrigé ; p. 159 ; 15 min ; ⋆

Un ours a établi sa tanière à 20 m des ruches d’un apiculteur, situées en ligne droite à partir de son antre et espacées de 2 m. L’ours dispose de pots de miel de taille respectable, et ne peut en porter deux simultanément malgré sa grande force et sa motivation certaine. Quelle distance parcourt ce fin gourmet s’il prélève modestement un pot de miel dans chacune des 30 ruches de l’apiculteur?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 146 — #156 INTERROS_{146}
10Production croissante_{Lycée Michelet, Vanves} Corrigé ; p. 159 ; 15 min ; ⋆

Une usine pharmaceutique fabrique des boîtes de médicaments. La machine de production fonctionne 7 jours sur 7 durant le mois de juin. La production est initialement de 3 500 boîtes de médicaments le 31 mai. À partir du 1^{er} juin, la production augmente de 60 boîtes par jour. On note u_{n} la production le jour n du mois de juin. 1 Exprimer u_{nC1} en fonction de u_{n}. Quelle est la nature de la suite?

Expliquer brièvement. 2 Exprimer u_{n} en fonction de n.

3 Pourra-t-on dépasser une production journalière de 5 000 boîtes au 24 juin?

11Suite se ramenant à une arithmétique_{Lycée Buffon, Paris} Corrigé ; p. 159 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

On donne :

∀ n ∈ ℕ^{∗},  u_{nC1} D \frac{u_{n}}{1 − u_{n}} ,  u_{1} D −2

∀ n ∈ ℕ^{∗}, v_{n} D \frac{1 C u_{n}}{u_{n}}

On admet que :

∀ n ∈ ℕ^{∗},  u_{n} D̸ 1,  u_{n} D̸ 0  et v_{n} D̸ 1 .

1 Calculer v_{nC1} en fonction de u_{nC1}.

2 Calculer v_{nC1} en fonction de u_{n}.

3 Calculer u_{n} en fonction de v_{n}.

4 En déduire que ▷v◁ est arithmétique.

5 En déduire une expression de v_{n}, puis de u_{n}, en fonction de n

12Quatre premiers termes d’une suite_{Lycée Louis-Le-Grand, Paris} Corrigé ; p. 160 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Déterminer les quatre premiers termes u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} d’une suite arithmétique croissante sachant que leur somme est 16 et que la somme de leurs carrés vaut

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 147 — #157 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{147} CORRIGÉS INTERROS COURS
13Les carrés de chocolat_{Lycée Hector Berlioz, Vincennes} Corrigé ; p. 161 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On positionne 2 016 carrés de chocolat comme sur le dessin ci-dessous : 1 carré sur la première ligne 2 carrés sur la deuxième ligne, etc.

En détaillant le raisonnement, calculer le nombre de carrés de chocolat sur la dernière ligne.

Suites géométriques

14Recherche de trois nombres_{Lycée Notre-Dame de France, Paris} Corrigé ; p. 162 ; 15 min ; ⋆

a, b et c sont trois nombres tels que :

a, b et c sont dans cet ordre trois termes consécutifs d’une suite arithmétique;

a, c et b sont dans cet ordre trois termes consécutifs d’une suite géométrique;

a C b C c D 99.

Déterminer a, b et c.

15Le rebond_{Lycée Albert de Mun, Nogent-sur-Marne} Corrigé ; p. 163 ; 20 min ; ⋆

Une balle élastique est lancée d’une hauteur de 100 cm au-dessus du sol. On note R_{n} la hauteur au n^{e} rebond et R_{0} la hauteur d’où est lâchée la balle.

À chaque rebond, la hauteur atteinte est égale à \frac{9}{10} de la hauteur précédente.

1 Exprimer R_{nC1} en fonction de R_{n}.

2 Quelle est la nature de la suite ▷R_{n}◁?

3 Exprimer R_{n} en fonction de n.

4 On considère que la balle s’arrête dès qu’elle tombe d’une hauteur inférieure à 0,2 cm. À l’aide d’une calculatrice, déterminer au bout de combien de rebonds va cesser le mouvement.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 148 — #158 INTERROS_{148}
16Recherche d’une suite géométrique_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} Corrigé ; p. 164 ; 20 min ; ⋆

1 ▷u_{n}◁ est une suite géométrique croissante dont les termes sont négatifs. Calculer u_{1}, u_{2} et u_{3}, sachant que :

\{ \begin{matrix}u_{1} × u_{3} & D \frac{4}{9} \\ u_{1} C u_{2} C u_{3} & D −\frac{19}{9}. \end{matrix}

2 Calculer u_{n} en fonction de n.

17n C 1 premiers termes d’une suite_{Lycée Saint-Benoît, Paris} Corrigé ; p. 165 ; 20 min ; ⋆

Soit la suite ▷U_{n}◁ définie par :

U_{n} D 2^{n} − 5n C 6 .

1 Calculer U_{0}, U_{1}, U_{2} et U_{3}.

2 On pose S_{n} D U_{0} C U_{1} C ⋯C U_{n}.

Calculer S_{n} en fonction de n.

18Capitaux et intérêts composés_{Lycée Notre-Dame, Ussel} Corrigé ; p. 166 ; 20 min ; ⋆

Un capital A est placé à intérêts composés au taux de 3 % l’an. On appelle C_{0} le capital initial et C_{n} le capital après n années. 1 Expliquer la relation C_{1} D 1,03C_{0} et écrire le capital C_{n} en fonction de

C_{0} et de n en justifiant soigneusement cette relation. 2 (a) Écrire un algorithme calculant le montant du capital acquis au bout

de n années.

(b) On considère un capital initial A D 150 euros. Déterminer, à l’aide de l’algorithme, au bout de combien d’années ce capital est doublé.

(c) Même question avec un capital initial A D 700 euros.

Quelle conjecture peut-on faire?

(d) Démontrer cette conjecture.

19Un problème d’optique_{Lycée Jehan de Chelles, Chelles} Corrigé ; p. 168 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

1 En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23 % de son intensité lumineuse. Soit I_{0} l’intensité d’un rayon à son entrée dans la plaque de verre et I_{1} son intensité à sa sortie. Exprimer I_{1} en fonction de I_{0}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 149 — #159 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{149} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 On superpose n plaques de verre identiques; on note I_{n} l’intensité du rayon à sa sortie de la n^{e} plaque.

(a) Exprimer I_{n} en fonction de I_{n−1} .

(b) Quelle est la nature de la suite ▷I_{n}◁? Préciser le premier terme et la raison; en déduire l’expression de I_{n} en fonction de I_{0}.

(c) Préciser, en le justifiant, le sens de variation de la suite ▷I_{n}◁. 3 Quelle est l’intensité initiale I_{0} d’un rayon lumineux dont l’intensité

après avoir traversé 4 plaques est égale à 15? 4 Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé

pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante.

20Les empilements_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois} Corrigé ; p. 169 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Partie A

On empile des cubes comme sur la figure ci-dessous afin de construire une tour. Le premier cube a un côté égal à 1024 mm. Puis chaque nouveau cube a un côté mesurant les 3/4 du côté du cube précédent. On note c_{0} le côté du 1^{er} cube, c_{1} celui du deuxième cube, et ainsi de suite. 1 Calculer c_{1}.

2 Quelle est la nature de la suite ▷c_{n}◁? Don-

ner ses éléments caractéristiques. 3 Exprimer c_{n} en fonction de n.

4 Quelle est la longueur du côté du 10^{e} cube?

5 Quelle est la hauteur de la tour formée par

les 10 premiers cubes? 6 Donner, en fonction de n, la hauteur de la

tour formée par les n premiers cubes. 7 Justifier le fait que la tour ne pourra jamais

dépasser la hauteur de 4 096 mm. 8 À l’aide de la calculatrice, dire combien il

faut de cubes, au minimum, pour dépasser une hauteur de 3 000 mm.

Partie B

On empile des cubes comme sur la figure ci-contre. Le premier cube a un côté égal à 10 cm. Puis chaque nouveau cube a un côté de 4 cm supérieur à celui du cube précédent.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 150 — #160 INTERROS_{150}

1 Étude de la hauteur de l’empilement.

On note d_{0} le côté du 1^{er} cube, d_{1} celui du 2^{e}, et ainsi de suite.

(a) Calculer d_{1}.

(b) Donner le nature de la suite ▷d_{n}◁, et ses éléments caractéristiques.

(c) Exprimer d_{n} en fonction de n.

(d) Quelle est la longueur du côté du 10^{e} cube?

(e) Quelle est la hauteur de l’empilement formé par les 10 premiers cubes?

2 Étude du volume de l’empilement.

On note v_{0} le volume du premier cube, v_{1} le volume du 2^{e}, et ainsi de suite.

(a) Calculer v_{0}, v_{1}, et v_{2}.

(b) La suite ▷v_{n}◁ est-elle arithmétique? Justifier.

(c) Pour n ⩾ 1, on note V_{n} le volume de l’empilement des n premiers cubes. Justifier que V_{2} D 3 744.

(d) Calculer V_{3}.

Suites se ramenant à une suite géométrique

21Suite arithmético-géométrique_{Lycée Descartes, Antony} Corrigé ; p. 170 ; 20 min ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

1 Soit la suite ▷U_{n}◁ définie par récurrence par :

\{ \begin{matrix}U_{0} D 6 \\ U_{nC1} D \frac{1}{2}U_{n} C 5 \end{matrix}

Calculer les quatre premiers termes de la suite. 2 On pose : V_{n} D U_{n} − 10.

Démontrer que ▷V_{n}◁ est une suite géométrique. Donner son premier terme et sa raison. Exprimer V_{n} puis U_{n} en fonction de n.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 151 — #161 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{151} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 Calculer : S_{10} D ∑_{iD0}^{10} V_{i} D V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10}

et S′_{10} D ∑_{iD0}^{10} U_{i} D U_{0} C U_{1} C ⋯C U_{10}.

22Étude algorithmique d’une suite_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} Corrigé ; p. 172 ; 30 min ; ⋆

Soit la suite ▷u_{n}◁ définie par récurrence par :

\{ \begin{matrix}u_{0} D 6 \\ u_{nC1} D \frac{1}{3}u_{n} C 2 \end{matrix}

1 Écrire un algorithme permettant de calculer, et d’afficher, les premières valeurs de la suite, u_{1}, u_{2}, u_{3}, … Quelle conjecture peut-on faire quant au comportement des valeurs de u_{n} lorsque n devient grand?

2 Soit la suite ▷v_{n}◁ définie pour tout entier n, par v_{n} D u_{n} − 3.

Montrer que la suite ▷v_{n}◁ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. En déduire l’expression de v_{n}, puis de u_{n} en fonction de n. L’expression obtenue conforte-t-elle la conjecture précédente?

3 Écrire un algorithme calculant la somme des termes :

S_{10} D ∑_{iD0}^{10} u_{i} D u_{0} C u_{1} C ⋯C u_{10}

23Une suite différente_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 174 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ▷u_{n}◁ définie par u_{0} D 1 et pour tout n ∈ ℕ par u_{nC1} D \frac{n C 2}{3▷n C 1◁}u_{n} .

On admettra que ∀ n ∈ ℕ, u_{n} > 0.

1 Calculer u_{1}.

2 En remarquant que \frac{u_{nC1}}{u_{n}} D \frac{n C 2}{3▷n C 1◁}, montrer que ▷u_{n}◁ est décrois-

sante. 3 On considère la suite ▷v_{n}◁ définie pour tout n ∈ ℕ par v_{n} D \frac{u_{n}}{n C 1}.

(a) Montrer que ▷v_{n}◁ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

(b) En déduire l’expression de v_{n} puis l’expression de u_{n} en fonction de n.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 152 — #162 INTERROS_{152}
24Accroissement d’une population_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 174 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Dans un pays, un organisme étudie l’évolution de la population.

Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d’accroissement naturel annuel de 14 pour mille.

De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 le quittent.

En 2010, la population de ce pays était de 75 millions d’habitants. On suppose que l’évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus. On note P_{n} la population de l’année ▷2010 C n◁ exprimée en milliers d’habitants.

1 (a) Déterminer P_{0}, P_{1} et P_{2}.

(b) La suite ▷P_{n}◁ est-elle arithmétique? géométrique? Justifier. 2 Expliquer pourquoi on obtient pour tout entier naturel n :

P_{nC1} D 1,014P_{n} C 7.

3 Démontrer que la suite ▷U_{n}◁ définie pour tout entier n par U_{n} D P_{n}C500 est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

4 Exprimer U_{n} puis P_{n} en fonction de n.

5 (a) Combien d’habitants peut-on prévoir en 2025?

(b) Au bout de combien d’années la population aura-t-elle doublé par rapport à l’année 2010?

25Suites imbriquées_{Lycée Danielou, Rueil-Malmaison} Corrigé ; p. 176 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

On donne deux suites ▷U_{n}◁ et ▷V_{n}◁ telles que, ∀ n ∈ ℕ :

\{ \begin{matrix}U_{nC1} & D 3U_{n} C 2V_{n} \\ V_{nC1} & D 2U_{n} C 3V_{n} \end{matrix}  et  \{ \begin{matrix}U_{0} & D 1 \\ V_{0} & D 2 \end{matrix}

1 Calculer U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}, U_{3} et V_{3}.

2 On définit deux suites ▷X_{n}◁ et ▷Y_{n}◁ par :

X_{n} D U_{n} C V_{n} et Y_{n} D U_{n} − V_{n}

Montrer que ▷X_{n}◁ est une suite géométrique et ▷Y_{n}◁ est une suite constante. En déduire U_{n} et V_{n} en fonction de n.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 153 — #163 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{153} CORRIGÉS INTERROS COURS
26Suite arithmético-géométrique_{Lycée Claude Monet, Paris} Corrigé ; p. 177 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Soit la suite ▷U_{n}◁_{n∈ℕ} définie par :

\{ \begin{matrix}U_{0} D 1 \\ U_{nC1} D \frac{1}{2}U_{n} − \frac{3}{2} \end{matrix}

1 Calculer U_{1} et U_{2}. 2 On considère la suite ▷V_{n}◁_{n∈ℕ} définie par :

V_{n} D U_{n} C 3 .

Montrer que la suite ▷V_{n}◁ est géométrique. 3 Exprimer V_{n} puis U_{n} en fonction de n. 4 Étudier les variations de la suite ▷V_{n}◁ puis de la suite ▷U_{n}◁. 5 Calculer S D U_{0} C U_{1} C ⋯C U_{10}.

Algorithmes & programmation

27

Afficher les premiers termes

Corrigé ; p. 178 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On considère la suite ▷u_{n}◁ définie par son premier terme u_{0} D 5 et par la relation de récurrence :

∀ n ∈ ℕ, u_{nC1} D 0,8u_{n} C 7.

1 Écrire un algorithme qui stocke les 20 premiers termes de cette suite

dans un tableau (une liste) et qui les affiche. 2 Écrire le programme Python correspondant. 3 On admet que la suite ▷u_{n}◁ est croissante et que sa limite vaut 35.

Écrire un algorithme, puis le programme Python correspondant, permettant d’afficher le premier indice n à partir duquel u_{n} > 34,99.

28

Suite de Fibonacci

Corrigé ; p. 180 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

La suite de Fibonacci est la suite ▷F_{n}◁ définie par ses deux premiers termes F_{0} D F_{1} D 1 et par la relation de récurrence :

∀ n ∈ ℕ, F_{nC2} D F_{nC1} C F_{n}.

1 Écrire un algorithme permettant de stocker dans un tableau (une liste) les 100 premiers termes de cette suite et d’afficher tous les quotients

\frac{F_{nC1}}{F_{n}} pour n < 100.

2 Écrire le programme Python correspondant.

Suite croissantes — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 154 — #164 CORRIGÉS_{154}
1_{QCM} Exprimer le terme suivant {Énoncé \atop p. 143}

1 Réponse c .

En effet,

u_{nC1} D ▷n C 1◁^{2} C ▷n C 1◁ − 1 D n^{2} C 3n C 1.

2 Réponse b .

En effet,

v_{nC1} D (2▷n C 1◁ − 1)^{2} D ▷2n C 2 − 1◁^{2} D ▷2n C 1◁^{2}.

3 Réponse a .

En effet,

w_{nC1} D \frac{5▷n C 1◁ − 1}{5▷n C 1◁ C 1} D \frac{5n C 5 − 1}{5n C 5 C 1} D \frac{5n C 4}{5n C 6}.

2_{V/F} Vérifiez vos connaissances {Énoncé \atop p. 143}

1 Faux. u_{0} D 2; u_{1} D \frac{1}{2 − 1} D 1. Il est alors impossible de calculer u_{2}.

2 Faux. Le premier terme de la suite ▷v_{n}◁ est v_{0}. Il y a un décalage entre

les indices et les rangs : v_{9} est le dixième terme. 3 Vrai. En effet, pour tout entier naturel n,

t_{nC1} − t_{n} D ▷n C 1◁^{2} C ▷n C 1◁ C 1 − ▷n^{2} C n C 1◁
D n^{2} C 2n C 1 C n C 1 C 1 − n^{2} − n − 1
D 2n C 2.

De plus, t_{nC1} − t_{n} > 0, donc t_{nC1} − t_{n} > 0. La suite ▷t_{n}◁ est donc strictement croissante.

3_{V/F} Suite croissantes {Énoncé \atop p. 143}

1 Faux. Pour tout n ⩾ 1, on pose u_{n} D n^{2} − 3n.

On a :

\begin{matrix}u_{nC1} − u_{n} & D ▷n C 1◁^{2} − 3▷n C 1◁ − n^{2} C 3n \\ u_{nC1} − u_{n} & D 2n − 2 \end{matrix}

Si n ⩾ 1, 2n − 2 ⩾ 0. Donc la suite ▷u_{n}◁ est croissante. Or la fonction f définie sur T1 I C∞T par f ▷x◁ D x^{2} − 3x est décroissante sur [1 I \frac{3}{2}].

Étude de la monotonie de deux suites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 155 — #165 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{155} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Faux. Soit u_{n} D −2^{n}.

On a :

\frac{u_{nC1}}{u_{n}} D \frac{−2^{nC1}}{−2^{n}} D 2 donc \frac{u_{nC1}}{u_{n}} > 1.

Cependant, la suite ▷u_{n}◁ est décroissante : pour tout n ∈ ℕ,

u_{nC1} − u_{n} D −2^{nC1} C 2^{n} D −2^{n}

donc u_{nC1} − u_{n} < 0. Il manquait la condition : u_{n} > 0.

3 Vrai. Soient ▷u_{n}◁ et ▷v_{n}◁ deux suites croissantes. On pose w_{n} D u_{n} C v_{n}.

Pour tout entier naturel n,

u_{n} < u_{nC1} et v_{n} < v_{nC1}
donc u_{n} C v_{n} < u_{nC1} C v_{nC1}
soit w_{n} < w_{nC1}

La suite ▷w_{n}◁ est donc croissante.

4Définition explicite d’une suite_{Lycée Saint-Benoît, Grenoble} {Énoncé \atop p. 144}

1 Le programme complété est le suivant :

En Python

 from math import sqrt
 def u(n):
     for k in range(n+1):
         u = sqrt(2*k+4)
         print(u)

Dans cette fonction, la variable entière k parcourt les valeurs de 0 à n (la fonction « range » compte n C 1 valeurs, de 0 à n). Il est à noter ici la présence de la fonction sqrt, permettant de calculer une racine carrée.

2 Le vingtième terme correspond à u_{19} :

u_{19} D \sqrt{2 × 19 C 4} D \sqrt{42}.

Le centième terme correspond à u_{99} :

u_{99} D \sqrt{2 × 99 C 4} D \sqrt{202}.

Sens de variation d’une suite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 156 — #166 CORRIGÉS_{156}
5Étude de la monotonie de deux suites_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 144}

1 Pour tout entier naturel n, u_{n} D n − n^{3} D n▷1 − n^{2}◁ D n▷1 − n◁▷1 C n◁ D −n▷n C 1◁▷n − 1◁. Ainsi,

u_{nC1} D ▷n C 1◁▷1 − n − 1◁▷1 C n C 1◁ D −n▷n C 1◁▷n C 2◁. Par conséquent,

u_{nC1} − u_{n} D −n▷n C 1◁▷n C 2◁ C n▷n C 1◁▷n − 1◁
D n▷n C 1◁[ − n − 2 C n − 1◁
D −3n▷n C 1◁.

Ainsi, u_{nC1} − u_{n} ⩽ 0 sur ℕ; ▷u_{n}◁ est donc décroissante sur ℕ. 2 Pour tout entier naturel n,

v_{n} D \frac{2n C 1}{n C 2} D \frac{2▷n C 2◁ − 3}{n C 2} D 2 − \frac{3}{n C 2}.

Ainsi,

v_{nC1} − v_{n} D ( 2 − \frac{3}{n C 3}) − ( 2 − \frac{3}{n C 2})

D \frac{−3▷n C 2◁ C 3▷n C 3◁}{▷n C 3◁▷n C 2◁}

D \frac{−3n − 6 C 3n C 9}{▷n C 2◁▷n C 3◁}

D \frac{3}{▷n C 2◁▷n C 3◁}.

Ainsi, v_{nC1} − v_{n} > 0; la suite ▷v_{n}◁ est donc strictement croissante.

6Sens de variation d’une suite_{Lycée Saint-Exupéry, Marseille} {Énoncé \atop p. 144}

1 Pour tout entier naturel n,

u_{nC1} − u_{n} D \sqrt{2 C u_{n}} − u_{n}

D (\sqrt{2 C u_{n}} − u_{n}◁ × \frac{\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}}{\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}}

D \frac{▷\sqrt{2 C u_{n}} − u_{n}◁▷\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}◁}{\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}}

D \frac{2 C u_{n} − u_{n}^{2}}{\sqrt{2 C u_{n}} C u_{n}} .

Suite explicite avec radical — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 157 — #167

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{157} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 En posant x D u_{n}, sachant d’après l’énoncé que 0 ⩽ u_{n} ⩽ 2, on a :

u_{nC1} − u_{n} D \frac{2 C x − x^{2}}{\sqrt{2 C x} C x} .

\sqrt{2 C x} > 0 et x ⩾ 0, donc \sqrt{2 C x} C x > 0; u_{nC1} − u_{n} est alors du signe de 2 C x − x^{2}. Le polynôme 2 C x − x^{2} a pour racines −1 et 2 (racines évidentes).

x −∞  −1  2  C∞
2 C x − x^{2}  − 0 C 0 −

3 0 ⩽ x ⩽ 2. Ainsi, u_{nC1} − u_{n} ⩾ 0.

Ainsi, la suite ▷u_{n}◁ est croissante.

7Suite explicite avec radical_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} {Énoncé \atop p. 145}

1 (a) Pour tout entier n ⩾ 1, n^{2} ⩾ n^{2} − 1 ⩾ 0, et on déduit donc que :

n ⩾ \sqrt{n^{2} − 1} car la fonction racine carrée est croissante sur ℝ_{C}.

(b) Pour n ⩾ 1,

( \sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} )^{2} D n C 1 C 2\sqrt{▷n C 1◁}\sqrt{▷n − 1◁} C n − 1
D 2n C 2\sqrt{n^{2} − 1} .

Or, d’après la question précédente,

\sqrt{n^{2} − 1} ⩽ n ⟺ 2\sqrt{n^{2} − 1} ⩽ 2n
⟺ 2n C 2\sqrt{n^{2} − 1} ⩽ 4n
⟺ ( \sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} )^{2} ⩽ 4n
⟺ \sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} ⩽ \sqrt{4n}

(car \sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} > 0 pour n ⩾ 1)

⟺ \sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} ⩽ 2\sqrt{n}.

(c) Pour tout entier n ⩾ 1,

u_{n} − u_{n−1} D ( \sqrt{n C 1} − \sqrt{n}) − ( \sqrt{n} − \sqrt{n − 1} )
D \sqrt{n C 1} − 2\sqrt{n} C \sqrt{n − 1} .

D’après la question précédente, on sait que :

\sqrt{n C 1} C \sqrt{n − 1} − 2\sqrt{n} ⩽ 0,

c’est-à-dire que u_{n} − u_{n−1} ⩽ 0, et donc que la suite ▷u_{n}◁ est décroissante.

Recherche d’une suite arithmétique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 158 — #168

CORRIGÉS_{158}

2 (a) Pour tout n ∈ ℕ, en multipliant en haut et en bas par la quantité conjuguée, on a :

u_{n} D \sqrt{n C 1} − \sqrt{n}

D \frac{▷\sqrt{n C 1} − \sqrt{n}◁▷\sqrt{n C 1} C \sqrt{n}◁}{\sqrt{n C 1} C \sqrt{n}}

D \frac{n C 1 − n}{\sqrt{n C 1} C \sqrt{n}}

D \frac{1}{\sqrt{n C 1} C \sqrt{n}} .

Comme pour tout entier n, \sqrt{n C 1} > 0 et \sqrt{n} ⩾ 0, on a donc, u_{n} > 0 . De plus, pour tout entier n, n C 1 > n, et donc, \sqrt{n C 1} > \sqrt{n}, car la fonction racine carrée est croissante. On en déduit que \sqrt{n C 1} C \sqrt{n} > 2\sqrt{n}, et donc que :

0 < u_{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}} car la fonction inverse est décroissante.

(b) Soit M > 0, d’après l’encadrement précédent, il suffit de choisir n_{0} tel que :

\frac{1}{2\sqrt{n_{0}}} ⩽ M ⟺ n_{0} ⩾ \frac{1}{4M^{2}} pour que 0 < u_{n_{0}} ⩽ M.

8Recherche d’une suite arithmétique_{Lycée Poincaré, Nancy} {Énoncé \atop p. 145}

Ayant un terme et la raison d’une suite arithmétique, nous pouvons calculer facilement les autres termes de cette suite :

u_{n} D u_{1} C ▷n − 1◁r

et en particulier pour n D 17 :

u_{17} D u_{1} C 16r D u_{1} − 32.

Donc :

u_{1} D u_{17} C 32 D 137.

D’après le cours,

S_{17} D 17 × \frac{u_{1} C u_{17}}{2} D 17 × \frac{137 C 105}{2} D 2 057.

Suite se ramenant à une arithmétique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 159 — #169

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{159} CORRIGÉS INTERROS COURS

9Calcul de la distance parcourue_{Lycée Montesquieu, Herblay} {Énoncé \atop p. 145}

Commençons par présenter la situation par un schéma :

Les points R_{1}, R_{2}, ..., R_{30} représentent les 30 ruches. Au cours de son premier aller-retour, l’ours parcourt 40 m; au voyage suivant, il en parcourt 44, puis 48 etc. À chaque voyage, la distance parcourue augmente de 4 m. La distance totale parcourue est donc la somme des trente premiers termes d’une suite arithmétique ▷u_{n}◁ de premier terme u_{0} D 40 et de raison 4.

S D u_{0} C u_{1} C u_{2} C ⋯C u_{29}
S D 30 × \frac{u_{0} C u_{29}}{2}
S D 30 × \frac{40 C ▷40 C 29 × 4◁}{2}
S D 2 940.

La distance totale parcourue par l’ours est 2 940 mètres.

10Production croissante_{Lycée Michelet, Vanves} {Énoncé \atop p. 146}

1 u_{nC1} D u_{n} C 60.

La production augmente de 60 boîtes chaque jour, c’est une augmentation constante, la suite est donc arithmétique.

2 u_{n} D u_{0} C nr D 3 500 C 60n.

3 Il faut savoir si l’inéquation 3 500 C 60n > 5 000 admet une solution inférieure ou égale à 24.

3 500 C 60 × n > 5 000 ⟺ 60n > 1 500
⟺ n > 25.

Donc on ne pourra pas dépasser une production journalière de 5 000 boîtes au 24 juin.

11Suite se ramenant à une arithmétique_{Lycée Buffon, Paris} {Énoncé \atop p. 146}

1 Par définition :

v_{nC1} D \frac{1 C u_{nC1}}{u_{nC1}} .

Quatre premiers termes d’une suite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 160 — #170

CORRIGÉS_{160}

2 Pour calculer v_{nC1} en fonction de u_{n}, remplaçons u_{nC1} dans l’égalité

précédente par :

u_{nC1} D \frac{u_{n}}{1 − u_{n}} .

On a alors :

v_{nC1} D \frac{1 C \frac{u_{n}}{1 − u_{n}}}{\frac{u_{n}}{1 − u_{n}}}

soit, en multipliant en haut et en bas par 1 − u_{n} :

v_{nC1} D \frac{1 − u_{n} C u_{n}}{u_{n}} D \frac{1}{u_{n}}.

3 \begin{matrix}On a : & v_{n} D \frac{1 C u_{n}}{u_{n}} \\ ⟺ & v_{n}u_{n} D 1 C u_{n} \\ ⟺ & u_{n}(v_{n} − 1) D 1 \\ ⟺ & u_{n} D \frac{1}{v_{n} − 1} , car v_{n} D̸ 1. \end{matrix}

4 Utilisons les deux égalités suivantes pour en déduire v_{nC1} en fonction de v_{n} :

v_{nC1} D \frac{1}{u_{n}}
u_{n} D \frac{1}{v_{n} − 1} .

Nous obtenons donc, pour tout n ∈ ℕ^{∗} :

v_{nC1} D v_{n} − 1 ,

ce qui prouve que ▷v_{n}◁ est une suite arithmétique de raison −1. 5 ▷v_{n}◁ étant arithmétique de raison r D −1, on a :

∀ n ∈ ℕ^{∗}, v_{n} D v_{1}C▷n−1◁r soit v_{n} D \frac{1}{2} −▷n−1◁ D \frac{3}{2} −n.

Ainsi, d’après la question 3,

∀ n ∈ ℕ^{∗}, u_{n} D \frac{1}{\frac{3}{2} − n − 1} D −\frac{2}{2n − 1} .

12Quatre premiers termes d’une suite_{Lycée Louis-Le-Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 146}

Notons ▷u_{n}◁ la suite arithmétique définie par son premier terme u_{1} et sa raison r. On a donc les relations :

\{ \begin{matrix}u_{1} C u_{2} C u_{3} C u_{4} & D 16 \\ u_{1}^{2} C u_{2}^{2} C u_{3}^{2} C u_{4}^{2} & D 84. \end{matrix}

Les carrés de chocolat — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 161 — #171 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{161} CORRIGÉS INTERROS COURS

Or,

\{ \begin{matrix}u_{2} & D u_{1} C r \\ u_{3} & D u_{1} C 2r \\ u_{4} & D u_{1} C 3r. \end{matrix}

On obtient donc :

\{ \begin{matrix}u_{1} C u_{1} C r C u_{1} C 2r C u_{1} C 3r & D 16 \\ u_{1}^{2} C ▷u_{1} C r◁^{2} C ▷u_{1} C 2r◁^{2} C ▷u_{1} C 3r◁^{2} & D 84 \end{matrix}

soit en développant :

\{ \begin{matrix}4u_{1} C 6r & D 16 \\ 4u_{1}^{2} C 12ru_{1} C 14r^{2} & D 84 \end{matrix}

soit encore :

\{ \begin{matrix}2u_{1} & D 8 − 3r \\ ▷2u_{1}◁^{2} C 6r▷2u_{1}◁ C 14r^{2} & D 84 \end{matrix}

et finalement, en remplaçant 2u_{1} par 8 − 3r :

\{ \begin{matrix}2u_{1} & D 8 − 3r \\ ▷8 − 3r◁^{2} C 6r▷8 − 3r◁ C 14r^{2} & D 84 \end{matrix}

La deuxième équation s’écrit successivement :

▷8 − 3r◁▷8 − 3r C 6r◁ C 14r^{2} D 84
⟺ ▷8 − 3r◁▷8 C 3r◁ C 14r^{2} D 84
⟺ 64 − 9r^{2} C 14r^{2} D 84
⟺ 5r^{2} D 20
⟺ r^{2} D 4.

Or, r > 0 car la suite est croissante donc r D 2, et la première équation donne alors :

2u_{1} D 8 − 6 D 2.

Finalement :

u_{1} D 1, u_{2} D 3, u_{3} D 5 et u_{4} D 7.

13Les carrés de chocolat_{Lycée Hector Berlioz, Vincennes} {Énoncé \atop p. 147}

Le nombre de carrés sur chaque ligne est un terme d’une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. Sur la ligne n, si on commence à la ligne 1, il y a donc au plus n chocolats. Donc, si on fait la somme des chocolats de la ligne 1 à la n^{e} ligne, il peut y avoir :

1 C 2 C 3 C ⋯C n chocolats.

Recherche de trois nombres — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 162 — #172 CORRIGÉS_{162}

D’après la formule du cours, il y a donc \frac{n▷n C 1◁}{2}chocolats. On cherche donc la plus petite valeur entière de n telle que :

\frac{n▷n C 1◁}{2}⩾ 2 016

Cette inéquation est équivalente à :

n^{2} C n − 4 032 ⩾ 0

1 D 16 129.

La plus grande des deux racines est x′ D \frac{−1 C \sqrt{16 129}}{2} D 63. (l’autre racine est négative) Donc la plus petite valeur de n entière possible est 63. Il y a donc 63 rangées de chocolat. Sur les 62 premières rangées, on a mis \frac{62 × 63}{2} D 1 953 chocolats.

Il en reste donc 2 016 − 1 953 D 63. La dernière rangée sera donc complète!

14Recherche de trois nombres_{Lycée Notre-Dame de France, Paris} {Énoncé \atop p. 147}

En notant r la raison de la suite arithmétique et q celle de la suite géométrique, les hypothèses s’écrivent :

a D b − r  (1)
c D b C r  (2)
a D \frac{c}{q}  (3)
b D cq  (4)
a C b C c D 99  (5)

De (1) et (2), on déduit : a C c D 2b. De (3) et (4), on déduit : ab D c^{2}.

MÉTHODE

Il est souvent intéressant de travailler avec le terme du milieu, car cela permet d’éliminer les raisons des équations.

En remplaçant a C c par 2b dans (5), on obtient :

3b D 99 ,

et donc :

b D 33.

Le rebond — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 163 — #173 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{163} CORRIGÉS INTERROS COURS

Pour trouver a et c, on doit résoudre :

\{ \begin{matrix}a C c D 66 \\ 33a D c^{2}  ▷6◁ \end{matrix}

De l’équation (6), on tire :

a D \frac{c^{2}}{33}.

On remplace dans la première équation a par cette valeur :

\frac{c^{2}}{33} C c D 66,

d’où :

c^{2} C 33c D 66 × 33,

soit :

c^{2} C 33c − 66 × 33 D 0.

Le discriminant de cette équation du second degré vaut : 1 D 33^{2} C 4 × 66 × 33 D 33^{2} C 8 × 33^{2} D 9 × 33^{2} D ▷3 × 33◁^{2} D 99^{2}. On a donc deux solutions possibles :

c_{1} D \frac{−33 − 99}{2} D −66 et c_{2} D \frac{−33 C 99}{2} D 33.

Les solutions correspondantes pour a sont :

a_{1} D \frac{c_{1}^{2}}{33} D \frac{▷33 × 2◁^{2}}{33} D 33 × 4 D 132
a_{2} D \frac{c_{2}^{2}}{33} D \frac{33^{2}}{33} D 33.

Dans le premier cas, on a le triplet solution :

▷a_{1},b_{1},c_{1}◁D ▷132,33, − 66◁

et dans le second cas :

▷a_{2},b_{2},c_{2}◁D ▷33,33,33◁.

On vérifie aisément que ces deux triplets conviennent.

15Le rebond_{Lycée Albert de Mun, Nogent-sur-Marne} {Énoncé \atop p. 147}

1 R_{nC1} D \frac{9}{10}R_{n}.

2 La suite R est géométrique, chaque terme se déduisant du précédent par multiplication par \frac{9}{10}.

Recherche d’une suite géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 164 — #174

CORRIGÉS_{164}

3 R_{n} D R_{0} ( \frac{9}{10}) ^{n} D 100 ( \frac{9}{10}) ^{n}.

4 On cherche n tel que R_{n} < 0,2, donc tel que 100 ( \frac{9}{10}) ^{n} < 0,2. En tabulant sur la calculatrice, on obtient :

\begin{matrix}X & Y_{1} \\ 55 & .30433 \\ 56 & .27389 \\ 57 & .24650 \\ 58 & .22185 \\ 59 & .19967 \end{matrix}

n D 59. Il faudra 59 rebonds pour que le mouvement cesse. Remarque : on sait que la suite est décroissante puisque la raison est comprise entre 0 et 1 et que le premier terme R_{0} est positif.

16Recherche d’une suite géométrique_{Lycée Blaise Pascal, Orsay} {Énoncé \atop p. 148}

1 Si on appelle q la raison de la suite, on a :

u_{2} D qu_{1} et u_{2} D \frac{u_{3}}{q} ,

donc :

u_{2}^{2} D u_{1}u_{3} D \frac{4}{9}.

▷u_{n}◁ est à termes négatifs, donc :

u_{2} D −\frac{2}{3}.

Comme :

\{ \begin{matrix}u_{1} × u_{3} & D \frac{4}{9} \\ u_{1} C u_{2} C u_{3} & D −\frac{19}{9} \end{matrix}

on a :

\{ \begin{matrix}u_{1}u_{3} & D \frac{4}{9} \\ u_{1} − \frac{2}{3} C u_{3} & D −\frac{19}{9} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}u_{1}u_{3} & D \frac{4}{9} \\ u_{1} C u_{3} & D −\frac{13}{9} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}u_{3} D −u_{1} − \frac{13}{9} \\ u_{1} ( −u_{1} − \frac{13}{9}) D \frac{4}{9} \end{matrix}

n C 1 premiers termes d’une suite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 165 — #175 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{165} CORRIGÉS INTERROS COURS

u_{1} est donc solution de l’équation :

x ( −x − \frac{13}{9}) D \frac{4}{9}

soit :

9x^{2} C 13x C 4 D 0.

Le discriminant vaut :

1 D 13^{2} − 4 × 4 × 9 D 25.

Les deux racines sont donc :

x_{1} D \frac{−13 − 5}{18} D −1 et x_{2} D \frac{−13 C 5}{18} D −\frac{8}{18} D −\frac{4}{9}.

D’où :

u_{1} D −1 (et dans ce cas u_{3} D −u_{1} − \frac{13}{9} D −\frac{4}{9});

ou u_{1} D −\frac{4}{9} (et dans ce cas u_{3} D −u_{1} − \frac{13}{9} D −1).

▷u_{n}◁ est croissante, donc u_{3} ⩾ u_{1}. On retient donc comme solution :

u_{1} D −1 et u_{3} D −\frac{4}{9}.

Nous avons donc finalement :

u_{1} D −1,  u_{2} D −\frac{2}{3},  u_{3} D −\frac{4}{9}.

On remarque que la raison est q D \frac{u_{2}}{u_{1}} D \frac{2}{3}. 2 Pour calculer u_{n}, utilisons simplement la définition des suites géomé-

triques :

u_{n} D q^{n−1} u_{1} D − ( \frac{2}{3}) ^{n−1} .

17n C 1 premiers termes d’une suite_{Lycée Saint-Benoît, Paris} {Énoncé \atop p. 148}

1 Pour calculer les premiers termes, on peut directement écrire : U_{0} D 2^{0} − 5 × 0 C 6 D 7.

U_{1} D 2^{1} − 5 × 1 C 6 D 3.
U_{2} D 2^{2} − 5 × 2 C 6 D 0.
U_{3} D 2^{3} − 5 × 3 C 6 D −1.

2 Pour calculer S_{n} en fonction de n, il faut penser à décomposer la somme :

U_{n} D \underbrace{▷2^{n}◁}_{V_{n}}C \underbrace{▷−5n C 6◁}_{W_{n}}

Capitaux et intérêts composés — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 166 — #176

CORRIGÉS_{166}

où ▷V_{n}◁ est la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 et ▷W_{n}◁ la suite arithmétique de raison −5 et de premier terme 6. On peut alors écrire :

S_{n} D S_{n}▷V ◁ C S_{n}▷W◁ ,

avec :

\{ \begin{matrix}S_{n}▷V ◁ D V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{n} \\ S_{n}▷W◁ D W_{0} C W_{1} C ⋯C W_{n} \end{matrix}

S_{n}▷V ◁ D 1 C 2 C ⋯C 2^{n} D \frac{1 − 2^{nC1}}{1 − 2} D 2^{nC1} − 1.

S_{n}▷W◁D 6 C ▷6 − 5◁ C ▷6 − 2 × 5◁ C ⋯C ▷6 − n × 5◁ D ▷n C 1◁ × 6 − 5▷1 C 2 C ⋯C n◁

D 6▷n C 1◁ − 5\frac{n▷n C 1◁}{2}

D \frac{12▷n C 1◁ − 5n▷n C 1◁}{2}

D \frac{▷n C 1◁▷12 − 5n◁}{2}.

Donc :

\{ \begin{matrix}S_{n}▷V ◁ D 2^{nC1} − 1 \\ S_{n}▷W◁ D \frac{n C 1}{2}▷12 − 5n◁. \end{matrix}

On obtient donc :

S_{n} D S_{n}▷V ◁ C S_{n}▷W◁ D 2^{nC1} − 1 C \frac{n C 1}{2}▷12 − 5n◁ .

Vérifions pour les quatre premiers termes :

S_{3} D 7 C 3 C 0 − 1 D 9

et par le calcul précédent :

S_{3} D 2^{4} − 1 C \frac{4}{2}▷12 − 15◁ D 9 .

18Capitaux et intérêts composés_{Lycée Notre-Dame, Ussel} {Énoncé \atop p. 148}

1 Le capital A est placé à intérêts composés au taux de 3 % l’an. Le capital obtenu au bout d’un an, C_{1}, est égal à la somme du capital initial C_{0} et des intérêts soit 0,03C_{0}. D’où :

C_{1} D C_{0} C 0,03C_{0} D 1,03C_{0} .

Plus généralement, le capital obtenu au bout de n C 1 années, C_{nC1}, est égal à la somme du capital obtenu au bout de n années C_{n} et des intérêts soit 0,03C_{n}.

Capitaux et intérêts composés — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 167 — #177

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{167} CORRIGÉS INTERROS COURS

D’où :

C_{nC1} D C_{n} C 0,03C_{n} D 1,03C_{n} .

On en déduit que la suite ▷C_{n}◁ est la suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme C_{0}. D’après le cours, on a alors, pour tout entier naturel n, C_{n} D ▷1,03◁^{n}C_{0}.

2 (a) Le capital C_{nC1} acquis au bout de la n^{e} année est donné en fonction du capital de l’année précédente C_{n} par la relation de récurrence : C_{nC1} D 1,03C_{n}, sachant que le capital vaut initialement C_{0} D A. L’algorithme suivant permet de calculer et d’afficher les montants des capitaux acquis les N premières années.

Algorithme

 C ← A
 Pour I de 1 à N
      C ← 1.03*C
 Fin Pour
 Afficher C

En Python

                      def cap(A,N):
                          C = A
                          for i in range(1,N+1):
                              C = 1.03*C
                          return C

(b) On peut utiliser l’algorithme précédent pour A D 150 et différentes valeurs de N jusqu’à trouver un entier N tel que le capital affiché ait doublé. On peut aussi modifier l’algorithme de la manière suivante :

Algorithme

 Tant que C<2A
      C ← 1.03*C

      I ← I+1

 Fin Tant que
 Afficher I

En Python

                      def cap2(A):
                          C = A
                          I = 0
                          while C<2*A:
                              C = 1.03*C
                              I = I+1
                          return I

Pour un capital de départ A D 150 euros, on trouve à l’aide de ce programme qu’il faut N D 24 années pour doubler ce capital.

(c) Pour un capital de départ A D 700 euros, on trouve de même à l’aide du programme précédent qu’il faut aussi N D 24 années pour doubler ce capital. On peut conjecturer que le nombre d’années nécessaires pour doubler le capital initial est indépendant du montant de ce capital.

(d) Plus généralement, pour un capital de départ A quelconque, le capital est doublé au bout de n années si et seulement si C_{n} ⩾ 2C_{0}

Les empilements — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 168 — #178

CORRIGÉS_{168}

soit :

▷1,03◁^{n}C_{0} ⩾ 2C_{0} .

On cherche donc le plus petit entier n tel que ▷1,03◁^{n} ⩾ 2. À l’aide de la calculatrice, on trouve :

▷1,03◁^{23} < 2 < ▷1,03◁^{24} .

Le capital est donc doublé au bout de 24 ans, indépendamment du capital initial.

19Un problème d’optique_{Lycée Jehan de Chelles, Chelles} {Énoncé \atop p. 148}

1 Comme le rayon lumineux perd 23 % de son intensité lumineuse en traversant la plaque de verre, son intensité I_{1} à sa sortie est égale à l’intensité de départ I_{0} moins 0,23I_{0}, soit 0,77I_{0}. On a donc :

I_{1} D 0,77I_{0} .

2 (a) En appliquant le raisonnement de la question précédente, l’intensité

I_{n} du rayon à sa sortie de la n^{e} plaque est égale à 0,77I_{n−1} .

(b) On en déduit que la suite ▷I_{n}◁ est une suite géométrique de raison 0,77. Son premier terme est I_{0}. En appliquant la formule du cours, on obtient, pour tout entier naturel n :

I_{n} D I_{0} × ▷0,77◁^{n} .

(c) La suite ▷I_{n}◁ est une suite à termes strictement positifs et , pour tout entier naturel n, I_{nC1} D 0,77I_{n}. On en déduit que I_{nC1} < I_{n} donc la suite ▷I_{n}◁ est strictement décroissante.

3 Après avoir traversé 4 plaques, l’intensité est I_{0} × ▷0,77◁^{4}. On cherche donc I_{0} tel que I_{0} × ▷0,77◁^{4} D 15. D’où :

I_{0} D \frac{15}{0,77^{4}} .

L’intensité initiale était environ 42,67. 4 Soit n le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé

pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante. Le nombre n cherché est le plus petit entier tel que :

I_{0} × ▷0,77◁^{n} ⩽ \frac{1}{4}I_{0} ,

soit :

▷0,77◁^{n} ⩽ 0,25 .

À l’aide de la calculatrice, on trouve :

▷0,77◁^{5} ⩾ 0,25 ⩾ ▷0,77◁^{6} .

On en déduit que le rayon doit avoir traversé au moins six plaques.

Les empilements — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 169 — #179

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{169} CORRIGÉS INTERROS COURS

20Les empilements_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-bois} {Énoncé \atop p. 149}

Partie A

1 c_{0} D 1 024, donc c_{1} D \frac{3}{4} × 1 024 D 768.

2 Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par 0,75, donc cette suite est géométrique, de premier terme 1 024 (en mm) et de raison 0,75.

3 On a donc d’après le cours c_{n} D 1 024 × 0,75^{n}.

4 Le dixième cube est le cube n^{∘} 9, puisqu’on commence la numérotation à 0.

c_{9} D 1 024 × 0,75^{9} D 1 024 × ( \frac{3}{4}) ^{9} ≈ 76,9 (en mm).

5 La hauteur formée par les 10 premiers cubes est :

c_{0} C c_{1} C ⋯C c_{9} D c_{0} C \frac{3}{4}c_{0} C ( \frac{3}{4}) ^{2} c_{0} C ⋯C ( \frac{3}{4}) ^{9} c_{0}

D c_{0} [ 1 C \frac{3}{4} C ( \frac{3}{4}) ^{2} C ⋯C ( \frac{3}{4}) ^{9}]

D c_{0} ( \frac{1 − ( \frac{3}{4}) ^{10}}{1 − \frac{3}{4}} )

D 4c_{0}▷1 − 0,75^{10}◁ ≈ 3 865 mm.

6 En remplaçant 9 par n − 1 dans le raisonnement ci-dessus, on obtient :

c_{0} C c_{1} C ⋯C c_{n−1} D c_{0} ( \frac{1 − ( \frac{3}{4}) ^{n}}{1 − \frac{3}{4}} )

D 4c_{0}(1 − 0,75^{n})
D 4 096(1 − 0,75^{n}).

7 Le facteur dans la parenthèse est toujours inférieur à 1, donc la tour ne pourra jamais dépasser 4 096 mm de hauteur.

Suite arithmético-géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 170 — #180

CORRIGÉS_{170}

8 À la calculatrice, on obtient le tableau suivant pour la hauteur, suivant le

nombre de cubes :

                       X    Y1
                       2   1792
                       3   2368
                       4   2800
                       5   3124
                       6   3367
                       7  3549.3
                       8  3685.9

Donc la hauteur dépassera 3 000 mm avec 5 cubes.

Partie B

1 (a) d_{1} D d_{0} C 4 D 14.

(b) ▷d_{n}◁ est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 10.

(c) On a donc d_{n} D d_{0} C n × 4 D 10 C 4n.

(d) Le dixième cube a pour côté d_{9}.

d_{9} D 10 C 4 × 9 D 46.

(e) La hauteur formée par l’empilement des dix premiers cubes est :

d_{0} C d_{1} C ⋯C d_{9} D d_{0} C d_{0} C 4 C d_{0} C 2 × 4 C ⋯C d_{0} C 9 × 4
D 10d_{0} C 4▷1 C 2 C ⋯C 9◁

D 100 C 4 × \frac{9 × 10}{2} d’après la formule du cours

D 280.

2 (a) v_{0} D 1 000 cm^{3} D 1 dm^{3} (ça ne fait pas de mal de réviser les conversions ...). v_{1} D 14^{3} D 2 744 (cm^{3}). v_{2} D 18^{3} D 5 832 (cm^{3}).

(b) La suite n’est pas arithmétique car v_{1} − v_{0} D̸ v_{2} − v_{1}.

(c) V_{1} D 10^{3} D 1 000.

V_{2} D 1 000 C 14^{3} D 3 744.

(d) V_{3} D 3 744 C 18^{3} D 9 576.

21Suite arithmético-géométrique_{Lycée Descartes, Antony} {Énoncé \atop p. 150}

1 On a :

\{ \begin{matrix}U_{0} & D 6 \\ U_{nC1} & D \frac{1}{2}U_{n} C 5. \end{matrix}

Suite arithmético-géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 171 — #181

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{171} CORRIGÉS INTERROS COURS

Pour calculer les quatre premiers termes, il suffit d’écrire :

U_{0} D 6I  U_{1} D \frac{1}{2} × 6 C 5 D 8I
U_{2} D \frac{1}{2} × 8 C 5 D 9I  U_{3} D \frac{1}{2} × 9 C 5 D \frac{19}{2}.

On peut remarquer que l’on a bien calculé les quatre premiers termes, puisque l’on avait déjà U_{0}!

2 Démontrons que ▷V_{n}◁ est bien une suite géométrique.

Nous avons :

V_{nC1} D U_{nC1} − 10 ,

soit :

V_{nC1} D \frac{1}{2}U_{n} C 5 − 10 D \frac{1}{2}U_{n} − 5 .

Or, nous avons :

U_{n} D V_{n} C 10.

Donc :

V_{nC1} D \frac{1}{2}▷V_{n} C 10◁ − 5 D \frac{1}{2}V_{n}, pour tout n ∈ ℕ .

Nous voyons donc bien que la suite ▷V_{n}◁ est une suite géométrique de

raison q D \frac{1}{2}.

Il reste à en calculer le premier terme. Nous avons :

V_{0} D U_{0} − 10 D −4 .

▷V_{n}◁ est donc la suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme −4.

Pour exprimer V_{n} en fonction de n, il suffit de revenir à la définition des suites géométriques :

V_{n} D q^{n}V_{0} D −\frac{4}{2^{n}}, soit : V_{n} D \frac{−1}{2^{n−2}} .

Or, nous avons :

U_{n} D V_{n} C 10 ,

donc :

U_{n} D \frac{−1}{2^{n−2}} C 10 .

3 Pour calculer la somme des premiers termes, utilisons les formules du cours.

Étude algorithmique d’une suite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 172 — #182 CORRIGÉS_{172}

▷V_{n}◁ étant une suite géométrique de raison différente de 1, nous avons :

S_{10} D V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10}

D V_{0} C qV_{0} C ⋯C q^{10}V_{10}

D V_{0}▷1 C q C q^{2} C ⋯C q^{10}◁

D V_{0} \frac{1 − q^{11}}{1 − q}

soit :

S_{10} D −4 ( \frac{1 − ( \frac{1}{2}) ^{11}}{1 − \frac{1}{2}} ) D −4 ( \frac{\frac{2^{11} − 1}{2^{11}}}{\frac{1}{2}} ) D −8 ( \frac{2^{11} − 1}{2^{11}} ) ,

soit :

S_{10} D −2^{3} ( \frac{2^{11} − 1}{2^{11}} ) D −\frac{1}{2^{8}}▷2^{11} − 1◁ .

Finalement :

S_{10} ≈ −7,996 .

Ayant U_{n} D V_{n} C 10, nous pouvons écrire :

S′_{10} D U_{0} C U_{1} C U_{2} C ⋯C U_{10}

donc :

S′_{10} D V_{0} C 10 C V_{1} C 10 C V_{2} C 10 C ⋯C V_{10} C 10 soit :

S′_{10} D S_{10} C 11 × 10 D S_{10} C 110

ou encore :

S′_{10} D 110 − \frac{1}{2^{8}}▷2^{11} − 1◁ .

Finalement :

S′_{10} ≈ 102,004 .

22Étude algorithmique d’une suite_{Lycée Odilon Redon, Pauillac} {Énoncé \atop p. 151}

1 L’algorithme suivant permet de calculer les termes U_{1} à U_{n}.

Algorithme

 u ← 6
 Pour I de 1 à N
      u ← u/3 + 2
      Afficher u
 Fin Pour

En Python

                       def u(n):
                           u = 6
                           for i in range(1,n+1):
                               u = u/3 + 2
                               print(u)

Étude algorithmique d’une suite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 173 — #183 SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{173} CORRIGÉS INTERROS COURS

Pour N D 5, le programme fournit l’affichage ci-contre. En utilisant cet algorithme pour N plus grand (N D 10, N D 20, N D 100, …), on peut conjecturer que u_{n} se rapproche de 3 quand n grandit; on écrit alors :

lim_{n→C∞} ▷u_{n}◁ D 3.

� ����������� ����������� ����������� �����������

2 Pour tout entier n,

v_{nC1} D u_{nC1} − 3

D \frac{1}{3}u_{n} C 2 − 3

D \frac{1}{3} ▷u_{n} − 3◁

D \frac{1}{3}v_{n}.

Ainsi, la suite ▷v_{n}◁ est géométrique de raison q D \frac{1}{3} et de premier terme v_{0} D u_{0} − 3 D 3. On en déduit que, pour tout entier n :

v_{n} D v_{0} × q^{n} D 3 ( \frac{1}{3}) ^{n} D 3 × \frac{1}{3^{n}} D \frac{1}{3^{n−1}} .

Ainsi,

u_{n} D v_{n} C 3 D \frac{1}{3^{n−1}} C 3.

Plus n est grand, plus 3^{n−1} est grand, donc plus \frac{1}{3^{n−1}} se rapproche de 0. Par conséquent, u_{n} tend vers 3, ce qui conforte la conjecture émise.

3

Algorithme

 S ← 6
 u ← 6
 Pour i allant de 1 à 10
      u ← u/3 + 2

      S ← S+u

 Fin Pour
 Afficher S

En Python

                             S = 6
                             U = 6
                             for i in range(1,11):
                                 U = U/3 + 2
                                 S = S + U
                             print(S)

On obtient S_{10} ≈ 37,5.

Accroissement d’une population — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 174 — #184

CORRIGÉS_{174}

23Une suite différente_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 151}

1 u_{1} D u_{0C1}

D \frac{0 C 2}{3▷0 C 1◁}u_{0} car u_{nC1} D \frac{n C 2}{3▷n C 1◁}u_{n} et on prend n D 0

D \frac{2}{3} × 1

D \frac{2}{3}.

2 Pour tout entier naturel n, u_{n} > 0 (admis dans l’énoncé) et :

\frac{u_{nC1}}{u_{n}} D \frac{n C 2}{3▷n C 1◁}D \frac{n C 2}{3n C 3} D \frac{n C 2}{▷n C 2◁ C ▷2n C 1◁}.

Or, pour tout entier naturel n,

▷n C 2◁ C ▷2n C 1◁ > n C 2  donc  \frac{u_{nC1}}{u_{n}} < 1.

On en déduit alors que ▷u_{n}◁ est strictement décroissante.

3 (a) \begin{aligned}v_{nC1} & D \frac{u_{nC1}}{▷n C 1◁ C 1} \\ & D \frac{1}{n C 2} × \frac{n C 2}{3▷n C 1◁}u_{n} \\ & D \frac{1}{3} × \frac{u_{n}}{n C 1} \\ & D \frac{1}{3}v_{n}. \end{aligned}

Ainsi, ▷v_{n}◁ est une suite géométrique de raison q D \frac{1}{3}, et de premier terme :

v_{0} D \frac{u_{0}}{0 C 1} D 1.

(b) Le terme général de ▷v_{n}◁ est, d’après la question précédente :

v_{n} D v_{0} × q^{n} D \frac{1}{3^{n}}.

Or, v_{n} D \frac{u_{n}}{n C 1} donc :

\frac{1}{3^{n}} D \frac{u_{n}}{n C 1} soit : u_{n} D \frac{n C 1}{3^{n}}.

24Accroissement d’une population_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 152}

1 (a) P_{0} D 75 000 ; P_{1} D 1,014 × 75 000 C 12 − 5 D 76 057 ; P_{2} D 1,014 × 76 057 C 7 D 77 128,798.

Accroissement d’une population — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 175 — #185

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{175} CORRIGÉS INTERROS COURS

(b) P_{1} − P_{0} D 1 057 ; P_{2} − P_{1} D 1 071,798. Ces différences ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique.

\frac{76 057}{75 000} ≈ 1,014 093 et \frac{77 128,798}{76 057} ≈ 1,014 092.

Ces quotients ne sont pas égaux, donc la suite n’est pas géométrique.

2 L’accroissement de la population étant de 14 pour mille, la population de l’année précédente est multipliée par 1,014. De plus, avec une arrivée de 12 milliers de personnes nouvelles et un départ de 5 milliers de personnes, on a un apport de 7 milliers de personnes. On a donc bien P_{nC1} D 1,014P_{n} C 7.

3 \begin{aligned}U_{nC1} & D P_{nC1} C 500 \\ & D 1,014P_{n} C 7 C 500 \\ & D 1,014 ( P_{n} C \frac{507}{1,014}) \\ & D 1,014▷P_{n} C 500◁ \\ & D 1,014U_{n}. \end{aligned}

Donc la suite U est bien géométrique.

Son premier terme est : U_{0} D P_{0} C 500 D 75 500, et sa raison est 1,014. 4 U_{n} D 75 500 × 1,014^{n}.

Comme P_{n} D U_{n} − 500, on a :

P_{n} D 75 500 × 1,014^{n} − 500.

5 (a) Il faut calculer P_{15} car 2025 D 2010 C 15.

P_{15} D 75 500 × 1,014^{15} − 500 ≈ 92 507,137

ce qui correspond à une population de 92 507 137 habitants.

(b)

Il faut calculer la valeur des termes successifs de la suite et voir en quelle année la population sera de 150 millions d’habitants, donc quand P_{n} dépassera 150 000 puisque P_{n} est exprimé en milliers d’habitants.

Voici ci-contre un extrait d’une table réalisée avec un tableur (mais on peut faire la même chose avec la calculatrice).

La population aura donc doublé en

\begin{matrix}2 051 & 133 006,714 \\ 2 052 & 134 875,808 \\ 2 053 & 136 771,069 \\ 2 054 & 138 692,864 \\ 2 055 & 140 641,564 \\ 2 056 & 142 617,546 \\ 2 057 & 144 621,192 \\ 2 058 & 146 652,889 \\ 2 059 & 148 713,029 \\ 2 060 & 150 802,011 \end{matrix}

Suite arithmético-géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 176 — #186

CORRIGÉS_{176}

25Suites imbriquées_{Lycée Danielou, Rueil-Malmaison} {Énoncé \atop p. 152}

1 On peut directement calculer les premières valeurs :

\{ \begin{matrix}U_{1} & D 3U_{0} C 2V_{0} D 3 C 4 D 7 \\ V_{1} & D 2U_{0} C 3V_{0} D 2 C 6 D 8 \end{matrix}

De même, on a :

\{ \begin{matrix}U_{2} & D 3U_{1} C 2V_{1} D 21 C 16 D 37 \\ V_{2} & D 2U_{1} C 3V_{1} D 14 C 24 D 38 \end{matrix}

et

\{ \begin{matrix}U_{3} & D 3U_{2} C 2V_{2} D 111 C 76 D 187 \\ V_{3} & D 2U_{2} C 3V_{2} D 74 C 114 D 188. \end{matrix}

2 Étudions les suites ▷X_{n}◁ et ▷Y_{n}◁ :

X_{nC1} D U_{nC1} C V_{nC1}

D 3U_{n} C 2V_{n} C 2U_{n} C 3V_{n}

D 5▷U_{n} C V_{n}◁ .

On obtient alors, pour tout n ∈ ℕ :

X_{nC1} D 5X_{n} .

La suite ▷X_{n}◁ est la suite géométrique de raison 5 et de premier terme :

X_{0} D U_{0} C V_{0} D 3 .

De même, on a :

Y_{nC1}D U_{nC1} − V_{nC1}
D 3U_{n} C 2V_{n} − 2U_{n} − 3V_{n}
D U_{n} − V_{n} .

On obtient alors, pour tout n ∈ ℕ :

Y_{nC1} D Y_{n} .

▷Y_{n}◁ est une suite constante égale à Y_{0} D 1 − 2 D −1. Pour en déduire U_{n} et V_{n}, il suffit d’écrire :

X_{n} C Y_{n} D 2U_{n} et X_{n} − Y_{n} D 2V_{n} .

On a alors, par définition des suites géométriques :

X_{n} D 3 × 5^{n}

et on a :

\{ \begin{matrix}U_{n} & D \frac{X_{n} C Y_{n}}{2} D \frac{3 × 5^{n} − 1}{2} \\ V_{n} & D \frac{X_{n} − Y_{n}}{2} D \frac{3 × 5^{n} C 1}{2} \end{matrix}

Suite arithmético-géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 177 — #187

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{177} CORRIGÉS INTERROS COURS

26Suite arithmético-géométrique_{Lycée Claude Monet, Paris} {Énoncé \atop p. 153}
1 \begin{matrix}U_{1} & D \frac{1}{2}U_{0} − \frac{3}{2} D \frac{1}{2} − \frac{3}{2} D −1. \\ U_{2} & D \frac{1}{2}U_{1} − \frac{3}{2} D −\frac{1}{2} − \frac{3}{2} D −2. \end{matrix}

2 Pour tout n ∈ ℕ, on a :

V_{nC1} D U_{nC1} C 3D \frac{1}{2}U_{n} − \frac{3}{2} C 3

D \frac{1}{2}U_{n} C \frac{3}{2}

D \frac{1}{2}▷U_{n} C 3◁

D \frac{1}{2}V_{n} .

Cette relation prouve que la suite ▷V_{n}◁_{n∈ℕ} est géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme :

V_{0} D U_{0} C 3 D 4 .

3 D’après le cours, on a : V_{n} D 4 × ( \frac{1}{2}) ^{n}, soit V_{n} D \frac{1}{2^{n−2}} .

Comme U_{n} D V_{n} − 3, on a alors : U_{n} D \frac{1}{2^{n−2}} − 3 .

4 La suite ▷V_{n}◁_{n∈ℕ} est géométrique de raison \frac{1}{2}. Comme, pour tout n ∈ ℕ,

on a :

V_{n} D \frac{1}{2^{n−2}}

donc V_{n} > 0 et :

\frac{V_{nC1}}{V_{n}} D \frac{1}{2}

soit :

\frac{V_{nC1}}{V_{n}} < 1

ce qui prouve que la suite ▷V_{n}◁_{n∈ℕ} est strictement décroissante. De plus, puisque V_{nC1} < V_{n} pour tout n, on a également :

V_{nC1} − 3 < V_{n} − 3, pour tout n

c’est-à-dire :

U_{nC1} < U_{n}, pour tout n .

La suite ▷U_{n}◁_{n∈ℕ} est donc strictement décroissante.

Afficher les premiers termes — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 178 — #188 CORRIGÉS_{178} 5 \begin{aligned}S & D U_{0} C U_{1} C ⋯C U_{10} \\ & D ▷V_{0} − 3◁ C ▷V_{1} − 3◁ C ⋯C ▷V_{10} − 3◁ \\ & D V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10} − 11 × 3 \\ & D V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10} − 33. \end{aligned}

Or, on a :

V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10} D V_{0} [ 1 C \frac{1}{2} C ⋯C ( \frac{1}{2}) ^{10}] .

Donc :

V_{0} C V_{1} C ⋯C V_{10}D V_{0} × \frac{1 − ( \frac{1}{2}) ^{11}}{1 − \frac{1}{2}}

D 4 × \frac{1 − ( \frac{1}{2}) ^{11}}{\frac{1}{2}}

D 8 ( 1 − ( \frac{1}{2}) ^{11}) .

Ainsi :

S D 8 ( 1 − ( \frac{1}{2}) ^{11}) − 33

D 8 − 8 × ( \frac{1}{2}) ^{11} − 33

D −2^{3} × ( \frac{1}{2}) ^{11} − 25 D − ( \frac{1}{2}) ^{8} − 25.

27

Afficher les premiers termes

{Énoncé \atop p. 153}

1  Algorithme

Initialisation:
L est une liste
L ← [5] (1^{er}  terme de la suite)
Traitement:
Pour n allant de 1 à 20:
        u ← 0.8*u+7
        On ajoute à L la valeur u
Fin du Pour
Sortie:
Afficher L

Afficher les premiers termes — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 179 — #189

SUITES NUMÉRIQUES CHAP. 5_{179} CORRIGÉS INTERROS COURS

2  En Python

L = [5] # liste contituée d'un unique item
u = 5 # 1er terme
# range(a,b) : les entiers de a à b-1
for n in range(1,21):
    u = 0.8*u+7
    L.append(u) # on ajoute à L la valeur obtenue
print(L) # on affiche la liste

3 Pour afficher le premier indice n pour lequel u_{n} > 34,99, on utilise une boucle « Tant que ».

Algorithme

u ← 5
n ← 0
Tant que u ⩽ 34.99:
  u ← 0.8*u+7
  n ← n+1
Fin du Tant que
Afficher n

À RETENIR

La condition qui vient après « Tant que » est toujours le contraire de la condition à remplir. Ici, on veut que u_{n} > 34,99 et le contraire de cette condition est « u_{n} ⩽ 34,99 ».

Programme Python

u = 5
n = 0
while (u<=34.99):
    u = 0.8*u+7
    n += 1
print(n)

Il affiche ici la valeur 36, ce qui signifie que u_{35} ⩽ 34,99 et que u_{36} > 34,99.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 5 page 180 — #190 CORRIGÉS_{180}

28

Suite de Fibonacci

{Énoncé \atop p. 153}

1  Algorithme

    Initialisation:
      F est une liste
      F ← [1,1] (les deux premiers termes de la suite)
    Traitement:
      Pour n allant de 2 à 100:
        F ← F[n-2] + F[n-1]
        Afficher F[n-1]/F[n-2]
      Fin du Pour

2  En Python

    F = [1,1]
    for n in range(2,100):
        F.append(F[n-2]+F[n-1])
        print(F[n-1]/F[n-2])

ANECDOTE

Si on fait tourner le programme ci-dessus, on voit que les quotients affichés sont, à partir d’un certain rang, tous égaux à 1.618033988749895.

������������������ ������������������ ����������������� �����������������

Bien entendu, cette valeur n’est qu’une valeur approchée de la limite des

quotients \frac{F_{nC1}}{F_{n}}. Cette limite est appelée le nombre d’or.

C’est une valeur que l’on retrouve ailleurs (par exemple, le nombre d’or est une des solutions de l’équation x^{2} − x − 1 D 0).

Fonctions trigonométriques

Plan du chapitre

1. Cercle trigonométrique et radian

2. Sinus et cosinus d’un nombre réel

3. Fonctions trigonométriques

1 Cercle trigonométrique et radian

On munit le plan d’un repère orthonormal direct ▷OI \overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}◁. Les questions suivantes sont indépendantes. 1 Placer sur le cercle trigonométrique les points M et N tels que :

▷\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}◁ D \frac{5π}{6} et ▷\overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON}◁ D −\frac{7π}{4} .

2 Soit x ∈ [ \frac{π}{2} I π]. Calculer cosx sachant que sinx D \frac{\sqrt{17}}{7}.

Exercice type 1

Lycée Champollion, Grenoble

Voir corrigé page 183

1.1 Le cercle trigonométrique

Définition 1

Dans un repère orthonormal ▷OI \overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}◁, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct (celui qui est contraire au sens des aiguilles d’une montre).

1.2 Radian

Le degré est l’unité d’angle couramment utilisée dans les sciences appliquées. Par contre, certaines notions mathématiques sont plus facilement exprimées à l’aide d’une autre unité de mesure des angles : le radian.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 182 — #192 COURS_{182}

Définition 2

On considère le cercle C de centre O et de rayon 1. Le radian est défini comme étant la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur C un arc de longueur 1.

Propriété 1

Dans un cercle de rayon 1, la mesure en radian d’un angle au centre est égal à la longueur de l’arc qu’il intercepte.

Remarque : pour un angle inscrit dans un cercle de rayon R, la longueur de l’arc intercepté est égale à la mesure en radian de l’angle multipliée par R.

1.3 Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique

Propriété 2

Un point M du cercle trigonométrique est repéré par un réel α exprimant la longueur de l’arc de cercle IM si M est situé sur le demi-cercle supérieur et l’opposé de cette longueur si M est situé sur le demi-cercle inférieur. Puisque la longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π, les réels α et α C k × 2π, avec k entier, repèrent le même point du cercle trigonométrique. |α| est donc une mesure en radians de l’angle géométrique { \atop IOM}.

IM D α cm.

2 Sinus et cosinus d’un nombre réel

2.1 Définition

Définition 3

Soit x un nombre réel et M son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de x est égal à l’abscisse du point M. Le sinus de x est égal à l’ordonnée du point M.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 183 — #193 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{183} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.2 Égalité trigonométrique fondamentale et transformations

Propriété 3 : égalité fondamentale de trigonométrie

Pour tout nombre réel x,

(cosx)^{2} C (sinx)^{2} D 1.

Propriété 4 : formules de transformations

Pour tout réel x,

sin▷π − x◁ D sin▷x◁  et  cos▷π − x◁ D − cos▷x◁.

2.3 Valeurs remarquables

α en rad 0 \frac{π}{6}  \frac{π}{4}  \frac{π}{3} \frac{π}{2} π
cosα 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}  0 −1
sinα  0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 0

1 Pour M : \frac{5π}{6} D π − \frac{π}{6} .

Donc sin( \frac{5π}{6} ) D sin \frac{π}{6} D \frac{1}{2}.

Pour N : −\frac{7π}{4} C 2π D \frac{π}{4} (sur la 1^{re} bissectrice)

2 On a :

cos^{2} x C sin^{2} x D 1 et sin^{2} x D \frac{17}{49}

Donc :

cos^{2} x D 1 − \frac{17}{49} D \frac{32}{49}.

De plus, x ∈ [ \frac{π}{2} I π] donc cosx ⩽ 0. Par suite :

cosx D −\sqrt{\frac{32}{49}} D −\frac{4\sqrt{2}}{7}.

Solution de l’exercice type 1

Lycée Champollion, Grenoble Voir énoncé page 181

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 184 — #194 COURS_{184}

3 Fonctions trigonométriques

Soit f la fonction définie par :

f ▷x◁ D cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁.

1 Étudier la parité de f. 2 Montrer que f est 2π-périodique.

Exercice type 2

Lycée François Mauriac, Bordeaux

Voir corrigé page 186

3.1 Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Propriétés 5

La fonction sinus est dérivable sur ℝ et pour tout nombre réel x, sin′x D cosx. La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et pour tout nombre réel x, cos′x D − sinx.

3.2 Étude de la fonction sinus

On a sin′x D cosx. Or, sur I D T0 I πU, cosx > 0 si x < \frac{π}{2} , cosx D 0 si x D \frac{π}{2} et cosx < 0 si x > \frac{π}{2} . D’où le tableau de variation sur T0 I πU :

x 0  \frac{π}{2}  π
sin′  C 0 −

1

sin ↗ ↘
0  0

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 185 — #195 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{185} CORRIGÉS INTERROS COURS

La courbe représentative sur T0 I πU, avec sa tangente à l’origine de x ↦ sinx est :

Propriété 6

La fonction x ↦ sinx est impaire. Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.

De plus, elle est 2π-périodique, donc sa représentation graphique est invariante par toute translation de vecteur 2kπE ı, k ∈ ℤ.

3.3 Étude de la fonction cosinus

Pour tout nombre réel x, cos′x D − sinx. Or, sinx ⩾ 0 sur T0 I πU, donc la fonction cosinus est décroissante sur T0 I πU.

x 0  π
cos′ 0 −  0

1

cos  ↘
−1

Propriété 7

La fonction x ↦ cosx est paire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété 8

La fonction x ↦ cosx est 2π-périodique, donc sa représentation graphique est invariante par toute translation de vecteur 2kπE ı, k ∈ ℤ.

1 f ▷−x◁ D cos▷−x◁ C ▷sin▷−x◁◁^{2}

D cos▷x◁ C ▷− sin▷x◁◁^{2}
D cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁
D f ▷x◁.

Ainsi, f est paire.

…

Solution de l’exercice type 2

Lycée François Mauriac, Bordeaux

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 187 — #197 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{187} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 f ▷x C 2π◁ D cos▷x C 2π◁ C [sin▷x C 2π◁]^{2}

D cos▷x◁ C [sin▷x◁]^{2}
D f ▷x◁.

Ainsi, f est 2π-périodique.

Solution de l’exercice type 2 (suite)

Lycée François Mauriac, Bordeaux Voir énoncé page 184

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 188 — #198 INTERROS_{188}
1_{QCM} Relations entre sin et cos Corrigé p. 195 15 min

Pour chaque question, donner la bonne réponse. 1 Pour tout x de U0 I πT, on a :

a \frac{1 − cosx}{sinx} D \frac{1 C cosx}{sinx}  b \frac{1 − cosx}{sinx} D \frac{sinx}{1 − cosx}
c \frac{1 − cosx}{sinx} D \frac{sinx}{1 C cosx}  d \frac{1 − cosx}{sinx} D \frac{sinx}{cosx − 1}

2 Si α ∈ [ \frac{π}{2} I π] et si sinα D \frac{1}{2} alors cosα est égal à :

a \frac{1}{2}  b \frac{\sqrt{3}}{2}  c −\frac{\sqrt{3}}{2}

Dans les questions suivantes, x est un réel de l’intervalle ]−\frac{π}{2} I \frac{π}{2} ] .

3 cos^{2} \frac{x}{3} C sin^{2} \frac{x}{3} D

a \frac{1}{3}  b \frac{1}{9}  c 1

4 On sait que sinx D \frac{\sqrt{2} − \sqrt{6}}{4} . Alors, cosx est égal à :

\begin{matrix}a \frac{\sqrt{6} − \sqrt{2}}{4} & b \frac{\sqrt{6} C \sqrt{2}}{4} \\ c \frac{\sqrt{2} − \sqrt{6}}{4} & d \frac{−\sqrt{2} − \sqrt{6}}{4} \end{matrix}

5 On sait que le réel x de la question précédente prend une des valeurs suivantes. Laquelle?

\begin{matrix}a \frac{π}{12} & b \frac{5π}{12} \\ c −\frac{π}{12} & d −\frac{5π}{12} \end{matrix}

6 (cosx C sinx)(cosx − sinx) D

a 1  b 1 − 2 sin^{2}▷x◁
c 1 C 2 sin^{2}▷x◁  d cos^{2}▷x◁ − 1

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 189 — #199 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{189} CORRIGÉS INTERROS COURS
2_{QCM} Propriétés des fonctions trigonométriques Corrigé p. 195 15 min

Pour chaque question, une seule réponse est juste. Choisir la bonne réponse. 1 Une période de la fonction f V x ↦ cos▷3x◁ est :

a \frac{2π}{3} b 3π c \frac{3π}{2}

2 La fonction k V x ↦ cos(x C \frac{π}{4} ) est :

a paire  b impaire  c ni l’une ni l’autre

3 La fonction g V x ↦ sin3x est :

a paire  b impaire  c ni l’une ni l’autre

4 Une période de la fonction h V x ↦ sin( \frac{x C π}{4} ) est :

a 2π  b \frac{π}{2}  c 8π

Cercle trigonométrique et radian

3Conversions de degrés à radians_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 196 ; 5 min ; ⋆

Convertir en radians les angles suivants (exprimés en degrés).

{1 15^{∘} \atop 2 72^{∘}}  {3 135^{∘} \atop 4 720^{∘}}

4Conversions de radians à degrés_{Lycée Montaigne, Bordeaux} Corrigé ; p. 197 ; 5 min ; ⋆

Convertir les angles suivants en degrés.

{1 \frac{7π}{3} rad. \atop 2 \frac{13π}{18} rad.}  {3 \frac{9π}{5} rad. \atop 4 \frac{π}{36} rad.}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 190 — #200 INTERROS_{190}
5Placement de points_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 197 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants aux angles suivants, exprimés en radians.

1 \frac{25π}{3}  ^{2} \frac{13π}{2}  ^{3} \frac{19π}{6}  4 121π

6Pentagone régulier_{Lycée François Mauriac, Bordeaux} Corrigé ; p. 198 ; 10 min ; ⋆

Le pentagone régulier ci-dessous est inscrit dans le cercle trigonométrique.

Déterminer l’angle en radian de chacun de ses sommets.

Sinus et cosinus

7Identité trigonométrique_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 198 ; 5 min ; ⋆

Montrer que pour tout réel x :

▷cosx C sinx◁^{2} C ▷cosx − sinx◁^{2} D 2.

8Détermination d’un sinus_{Lycée Lamartine, Paris} Corrigé ; p. 199 ; 10 min ; ⋆

Un angle x est tel que x ∈ U − πI 0U et cosx D \frac{1 C \sqrt{5}}{4}.

Déterminer une valeur exacte de sinx.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 191 — #201 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{191} CORRIGÉS INTERROS COURS
9Une équation trigonométrique_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} Corrigé ; p. 199 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Calculer sinx et cosx sachant que l’on a :

3 sinx C 4 cosx D 5.

Indication : on pourra utiliser la relation cos^{2} x C sin^{2} x D 1.

10Calcul avec les angles associés_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} Corrigé ; p. 200 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Calculer les expressions suivantes en utilisant les angles associés :

1 cos \frac{2π}{3} C sin \frac{π}{6}

2 sin \frac{3π}{4} C sin \frac{5π}{4}

3 1 C sin^{2} \frac{π}{4} C cos^{2} \frac{3π}{4}

11Équation_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 200 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

1 Résoudre dans U − πI πU l’équation : 2 cos^{2} x C cosx − 1 D 0. 2 Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

12Pêle-mêle_{Lycée Blomet, Paris} Corrigé ; p. 201 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

1 Déterminer la valeur exacte de chacun des nombres suivants :

(a) cos \frac{5π}{3}
(b) sin \frac{7π}{6}
(c) sin \frac{113π}{3}
(d) cos( −\frac{37π}{4} )

2 Simplifier S D sin \frac{π}{8} − sin \frac{7π}{8} C sin \frac{5π}{8} − sin \frac{3π}{8} . 3 Sachant que π < x < \frac{3π}{2} et que sinx D −\frac{\sqrt{2}}{2}, déterminer la valeur de

cosx.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 192 — #202 INTERROS_{192}
13En utilisant le carré_{Lycée Honoré de Balzac, Paris} Corrigé ; p. 202 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On veut résoudre l’équation (E) : \sqrt{3}cosx D sinx dans T0 I 2πT. 1 Démontrer que si x est solution de l’équation (E), alors x est aussi solu-

tion de l’équation cos^{2} x D \frac{1}{4}.

2 Résoudre l’équation cos^{2} x D \frac{1}{4} dans T0 I 2πT.

3 Expliquer pourquoi cosx et sinx doivent avoir le même signe. 4 En déduire les solutions de l’équation (E).

14Une somme_{Lycée Daguin, Mérignac} Corrigé ; p. 202 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On pose :

S D ∑_{kD0}^{19}sin^{k} \frac{π}{4} D 1 C sin \frac{π}{4} C sin^{2} \frac{π}{4} C ⋯C sin^{19} \frac{π}{4} .

Donner la valeur exacte de S sous forme fractionnaire, où le dénominateur est entier.

15Une autre somme_{Lycée Lakanal, Seaux} Corrigé ; p. 203 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Calculer la somme :

S D ∑_{kD0}^{2 023}cos( \frac{kπ}{3} ) .

Fonctions trigonométriques

16Coordonnées de points_{Lycée Montaigne, Bordeaux} Corrigé ; p. 204 ; 5 min ; ⋆

On considère la représentation de la fonction sinus suivante :

Donner les abscisses des points A et B.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 193 — #203 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{193} CORRIGÉS INTERROS COURS
17Périodicité_{Lycée Hoche, Versailles} Corrigé ; p. 204 ; 5 min ; ⋆

On considère la fonction f définie sur ℝ par : f ▷x◁ D 1 C sinx − \frac{1}{2} cos▷2x◁.

Prouver que f est périodique sur ℝ.

18Parité et périodicité_{Lycée François Mauriac, Bordeaux} Corrigé ; p. 204 ; 10 min ; ⋆

On définit la fonction f sur ℝ par :

f ▷x◁ D cos▷4x◁ sin^{2}▷4x◁.

1 Montrer que f est paire. Interpréter graphiquement.

2 Montrer que f est \frac{π}{2} –périodique.

19Parité et périodicité_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret} Corrigé ; p. 205 ; 15 min ; ⋆

Étudier la parité des fonctions suivantes et montrer qu’elles sont T -périodiques, où T est donné pour chacune d’elles.

1 f ▷x◁ D 2 sin▷8x◁, définie sur ℝ. T D \frac{π}{4} .

2 g▷x◁ D sin▷2x◁ C cos▷2x◁, définie sur ℝ. T D π

20Étude minimale d’une fonction_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} Corrigé ; p. 206 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D 1 C cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁.

Sa courbe représentative est notée C dans le repère orthonormé ▷OIE i, E j◁. 1 Étudier la parité de f.

Que peut-on en déduire pour C? 2 Montrer que f est 2π-périodique.

Que peut-on en déduire pour C? 3 Justifier que f ▷x◁ D − cos^{2}▷x◁ C cos▷x◁ C 2.

4 Résoudre l’équation f ▷x◁ D 0 sur U − πI πU.

5 Montrer que pour tout réel x, f ▷x◁ ⩾ 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 194 — #204 INTERROS_{194}
21Étude complète d’une fonction_{Lycée Blomet, Paris} Corrigé ; p. 207 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f ▷x◁ D \frac{cosx}{3 C sin^{2} x} .

Sa courbe représentative est notée C dans le repère orthonormé ▷OIE i, E j◁. 1 (a) Étudier la parité et la périodicité de f.

(b) En déduire le plus petit intervalle I possible pour étudier f.

Expliquer. 2 On admet que f est dérivable sur ℝ et que sa dérivée vaut :

f′▷x◁ D \frac{sinx▷sin^{2} x − 5◁}{(3 C sin^{2} x)^{2}}.

(a) Étudier le signe de f′▷x◁ sur I.

(b) En déduire le sens de variation de f sur I et dresser le tableau de variation de f sur I.

Propriétés des fonctions trigonométriques — v. 1.0_{27 mai 2025 — Chapitre 6 page 195 — #205} FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{195} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{QCM} Relations entre sin et cos {Énoncé \atop p. 188}

1 Réponse c . En calculant les produits en croix, on obtient en effet pour

la réponse c l’égalité 1 − cos^{2} x D sin^{2} x. 2 Réponse c . Si α ∈ [ \frac{π}{2} I π], alors cosα ⩽ 0.

Donc cosα D −\sqrt{1 − sin^{2} α} D −\frac{\sqrt{3}}{2}.

3 Réponse c . C’est le cours! 4 Réponse b . Comme x appartient à ]−\frac{π}{2} I \frac{π}{2} ] , on sait que cosx ⩾ 0,

ce qui élimine les réponses c et d . D’autre part, dans cet intervalle, cosx D − sinx uniquement pour sinx D −\frac{\sqrt{2}}{2}, ce qui n’est pas le cas ici. Donc la réponse a ne convient pas non plus. Il ne reste donc plus que la réponse b .

5 Réponse c . Le sinus est négatif, le cosinus positif, donc x appartient à ]−\frac{π}{2} I 0] . D’autre part, le cosinus est supérieur à \frac{\sqrt{2}}{2}, donc x est

compris entre −\frac{π}{4} et 0. On trouve donc que x D −\frac{π}{12}.

6 Réponse b . En effet,

(cosx C sinx)(cosx − sinx) D cos^{2}▷x◁ − sin^{2}▷x◁
D (1 − sin^{2}▷x◁) − sin^{2}▷x◁
D 1 − 2 sin^{2}▷x◁.
2_{QCM} Propriétés des fonctions trigonométriques {Énoncé \atop p. 189}

1 Réponse a . En effet, pour tout x réel,

f ( x C \frac{2π}{3} ) D cos[3 ( x C \frac{2π}{3} ) ] D cos▷3x C 2π◁ D cos3x.

2 Réponse c . En effet, k▷−x◁ D cos(−x C \frac{π}{4} ) , donc k▷−x◁ D̸ k▷x◁ (ce qui signifie que k n’est pas paire), et k▷−x◁ D̸ −k▷x◁ (ce qui signifie que k n’est pas non plus impaire).

3 Réponse b . En effet, pour tout réel x,

g▷−x◁ D sin▷3▷−x◁◁ D sin▷−3x◁ D −3 sinx D −g▷x◁. Donc g est impaire.

Conversions de degrés à radians — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 196 — #206

CORRIGÉS_{196}

4 Réponse c . En effet, pour tout réel x,

h▷x C 8π◁D sin( \frac{x C 8π C π}{4} )

D sin( \frac{x C π}{4} C \frac{8π}{4} )

D sin( \frac{x C π}{4} C 2π)

D sin( \frac{x C π}{4} )

D h▷x◁.

Remarque : pour les questions 1 et 4, on a trouvé une période, mais on n’a pas montré que c’était la plus petite.

3Conversions de degrés à radians_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 189}

MÉTHODE

Pour les conversions degrés ⟷ radians, on peut utiliser la relation :

\frac{π}{180} × angle en degrés D angle en radians.

1 15^{∘}.

\frac{π}{180} × 15 D \frac{π}{12} rad.

2 72^{∘}.

\frac{π}{180} × 72 D \frac{2π}{5} rad.

3 135^{∘}.

\frac{π}{180} × 135 D \frac{3π}{4} rad.

4 720^{∘}.

\frac{π}{180} × 720 D 4π rad.

Placement de points — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 197 — #207

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{197} CORRIGÉS INTERROS COURS

4Conversions de radians à degrés_{Lycée Montaigne, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 189}

1 \frac{7π}{3} rad D \frac{7π}{3} × \frac{180}{π} deg D 420^{∘}.

2 \frac{13π}{18} rad D \frac{13π}{18} × \frac{180}{π} deg D 130^{∘}.

3 \frac{9π}{5} rad D \frac{9π}{5} × \frac{180}{π} deg D 324^{∘}.

4 \frac{π}{36} rad D \frac{π}{36} × \frac{180}{π} deg D 5^{∘}.

5Placement de points_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 190}

1 \frac{25π}{3} D \frac{24π}{3} C \frac{1π}{3} D 8π C \frac{π}{3} .

Ainsi, le point A correspondant à l’angle \frac{25π}{3} se trouve au même endroit que le point correspondant à \frac{π}{3} (car 8π correspond à quatre tours complets sur le cercle trigonométriques).

2 \frac{13π}{2} D \frac{12π}{2} C \frac{π}{2} D 6π C \frac{π}{2} .

Ainsi, le point B correspondant à l’angle \frac{13π}{2} se trouve au même endroit que le point correspondant à \frac{π}{2} (car 6π correspond à trois tours complets sur le cercle trigonométriques).

3 \frac{19π}{6} D \frac{18π}{6} C \frac{1π}{6} D 3π C \frac{π}{6} D 2π C (π C \frac{π}{6} ) .

Ainsi, le point C correspondant à l’angle \frac{19π}{6} se trouve au même endroit que le point correspondant à πC \frac{π}{6} (car 2π correspond à un tour complet sur le cercle trigonométriques).

4 121π D 120π C π.

Ainsi, le point D correspondant à l’angle 121π se trouve au même endroit que le point correspondant à π (car 120π correspond à 60 tours complets sur le cercle trigonométriques).

Nous avons placés les points A, B, C et D sur un même cercle trigonométrique page suivante.

Détermination d’un sinus — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 198 — #208 CORRIGÉS_{198}

6Pentagone régulier_{Lycée François Mauriac, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 190}

Commençons par le point F : c’est le plus simple. Il est en effet associé au nombre 0 car l’angle que forme \overrightarrow{OF} avec E i(vecteur unitaire de l’axe des abscisses) est nul. Le pentagone est régulier et possède 5 sommets. Par conséquent, l’angle (\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OA}) D \frac{2π}{5} . En effet, on divise l’angle plein (360^{∘}, donc 2π radians), en 5. Le nombre associé à A est donc \frac{2π}{5} .

De manière analogue, en ajoutant \frac{2π}{5} pour passer d’un point à un autre, on obtient que :

→ B est associé au nombre \frac{4π}{5} ;

→ C est associé au nombre \frac{6π}{5} ;

→ D est associé au nombre \frac{8π}{5} .

7Identité trigonométrique_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 190}

Il suffit de développer :

▷cosx C sinx◁^{2} C ▷cosx − sinx◁^{2}D cos^{2} x C 2 cosx × sinx C sin^{2} x
C cos^{2} x − 2 cosx × sinx C sin^{2} x
D 2▷cos^{2} x C sin^{2} x◁
D 2 car cos^{2} x C sin^{2} x D 1.

Calcul avec les angles associés — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 199 — #209

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{199} CORRIGÉS INTERROS COURS

8Détermination d’un sinus_{Lycée Lamartine, Paris} {Énoncé \atop p. 190}

On sait que x ∈ U − πI 0U. De plus,

cos^{2} x C sin^{2} x D 1 ⟺ sin^{2} x D 1 − ( \frac{1 C \sqrt{5}}{4}) ^{2}

⟺ sin^{2} x D 1 − \frac{1 C 2\sqrt{5} C 5}{16}

⟺ sin^{2} x D \frac{16 − 6 − 2\sqrt{5}}{16}

⟺ sin^{2} x D \frac{10 − 2\sqrt{5}}{16}

⟺ sinx D −\sqrt{\frac{10 − 2\sqrt{5}}{16}}

(car x ∈ U − πI 0U ⟺ sinx ⩽ 0)

⟺ sinx D −\frac{\sqrt{10 − 2\sqrt{5}}}{4} .

9Une équation trigonométrique_{Lycée Louis-le-Grand, Paris} {Énoncé \atop p. 191}

3 sinx C 4 cosx D 5 ⟺ sinx D \frac{5 − 4 cosx}{3} .

Utilisons ce résultat dans l’expression cos^{2} x C sin^{2} x D 1. Comme cos^{2} x C sin^{2} x D 1, alors :

cos^{2} x C \frac{▷5 − 4 cosx◁^{2}}{9} D 1

soit 9 cos^{2} x C 25 − 40 cosx C 16 cos^{2} x D 9
soit 25 cos^{2} x − 40 cosx C 16 D 0
soit ▷5 cosx − 4◁^{2} D 0
d’où : cosx D \frac{4}{5}.

Par suite :

sinx D \frac{5 − 4 × \frac{4}{5}}{3} D \frac{5 − \frac{16}{5}}{3} D \frac{9}{15} D \frac{3}{5}.

Équation — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 200 — #210 CORRIGÉS_{200}
10Calcul avec les angles associés_{Lycée Alphonse Daudet, Nîmes} {Énoncé \atop p. 191}

1 cos \frac{2π}{3} C sin \frac{π}{6} D − cos \frac{π}{3} C sin \frac{π}{6}

D −\frac{1}{2} C \frac{1}{2}

D 0.

2 sin \frac{3π}{4} C sin \frac{5π}{4} D sin \frac{π}{4} C sin( −\frac{3π}{4} )

D sin \frac{π}{4} − sin \frac{π}{4}

D 0.

3 1 C sin^{2} \frac{π}{4} C cos^{2} \frac{3π}{4} D 1 C sin^{2} \frac{π}{4} C (− cos \frac{π}{4} ) ^{2}

D 1 C \underbrace{sin^{2} \frac{π}{4} C cos^{2} \frac{π}{4}}_{D1}

D 2.

11Équation_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 191}

1 On pose X D cosx et on résout l’équation du second degré en X : 2X^{2} C X − 1 D 0. Le discriminant de l’équation vaut 9, et on trouve deux solutions :

X_{1} D \frac{1}{2}  et  X_{2} D −1.

L’équation en x équivaut donc à :

cosx D −1 ⟺ x D π

ou

cosx D \frac{1}{2} ⟺ x D −\frac{π}{3} ou x D \frac{π}{3} .

2 Les solutions correspondent aux points A, B et C représentés cicontre.

En utilisant le carré — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 201 — #211 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{201} CORRIGÉS INTERROS COURS
12Pêle-mêle_{Lycée Blomet, Paris} {Énoncé \atop p. 191}

1 (a) cos \frac{5π}{3} D cos( \frac{6π}{3} − \frac{π}{3} ) D cos(2π − \frac{π}{3} ) D cos \frac{π}{3} D \frac{1}{2}.

(b) sin \frac{7π}{6} D sin( \frac{6π}{6} C \frac{π}{6} ) D sin(π C \frac{π}{6} ) D − sin \frac{π}{6} D −\frac{1}{2}.

(c) sin \frac{113π}{3} D sin( \frac{114π}{3} − \frac{π}{3} ) D sin(38π − \frac{π}{3} )

D sin(19 × 2π − \frac{π}{3} ) D − sin \frac{π}{3} D −\frac{\sqrt{3}}{2}.

(d) cos( −\frac{37π}{4} ) D cos( −\frac{40π}{4} C \frac{3π}{4} ) D cos( −10π C \frac{3π}{4} )

D cos( \frac{3π}{4} ) D −\frac{\sqrt{2}}{2}.

2 S D sin \frac{π}{8} − sin \frac{7π}{8} C sin \frac{5π}{8} − sin \frac{3π}{8}

D [sin \frac{π}{8} − sin( \frac{8π}{8} − \frac{π}{8} ) ] C [sin( \frac{8π}{8} − \frac{3π}{8} ) − sin \frac{3π}{8} ]

D [sin \frac{π}{8} − sin(π − \frac{π}{8} ) ] C [sin( π − \frac{3π}{8} ) − sin \frac{3π}{8} ]

D [sin \frac{π}{8} − sin \frac{π}{8} ] C [sin \frac{3π}{8} − sin \frac{3π}{8} ]

D 0. Remarque : nous avons utilisé ici la propriété suivante :

∀ x ∈ ℝ, sin▷π − x◁ D sin▷x◁.

3 Sachant que π < x < \frac{3π}{2} et que sinx D −\frac{\sqrt{2}}{2}, déterminons la valeur

de cosx à l’aide de l’égalité fondamentale de trigonométrie :

cos^{2} x C sin^{2} x D 1 ⟺ cos^{2} x C ( −\frac{\sqrt{2}}{2}) ^{2} D 1

⟺ cos^{2} x D 1 − \frac{1}{2} D \frac{1}{2}

Or π < x < \frac{3π}{2} donc cosx < 0.

⟺ cosx D −\sqrt{\frac{1}{2}} D −\frac{\sqrt{2}}{2}.

Une somme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 202 — #212 CORRIGÉS_{202}
13En utilisant le carré_{Lycée Honoré de Balzac, Paris} {Énoncé \atop p. 192}

1 \sqrt{3}cosx D sinx D⇒ (\sqrt{3}cosx)^{2} D (sinx)^{2}

D⇒ 3 cos^{2} x D sin^{2} x D⇒ 3 cos^{2} x D 1 − cos^{2} x D⇒ 4 cos^{2} x D 1

D⇒ cos^{2} x D \frac{1}{4}.

2 cos^{2} x D \frac{1}{4} ⟺ cosx D −\frac{1}{2} ou cosx D \frac{1}{2}.

Cette équation a donc 4 solutions dans T0 I 2πT :

S D \{ \frac{π}{3} I \frac{2π}{3} I \frac{4π}{3} I \frac{5π}{3} \} .

3 \sqrt{3}cosx D sinx et \sqrt{3} > 0. Donc cosx et sinx ont le même signe. 4 Parmi les 4 valeurs trouvées dans la question 2, seules \frac{π}{3} et \frac{4π}{3} ont un

cosinus et un sinus de même signe. De plus, il est immédiat de contrôler que ces deux valeurs sont solutions de l’équation (E). En effet, on a bien :

\sqrt{3}cos \frac{π}{3} D \frac{\sqrt{3}}{2} D sin \frac{π}{3}

et

\sqrt{3}cos \frac{4π}{3} D −\frac{\sqrt{3}}{2} D sin \frac{4π}{3} .

14Une somme_{Lycée Daguin, Mérignac} {Énoncé \atop p. 192}

Notons que :

sin \frac{π}{4} D \frac{\sqrt{2}}{2}.

Ainsi,

S D 1 C ( \frac{\sqrt{2}}{2}) C ( \frac{\sqrt{2}}{2}) ^{2} C ⋯C ( \frac{\sqrt{2}}{2}) ^{19} .

On peut alors appliquer la formule :

1 C q C q^{2} C ⋯C q^{n} D \frac{1 − q^{nC1}}{1 − q} .

Une autre somme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 203 — #213 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{203} CORRIGÉS INTERROS COURS

Cela donne :

S D \frac{1 − ( \frac{\sqrt{2}}{2}) ^{20}}{1 − \frac{\sqrt{2}}{2}} D \frac{\frac{2^{20} − 2^{10}}{2^{20}}}{\frac{2 − \sqrt{2}}{2}} D \frac{2^{20} − 2^{10}}{2^{20}} × \frac{2}{2 − \sqrt{2}} D \frac{2^{11}(2^{10} − 1)}{2^{20}(2 − \sqrt{2})}

Finalement, on arrive à :

S D \frac{2^{10} − 1}{2^{9}(2 − \sqrt{2})} .

Cette écriture ne convient pas à ce qui est demandé car on souhaite un dénominateur entier. Il faut donc poursuivre le calcul.

S D \frac{2^{10} − 1}{2^{9}(2 − \sqrt{2})} ×\frac{2 C \sqrt{2}}{2 C \sqrt{2}} D \frac{1 023▷2 C \sqrt{2}◁}{1 024}.

15Une autre somme_{Lycée Lakanal, Seaux} {Énoncé \atop p. 192}

Remarquons d’abord que :

S D 1 C cos \frac{π}{3} C cos \frac{2π}{3} C cos \frac{3π}{3} C cos \frac{4π}{3} C cos \frac{5π}{3}

C cos \frac{6π}{3} C cos \frac{7π}{3} C cos \frac{8π}{3} C cos \frac{9π}{3} C cos \frac{10π}{3} C cos \frac{11π}{3} C ⋯

Remarquons aussi que :

1 C cos \frac{3π}{3} D cos \frac{6π}{3} C cos \frac{9π}{3} D ⋯D cos \frac{2 016π}{3} C cos \frac{2 019π}{3} D 0 cos \frac{π}{3} C cos \frac{2π}{3} D cos \frac{7π}{3} C cos \frac{8π}{3} D ⋯D cos \frac{2 017π}{3} C cos \frac{2 018π}{3} D 0 cos \frac{4π}{3} C cos \frac{5π}{3} D cos \frac{10π}{3} C cos \frac{11π}{3} D ⋯D cos \frac{2 020π}{3} C cos \frac{2 021π}{3} D 0.

Ainsi, la somme se réduit à :

S D cos \frac{2 022π}{3} C cos \frac{2 023π}{3}

D cos▷674π◁ C cos(674π C \frac{π}{3} )

D 1 C \frac{1}{2}

D \frac{3}{2}.

Parité et périodicité — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 204 — #214

CORRIGÉS_{204}

16Coordonnées de points_{Lycée Montaigne, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 192}

On sait que l’ordonnée des points A et B est égale à \frac{\sqrt{3}}{2}. Il faut donc trouver les valeurs de x comprises entre 0 et π telles que :

sinx D \frac{\sqrt{3}}{2}.

D’après le cours, les deux valeurs de x sont :

x_{A} D \frac{π}{3} et x_{B} D \frac{2π}{3} .

17Périodicité_{Lycée Hoche, Versailles} {Énoncé \atop p. 193}

Pour tout réel x,

f ▷x C 2π◁ D 1 C sin▷x C 2π◁ C \frac{1}{2} cos[2▷x C 2π◁]

D 1 C sinx C \frac{1}{2} cos▷2x◁

(car les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques)

D f ▷x◁.

La fonction f est donc périodique, et 2π en est une période.

18Parité et périodicité_{Lycée François Mauriac, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 193}

1 Pour tout réel x,

f ▷−x◁ D cos▷−4x◁ sin^{2}▷−4x◁
D cos▷4x◁▷− sin4x◁^{2}
D cos▷4x◁ sin^{2}▷4x◁
D f ▷x◁.

Ainsi, f est paire. Cela signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Étude minimale d’une fonction — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 205 — #215 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{205} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Pour tout réel x,

f (x C \frac{π}{2} ) D cos[4 (x C \frac{π}{2} )] sin^{2} [4 (x C \frac{π}{2} )]

D cos▷4x C 2π◁ sin^{2}▷4x C 2π◁

D cos▷4x◁ sin^{2}▷4x◁ (car sin et cos sont 2π-périodiques) D f ▷x◁.

Par conséquent, f est bien \frac{π}{2} –périodique.

19Parité et périodicité_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Pins-Justaret} {Énoncé \atop p. 193}

1 Parité de f ▷x◁ D 2 sin▷8x◁ : pour tout réel x,

f ▷−x◁ D 2 sin▷−8x◁ D −2 sin▷8x◁ D −f ▷x◁.

Par conséquent, f est impaire. Périodicité : pour tout réel x,

f ▷x C T ◁D f (x C \frac{π}{4} )

D 2 sin[8 (x C \frac{π}{4} )]

D 2 sin▷8x C 2π◁

D 2 sin▷8x◁ (car x ↦ sinx est 2π-périodique) D f ▷x◁.

Ainsi, f est périodique de période \frac{π}{4} .

2 Parité de g▷x◁ D sin▷2x◁ C cos▷2x◁ : pour tout réel x,

g▷−x◁ D cos▷−2x◁ C sin▷−2x◁ D cos▷2x◁ − sin▷2x◁. Par conséquent, g▷−x◁ D̸ g▷x◁ et g▷−x◁ D̸ −g▷x◁. La fonction g n’est donc ni paire, ni impaire. Périodicité : pour tout réel x,

g▷x C T ◁D g▷x C π◁ D sin[2▷x C π◁] C cos[2▷x C π◁] D sin▷2x C 2π◁ C cos▷2x C 2π◁

D sin▷2x◁ C cos▷2x◁

(car les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques)

D g▷x◁.

Ainsi, g est périodique de période π.

Étude minimale d’une fonction — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 206 — #216 CORRIGÉS_{206}
20Étude minimale d’une fonction_{Lycée Pablo Picasso, Fontenay-sous-Bois} {Énoncé \atop p. 193}

1 Pour tout réel x,

f ▷−x◁ D 1 C cos▷−x◁ C [sin▷−x◁]^{2}
D 1 C cos▷x◁ C [ − sin▷x◁]^{2}
D 1 C cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁
D f ▷x◁.

Par conséquent, f est paire. On peut alors déduire que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2 Pour tout réel x,

cos▷x C 2π◁ D cos▷x◁  et  sin▷x C 2π◁ D sin▷x◁.

Ainsi,

f ▷x C 2π◁ D 1 C cos▷x C 2π◁ C sin^{2}▷x C 2π◁
D 1 C cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁
D f ▷x◁.

Par conséquent, f est bien 2π-périodique.

Cela signifie qu’en traçant la représentation graphique de f sur un intervalle quelconque d’amplitude 2π, et en en faisant les translations de vecteurs kE i, k ∈ ℤ^{∗}, on obtiendra la courbe représentative de f sur ℝ.

3 Pour tout réel x,

sin^{2}▷x◁ D 1 − cos^{2}▷x◁.

Ainsi, pour tout réel x,

f ▷x◁ D 1 C cos▷x◁ C sin^{2}▷x◁
D 1 C cos▷x◁ C 1 − cos^{2}▷x◁
D − cos^{2}▷x◁ C cos▷x◁ C 2.

4 D’après la question précédente,

f ▷x◁ D 0 ⟺ − cos^{2}▷x◁ C cos▷x◁ C 2 D 0
⟺ −X^{2} C X C 2 D 0, en posant X D cos▷x◁.

Une solution évidente est X_{1} D −1; par conséquent, la seconde solution est telle que :

X_{1}X_{2} D \frac{c}{a} D \frac{2}{−1} D −2.

Ainsi,

−1 × X_{2} D −2 ⟺ X_{2} D 2.

Étude complète d’une fonction — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 207 — #217 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAP. 6_{207} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a alors :

\{ \begin{matrix}X_{1} D cos▷x_{1}◁ D −1 \\ X_{2} D cos▷x_{2}◁ D 2 ⟵ impossible car − 1 ⩽ cos▷x_{2}◁ ⩽ 1 \end{matrix}

On en déduit que sur U − πI πU, les solutions de l’équation f ▷x◁ D 0 sont les valeurs de x pour lesquelles :

cos▷x◁ D −1 ⟺ x D π.

5 D’après la question précédente, pour tout réel X,

−X^{2} C X C 2 D −▷X C 1◁▷X − 2◁.

Ainsi, en prenant X D cos▷x◁, on a :

f ▷x◁ D −(cos▷x◁ C 1)(cos▷x◁ − 2).

Or,

−1 ⩽ cosx ⩽ 1 ⟺ \{ \begin{matrix}cos▷x◁ C 1 ⩾ 0 \\ cos▷x◁ − 2 ⩽ 0 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}−(cos▷x◁ C 1) ⩽ 0 \\ cos▷x◁ − 2 ⩽ 0 \end{matrix}

Ainsi, f ▷x◁ ⩾ 0. À titre purement informatif, voici la représentation graphique de f :

21Étude complète d’une fonction_{Lycée Blomet, Paris} {Énoncé \atop p. 194}

1 (a) Étudions d’abord la parité de f : pour tout réel x,

f ▷−x◁ D \frac{cos▷−x◁}{3 C sin^{2}▷−x◁}

D \frac{cosx}{3 C ▷− sinx◁^{2}}

D \frac{cosx}{3 C sin^{2} x}

D f ▷x◁.

f est donc paire.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 6 page 208 — #218 CORRIGÉS_{208}

Étudions la périodicité de f. Les fonctions x ↦ cosx et x ↦ sinx sont 2π-périodiques. Par conséquent, f est 2π-périodique.

(b) Le fait que f soit 2π-périodique nous permet d’étudier f sur n’importe quel intervalle d’amplitude 2π. De plus, le fait que f soit paire nous permet d’étudier f sur T0I C∞T. En combinant les deux, nous pouvons étudier f sur I D T0I πU. En effet, par symétrie, on pourra avoir les variations de f sur T−πI πU et par translation de vecteur 2kπE i, k ∈ ℤ^{∗}, on pourra avoir le reste des variations de f sur ℝ.

2 (a) Sur I D T0I πU,

sinx ⩾ 0

−1 ⩽ sinx ⩽ 1 ⟺ 0 ⩽ sin^{2} x ⩽ 1
⟺ −5 ⩽ sin^{2} x − 5 ⩽ −4

(3 C sin^{2} x)^{2} > 0

Ainsi, f′▷x◁ ⩽ 0 sur I.

(b) On a le tableau suivant :

x 0  π
f′▷x◁ 0 −  0

\frac{1}{3}

f ▷x◁  ↘
−\frac{1}{3}

Pour information, nous avons tracé ci-dessous :

en rouge, la partie de la courbé étudiée sur T0I πU;

en bleue, la partie obtenue par symétrie à l’aide de la parité de f ;

en vert, la courbe obtenue par translations

Produit scalaire

Plan du chapitre

1. Géométrie non analytique

2. Géométrie analytique

Retrouvez ce cours en vidéo.

1 Géométrie non analytique

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que AB D \sqrt{8}. On note I le milieu du segment TBCU.

1 Déterminer et construire le point G tel que :

2\overrightarrow{GA} C \overrightarrow{GB} C \overrightarrow{GC} D \overrightarrow{0} .

2 Vérifier que les points A, G et I sont alignés et calculer les nombres :

GA^{2},  GB^{2},  GC^{2} .

3 Étant donné un point M du plan, exprimer 2MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} en fonction de MG^{2}.

Exercice type 1

Lycée Notre-Dame, Boulogne

Voir corrigé page 211

Dans cette section, nous nous placerons dans un plan euclidien.

1.1 Définition du produit scalaire

Définition 1

Soient \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB} deux vecteurs du plan, et H le projeté orthogonal de B sur ▷OA◁.

Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OB}, noté \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB}, est défini par :

\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} D OA × OH si les deux vecteurs forment un angle aigu;

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 210 — #220 COURS_{210}

\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} D −OA × OH si les deux vecteurs forment un angle obtus.

1.2 Orthogonalité de deux vecteurs

Définition 2

E uet E vsont dits orthogonaux si :

E uD E 0 ou E vD E 0

ou si :

▷E u,E v◁ D \frac{π}{2} C 2kπ ▷k ∈ ℤ◁

ou si :

▷E u,E v◁ D −\frac{π}{2} C 2kπ ▷k ∈ ℤ◁ .

On écrit alors E u⊥ E v.

Théorème 1

E u⊥ E v ⟺ E u· E vD 0 .

1.3 Produit scalaire et normes

Propriété 1

Soient deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} dans le plan. Alors,

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D ∥\overrightarrow{u} ∥ × ∥\overrightarrow{v} ∥ × cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} )

où (\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} ) représente l’angle formé par les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} en tournant dans le sens trigonométrique.

De cette propriété, on peut conclure que : E u^{2} D E u· E uD ∥E u∥^{2}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 211 — #221 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{211} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.4 Propriétés

Quels que soient les vecteurs E u, E v, E wet les réels a et b , on a : E u· E vD E v· E u(symétrie du produit scalaire); E u· ▷E vC E w◁ D E u· E vC E u· E w; ▷aE u◁ · ▷bE v◁ D ab▷E u· E v◁; ∥\overrightarrow{u} C \overrightarrow{v} ∥^{2} D ▷E uC E v◁^{2} D E u^{2} C 2E u· E vC E v^{2}; ▷E u− E v◁^{2} D E u^{2} − 2E u· E vC E v^{2}; ▷E uC E v◁ · ▷E u− E v◁ D E u^{2} − E v^{2};

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D \frac{1}{2}(∥\overrightarrow{u} ∥^{2} C ∥\overrightarrow{v} ∥^{2} − ∥\overrightarrow{u} − \overrightarrow{v} ∥^{2});

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D \frac{1}{2}(∥\overrightarrow{u} C \overrightarrow{v} ∥^{2} − ∥\overrightarrow{u} ∥^{2} − ∥\overrightarrow{v} ∥^{2});

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D \frac{1}{4}(∥\overrightarrow{u} C \overrightarrow{v} ∥^{2} − ∥\overrightarrow{u} − \overrightarrow{v} ∥^{2}).

1 Comme I est le milieu de TBCU, on a \overrightarrow{GB} C \overrightarrow{GC} D 2\overrightarrow{GI}.

La relation vectorielle définissant le point G se réécrit donc :

2\overrightarrow{GA} C 2\overrightarrow{GI} D \overrightarrow{0} ⟺ \overrightarrow{GA} C \overrightarrow{GI} D \overrightarrow{0} .

On en déduit que G est le milieu de TAIU. 2 G étant le milieu de TAIU, A, G et I sont donc alignés. Le triangle ABC

est isocèle, donc la médiane ▷AI◁ est aussi la hauteur. D’où :

▷GI◁ ⊥ ▷IB◁.

Donc :

GB^{2} D GI^{2} C IB^{2} .

…

Solution de l’exercice type 1

Lycée Notre-Dame, Boulogne

I est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle ABC car c’est le milieu de l’hypoténuse. Donc :

IA D IB D \frac{1}{2}BC .

Or,

BC^{2} D BA^{2} C AC^{2} D 8 C 8 D 16,

donc BC D 4; d’où :

IB D \frac{1}{2}BC D 2

et

GI D \frac{1}{2}AI D \frac{1}{2}IB D 1 .

Ainsi,

GB^{2} D 1 C 4 D 5

et de même pour GC^{2} car la figure est symétrique par rapport à l’axe ▷AI◁.

GA^{2} D GI^{2} D 1 .

Donc :

GA^{2} D 1, GB^{2} D GC^{2} D 5 .

3 On exprime les carrés des longueurs par des carrés scalaires, ce qui nous permet d’utiliser la relation de Chasles sur les vecteurs :

2MA^{2} C MB^{2} C MC^{2}
D 2\overrightarrow{MA}^{2} C \overrightarrow{MB}^{2} C \overrightarrow{MC}^{2}
D 2▷\overrightarrow{MG} C \overrightarrow{GA}◁^{2} C ▷\overrightarrow{MG} C \overrightarrow{GB}◁^{2} C ▷\overrightarrow{MG} C \overrightarrow{GC}◁^{2}
D 4MG^{2} C \overrightarrow{MG} · (4\overrightarrow{GA} C 2\overrightarrow{GB} C 2\overrightarrow{GC}) C 2GA^{2} C GB^{2} C GC^{2}
D 4MG^{2} C 2GA^{2} C GB^{2} C GC^{2}

car, d’après la définition du point G, on a :

2\overrightarrow{GA} C \overrightarrow{GB} C \overrightarrow{GC} D E 0.

En utilisant les résultats de la question précédente, on trouve finalement :

2MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} D 4MG^{2} C 12 .

Solution de l’exercice type 1 (suite)

Lycée Notre-Dame, Boulogne Voir énoncé page 209

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 213 — #223 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{213} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Géométrie analytique

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo. Dans un repère orthonormé, on considère les points A▷1 I −1◁, B▷−3 I 2◁ et C▷5 I 7◁. 1 Calculer \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB}. 2 En déduire une valeur approchée de l’angle { \atop BAC} au degré près. 3 Donner une équation cartésienne de la hauteur de ABC issue de C.

Exercice type 2

Lycée Camille Jullian, Bordeaux

Voir corrigé page 215

Dans cette section, on rapporte le plan à un repère ▷O,E ı, E ȷ◁ orthonormé.

2.1 Calcul du produit scalaire

Propriété 2

Soient E u\binom{x}{y} et E v\binom{x′}{y′} deux vecteurs. Alors,

E u· E vD xx′C yy′.

Conséquence :

∥E u∥^{2} D x^{2} C y^{2} et ∥E u∥ D \sqrt{x^{2} C y^{2}} .

Exemple : on pose \overrightarrow{u} \binom{5}{−2} et \overrightarrow{v} \binom{1}{7} . Alors,

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D 5 × 1 C ▷−2◁ × 7
D 5 − 14
D −9.

2.2 Application pour trouver la mesure d’un angle

Reprenons les vecteurs de l’exemple précédent : \overrightarrow{u} \binom{5}{−2} et \overrightarrow{v} \binom{1}{7} . Nous avons vu que :

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D −9.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 214 — #224 COURS_{214}

Or,

\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} D ∥\overrightarrow{u} ∥ × ∥\overrightarrow{v} ∥ × cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} )
D \sqrt{5^{2} C ▷−2◁^{2}} × \sqrt{1^{2} C 7^{2}} × cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} )
D \sqrt{29} × \sqrt{50} × cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} )
D 5\sqrt{58}cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} ).

Ainsi,

−9 D 5\sqrt{58}cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} ) ,

soit :

cos(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} ) D −\frac{9}{5\sqrt{58}} ≈ −0,236351579148 .

On en déduit alors :

(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} ) ≈ 104°.

2.3 Vecteur normal à une droite

Définition 3

Soit D une droite du plan, et soient A et B deux points distincts de D. Un vecteur non nul E nest dit normal à D si :

E n· \overrightarrow{AB} D 0.

Propriété 3

Soit D une droite d’équation cartésienne ax C by C c D 0. Alors, un vecteur normal à D est :

E n\binom{a}{b} .

Remarque : tout vecteur non nul colinéaire à \overrightarrow{n} est aussi un vecteur normal à D.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 215 — #225 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{215} CORRIGÉS INTERROS COURS

Retrouvez ce corrigé en vidéo. Dans un repère orthonormé, on considère les points A▷1 I −1◁, B▷−3 I 2◁ et C▷5 I 7◁.

1 \overrightarrow{AC}\binom{5 − 1}{7 − ▷−1◁} ; donc \overrightarrow{AC}\binom{4}{8} .

\overrightarrow{AB}\binom{−3 − 1}{2 − ▷−1◁} ; donc \overrightarrow{AB}\binom{−4}{3} .

D’où :

\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB} D 4 × ▷−4◁ C 8 × 3 D 8.

2 On sait que \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB} D AC × AB × cos(\overrightarrow{AC} I \overrightarrow{AB}) D 8.

De plus,

AB D \sqrt{▷−4◁^{2} C 3^{2}} D 5I
AC D \sqrt{4^{2} C 8^{2}} D \sqrt{80}.

Donc :

5\sqrt{80}cos(\overrightarrow{AC} I \overrightarrow{AB}) D 8
⟺ cos(\overrightarrow{AC} I \overrightarrow{AB}) D \frac{8}{5\sqrt{80}}
⟺ cos(\overrightarrow{AC} I \overrightarrow{AB}) ≈ 0,179
⟺ (\overrightarrow{AC} I \overrightarrow{AB}) ≈ 80°.

3 Soit M▷x I y◁ sur la hauteur de ABC issue de C. Alors,

\overrightarrow{CM} · \overrightarrow{AB} D 0 ⟺ \binom{x − 5}{y − 7} · \binom{−4}{3} D 0
⟺ −4▷x − 5◁ C 3▷y − 7◁ D 0
⟺ −4x C 3y − 1 D 0.

Ainsi, une équation cartésienne de cette hauteur est −4x C 3y − 1 D 0.

Solution de l’exercice type 2

Lycée Camille Jullian, Bordeaux Voir énoncé page 213

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 216 — #226 INTERROS_{216}
1_{V/F} Connaissance du cours Corrigé p. 223 10 min

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1 Un produit scalaire est toujours positif.

2 Si E u· E wD E u· E valors E uD E v.

3 L’ensemble des points M du plan tels que \overrightarrow{MA} · \overrightarrow{MB} D k ▷k ∈ ℝ◁ est

un cercle de centre le milieu de TABU. 4 Si E uet E vsont deux vecteurs non nuls orthogonaux, alors :

∥E uC E v∥ D ∥E u− E v∥.

2_{QCM} Dans un repère Corrigé p. 224 20 min

Déterminer parmi les réponses a , b , c celle qui est correcte.

1 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ▷OIE i, E j◁, on considère les points I ▷3 I −5◁, J ▷2 I 1◁ et K▷7 I y◁. Si ▷IJ ◁ est perpendiculaire à

▷J K◁, alors y vaut :
a \frac{11}{6}  b −\frac{11}{6}  c \frac{5}{6}

2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, soit A▷2 I 0◁, B▷1 I \sqrt{3}◁ et C▷1 I −\sqrt{3}◁. Une mesure de ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ est :

a \frac{π}{3}  b \frac{2π}{3}  c \frac{π}{6}

3 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, soit la droite droites D d’équation −5x C 3y C 1 D 0. Un vecteur normal de D est :

a \binom{−5}{3}  b \binom{−3}{5}  c \binom{−3}{−5}

4 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, soit les droites D_{1} et D_{2} d’équations respectives :

D_{1} V 2x C 4y C 5 D 0 et D_{2} V −5x C \frac{5}{2}y − 12 D 0.

Les droites D_{1} et D_{2} sont :

a parallèles  b confondues  c perpendiculaires

5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’origine O, si A▷−3I 5◁

et B▷5I −3◁ alors \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} D :
a −1  b 0  c −30

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 217 — #227 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{217} CORRIGÉS INTERROS COURS

Géométrie non analytique

3Dans un carré_{Lycée Pasteur, Paris} Corrigé ; p. 224 ; 5 min ; ⋆

ABCD est un carré de centre O et de côté 3. Calculer, en justifiant, les produits scalaires suivants : 1 \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} 2 \overrightarrow{OB} · \overrightarrow{OC} 3 \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AO} 4 \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OC}

4Vecteurs et parallélogramme_{Lycée Marceau, Chartres} Corrigé ; p. 225 ; 10 min ; ⋆

Soit, dans le plan orienté, un parallélogramme ABCD tel que :

AB D 6 cm, AD D 4 cm et ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}◁ D \frac{2π}{3} .

1 Calculer \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}. 2 (a) Exprimer les vecteurs \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BD} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}.

(b) Calculer \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BD} (utiliser la question (a)).

(c) Les points C et D se projettent orthogonalement en C′et D′sur la droite ▷AB◁. Calculer AC′et AD′.

5Une relation vectorielle_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} Corrigé ; p. 226 ; 10 min ; ⋆

Soit ABC un triangle. Soit I le milieu de TBCU et K le milieu de TAIU. 1 Montrer que le point K vérifie la relation :

2\overrightarrow{KA} C \overrightarrow{KB} C \overrightarrow{KC} D \overrightarrow{0} .

2 Trouver la valeur du réel α tel que, pour tout point M :

2\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB} C \overrightarrow{MC} D α\overrightarrow{MK}.

3 En déduire l’ensemble des points M tels que :

2\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{MB} · \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MI} D 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 218 — #228 INTERROS_{218}
6Ensemble de points_{Lycée Pasteur, Paris} Corrigé ; p. 227 ; 10 min ; ⋆

Soient A et B deux points du plan tels que AB D 5.

1 Déterminer l’ensemble des points M du plan vérifiant :

\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AB} D 3.

2 Déterminer l’ensemble des points N du plan vérifiant :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AN} D −1.

7Dans un rectangle_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 228 ; 10 min ; ⋆

On considère un rectangle ABCD tel que AD D 1 et AB D \sqrt{2}. I est le milieu de TCDU.

1 Calculer \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AI}.

2 En remarquant que \overrightarrow{AI} D \overrightarrow{AD} C \overrightarrow{DI}, calculer \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AI}. 3 Démontrer que les droites ▷BD◁ et ▷AI◁ sont perpendiculaires.

8Configuration géométrique_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 228 ; 20 min ; ⋆

ABC est un triangle. On considère les points D et E extérieurs au triangle ABC tels que les deux triangles ABD et ACE soient rectangles isocèles en A. 1 Faire une figure.

2 (a) Exprimer l’angle ▷\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}◁ en fonction de l’angle ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁.

(b) En déduire que \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}.

3 (a) Calculer \overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CD}.

(b) Que peut-on en conclure?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 219 — #229 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{219} CORRIGÉS INTERROS COURS
9Une autre configuration géométrique_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} Corrigé ; p. 229 ; 20 min ; ⋆

Soit A et B deux points tels que AB D 5. 1 (a) Quel est l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} D 10?

(b) En déduire la construction d’un point C tel que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 10 et

AC D 4. 2 Soit D et E les points définis par :

\overrightarrow{AD} D −\frac{7}{5}\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{AE} D \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}.

Calculer :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} , \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE}.

En déduire que \overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CD} D 0. Que représente la droite ▷CD◁ pour le triangle BDE?

10Lignes de niveau d’une application_{Lycée Saint-Marc, Lyon} Corrigé ; p. 231 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2. On note I le milieu de TABU, et pour tout point M du plan :

f ▷M◁ D \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB}.

1 Calculer f ▷A◁, f ▷B◁, f ▷I◁ et f ▷C◁. 2 Quel est l’ensemble E_{0} des points M du plan tels que f ▷M◁ D 0?

Dessiner E_{0}. 3 Montrer que pour tout M :

f ▷M◁ D MI^{2} − 1.

4 Déterminer, suivant les valeurs du réel k, l’ensemble E_{k} des points M du plan tels que f ▷M◁ D k. Dessiner E_{2} sur la figure.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 220 — #230 INTERROS_{220}
11Recherche d’ensemble de points_{Lycée Victor Hugo, Marseille} Corrigé ; p. 233 ; 50 min ; ⋆ ; ⋆

Soient A et B deux points tels que : AB D 4 cm. On définit pour un point M du plan P :

\begin{matrix}A▷M◁ & D Aire▷AMB◁ \\ f ▷M◁ & D MA − MB \\ g▷M◁ & D \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} \\ h▷M◁ & D \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} \\ j ▷M◁ & D MA^{2} − MB^{2} \end{matrix}

Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan vérifiant : 1 A▷M◁ D 4; 2 f ▷M◁ D 0; 3 g▷M◁ D 0; 4 h▷M◁ D 0; 5 j ▷M◁ D −24.

Géométrie analytique

12Calcul d’angle_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 235 ; 10 min ; ⋆

Soient, dans un repère orthonormé, les points A▷1 I 3◁, B▷4 I −2◁ et C▷−1 I 3◁. 1 Calculer \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}. 2 En déduire une valeur approchée de l’angle { \atop BAC}, au degré près.

13Équation de la médiatrice_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} Corrigé ; p. 236 ; 10 min ; ⋆

Dans le plan muni d’un repère orthonormal ▷OI E ı, E ȷ◁, on considère les points A▷−3 I 2◁ et B▷5 I −4◁. Déterminer une équation de la médiatrice du segment TABU.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 221 — #231 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{221} CORRIGÉS INTERROS COURS
14Équation cartésienne de droites_{Lycée Montaigne, Bordeaux} Corrigé ; p. 236 ; 10 min ; ⋆

On se place dans un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite D.

1 A▷−1 I 2◁, B▷4 I −3◁ et D est la médiatrice de [AB].

2 D est la droite passant par A▷1 I 3◁ et perpendiculaire à la droite D′

d’équation 2x − 5y C 3 D 0 . 3 D est la tangente au cercle de centre O et de rayon 3 passant par le point

d’abscisse 2.

4 D a pour vecteur normal le vecteur \overrightarrow{n} \binom{2}{−1} et passe par le point A▷−1 I 2◁.

15Nature d’un triangle_{Lycée Alain, Caen} Corrigé ; p. 237 ; 15 min ; ⋆

Soit, dans un repère orthonormal direct ▷OI E ı, E ȷ◁, les points :

A▷−2 I 0◁,  B▷1 I \sqrt{3}◁  et C▷−2 I 2\sqrt{3}◁.

1 Calculer ∥\overrightarrow{AB}∥, ∥\overrightarrow{AC}∥, cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ et sin▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁.

En déduire la mesure principale de l’angle ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁. 2 Quelle est la nature du triangle ABC?

16Droites perpendiculaires_{Lycée Notre Dame du Grandchamp, Versailles} Corrigé ; p. 238 ; 20 min ; ⋆

ABCD est un carré, I et J sont les points tels que :

\overrightarrow{BI} D \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}  I  \overrightarrow{CJ} D \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}.

Démontrer de deux manières différentes (en utilisant le produit scalaire les deux fois) que les droites ▷AI◁ et ▷BJ ◁ sont perpendiculaires.

17Angles et intersection_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 240 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un repère orthonormé, on considère les points A▷−3 I 2◁, B▷3 I 5◁ et C▷5 I −4◁.

1 Calculer \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}.

2 Calculer les distances AB et AC.

3 Déduire des questions précédentes une valeur approchée au degré près de l’angle { \atop BAC}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 222 — #232 INTERROS_{222}

4 Soit D▷1,5 I 3◁. Montrer que ▷CD◁ ⊥ ▷AB◁ et que ▷BD◁ ⊥ ▷AC◁. 5 Que représente le point D pour le triangle ABC? 6 Soit H le point d’intersection des droites ▷BD◁ et ▷AC◁.

Sans faire de calcul, expliquer pourquoi \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AH × AC. En déduire que AH D 3.

18La droite d’Euler_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 240 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Dans un repère orthonormé ▷OI E ı, E ȷ◁, on considère les points A▷−5 I 1◁, B▷1 I −2◁ et C▷7 I 4◁. 1 Trouver les coordonnées du centre de gravité G de ABC. 2 Trouver les coordonnées du centre I du cercle circonscrit à ABC. 3 Trouver les coordonnées de l’orthocentre H de ABC (point d’intersec-

tion des hauteurs). 4 Montrer que G, I et H sont alignés. 5 La droite d’Euler de ABC est la droite ▷GH◁. Donner une équation

cartésienne de cette droite.

Dans un repère — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 223 — #233

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{223} CORRIGÉS INTERROS COURS

1_{V/F} Connaissance du cours {Énoncé \atop p. 216}

1 Faux. Dans le repère orthonormal ▷OI E ı, E ȷ◁, si E uet E vont pour coordonnées respectives E u▷2 I 5◁ et E v▷1 I −5◁ alors :

E u· E vD 2 × 1 − 5 × 5 D −23

Le produit scalaire E u· E vest strictement négatif. 2 Faux. Soit E u▷2 I 0◁, E v▷0 I 8◁ et E w▷0 I 15◁. On a :

E u· E vD 2 × 0 C 0 × 8 D 0
E u· E wD 2 × 0 C 0 × 15 D 0

Cependant E uet E vne sont pas égaux. 3 Faux. Soit I le milieu de TABU.

\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB}D ( \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA}) · ( \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IB})
D \overrightarrow{MI}^{2} C \overrightarrow{MI} · ( \overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IB}) C \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB}

Or, \overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IB} D \overrightarrow{0} et \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB} D −IA^{2} D − ( \frac{1}{2}AB)^{2} D −\frac{1}{4}AB^{2}.

Par suite,

\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB}D k ⟺ MI^{2} − \frac{1}{4}AB^{2} D k
\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB}D k ⟺ MI^{2} D k C \frac{1}{4}AB^{2}

Si k C \frac{1}{4}AB^{2} < 0, alors l’ensemble cherché est vide.

4 Vrai.

∥E uC E v∥^{2} D ▷E uC E v◁^{2} D E u^{2} C 2E u· E vC E v^{2}

Comme E uet E vsont orthogonaux, E u· E vD 0. Par suite,

∥E uC E v∥^{2} D E u^{2} C E v^{2}
∥E u− E v∥^{2} D ▷E u− E v◁^{2} D E u^{2} − 2E u· E vC E v^{2}

On a donc aussi :

∥E u− E v∥^{2} D E u^{2} C E v^{2}

D’où :

∥E uC E v∥^{2} D ∥E u− E v∥^{2}

Et comme ∥E uC E v∥ et ∥E u− E v∥ sont positifs, alors ∥E uC E v∥ D ∥E u− E v∥.

Dans un carré — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 224 — #234 CORRIGÉS_{224}
2_{QCM} Dans un repère {Énoncé \atop p. 216}

1 Réponse a . On a : \overrightarrow{IJ}▷−1 I 6◁ et \overrightarrow{J K}▷5 I y − 1◁. Les droites ▷IJ ◁ et

▷J K◁ sont perpendiculaires si et seulement si \overrightarrow{IJ} · \overrightarrow{J K} D 0, soit :

−5 C 6▷y − 1◁ D 0

Cette équation admet pour unique solution : y D \frac{11}{6}. 2 Réponse b . D’après le cours, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AB × AC × cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁.

Or, \overrightarrow{AB}▷−1 I \sqrt{3}◁ et \overrightarrow{AC}▷−1 I −\sqrt{3}◁. Donc ∥\overrightarrow{AB}∥^{2} D (\sqrt{3})^{2}C▷−1◁^{2} D 4 et ∥\overrightarrow{AC}∥^{2} D (−\sqrt{3})^{2}C▷−1◁^{2} D 4. On a alors : \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 2 × 2 × cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁.

De plus, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D ▷−1◁^{2} − \sqrt{3}^{2} D −2 donc cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D −\frac{1}{2}.

Or, parmi les propositions, seul cos \frac{2π}{3} D −\frac{1}{2}. La bonne réponse est donc b .

3 Réponse a . Si D a pour équation cartésienne ax C by C c D 0 alors

\overrightarrow{n} \binom{a}{b} est un vecteur normal à la droite. 4 Réponse c . Un vecteur directeur de D_{1} est {E \atop u_{1}}▷−4 I 2◁ et un vecteur

directeur de D_{2} est {E \atop u_{2}} ( −\frac{5}{2} I −5) , d’après le cours.

{E \atop u_{1}} · {E \atop u_{2}} D −4 × ( −\frac{5}{2}) C ▷−5◁ × 2 D 0.

Les vecteurs directeurs de ces deux droites sont donc orthogonaux, et les droites sont perpendiculaires.

5 Réponse c . En effet, si A▷−3I 5◁ et B▷5I −3◁ alors :

\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB} D \binom{−3}{5} · \binom{5}{−3} D −3 × 5 C 5 × ▷−3◁ D −15 − 15 D −30.

3Dans un carré_{Lycée Pasteur, Paris} {Énoncé \atop p. 217}

1

O est le projeté orthogonal de B sur ▷AC◁, donc :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}D AO × AC

D \frac{1}{2}AC × AC

D \frac{1}{2} × 18 D 9.

Vecteurs et parallélogramme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 225 — #235

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{225} CORRIGÉS INTERROS COURS

2

\overrightarrow{OB} et \overrightarrow{OC} sont orthogonaux donc :

\overrightarrow{OB} · \overrightarrow{OC}D 0.

3

\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AO} sont colinéaires et de même sens donc :

\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AO}D AC × AO

D AC × \frac{1}{2}AC

D 9.

4

\overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OC} sont colinéaires et de sens opposés :

\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OC}D −OA × OC

D −\frac{1}{2}AC × \frac{1}{2}AC D −\frac{1}{4}AC^{2}

D −\frac{9}{2}.

4Vecteurs et parallélogramme_{Lycée Marceau, Chartres} {Énoncé \atop p. 217}

1 On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}D AB × AD × cos( \frac{2π}{3} )

D 6 × 4 × ( −\frac{1}{2})

D −12

Une relation vectorielle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 226 — #236 CORRIGÉS_{226}

2 (a) On a :

\overrightarrow{AC} D \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{BD} D \overrightarrow{AD} − \overrightarrow{AB}

(b) On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}D \overrightarrow{AB} · ▷\overrightarrow{AB} C \overrightarrow{AD}◁
D \overrightarrow{AB}^{2} C \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}
D 36 − 12 D 24
\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BD}D \overrightarrow{AB} · ▷\overrightarrow{AD} − \overrightarrow{AB}◁
D \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} − \overrightarrow{AB}^{2}
D −12 − 36 D −48

(c) On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AB × AC′D 24 et AB D 6 ,

donc :

AC′D 4

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD} D −AB × AD′D −12 et AB D 6.

Ainsi :

AD′D 2.

5Une relation vectorielle_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} {Énoncé \atop p. 217}

1 K est le milieu de TAIU, et on a donc :

\overrightarrow{KA} C \overrightarrow{KI} D \overrightarrow{0}

Par ailleurs, I étant le milieu de TBCU, on a :

\overrightarrow{KB} C \overrightarrow{KC} D 2\overrightarrow{KI} D −2\overrightarrow{KA}

On en déduit donc la relation vectorielle :

2\overrightarrow{KA} C \overrightarrow{KB} C \overrightarrow{KC} D 2\overrightarrow{KA} − 2\overrightarrow{KA} D \overrightarrow{0}

2 En utilisant la relation de Chasles, on a pour tout point M du plan,

2\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB} C \overrightarrow{MC}
D 2 ( \overrightarrow{MK} C \overrightarrow{KA}) C ( \overrightarrow{MK} C \overrightarrow{KB}) C ( \overrightarrow{MK} C \overrightarrow{KC})
D 4\overrightarrow{MK} C \underbrace{2\overrightarrow{KA} C \overrightarrow{KB} C \overrightarrow{KC}}_{D\overrightarrow{0}}

d’où, en identifiant :

α D 4.

Ensemble de points — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 227 — #237

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{227} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 On a :

2\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MI}C \overrightarrow{MB} · \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MI} D 0

⟺ ▷2\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB} C \overrightarrow{MC}◁ · \overrightarrow{MI} D 0 ⟺ 4\overrightarrow{MK} · \overrightarrow{MI} D 0 ⟺ \overrightarrow{MK} · \overrightarrow{MI} D 0 ⟺ M est sur le cercle de diamètre TIKU .

L’ensemble des points M cherché est donc le cercle de diamètre TIKU.

6Ensemble de points_{Lycée Pasteur, Paris} {Énoncé \atop p. 218}

1 Notons H le projeté orthogonal de M sur ▷AB◁. Alors,

\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AB} D 3 ⟺ AH × AB D 3 ⟺ AH D \frac{3}{AB} D \frac{3}{5}.

Le produit scalaire \overrightarrow{AM} · \overrightarrow{AB} étant positif, l’angle (\overrightarrow{AM}I \overrightarrow{AB}) est aigu (compris entre 0 et \frac{π}{2} radians). On obtient la droite rouge suivante :

2 Notons H le projeté orthogonal de N sur ▷AB◁. Alors,

\overrightarrow{AN} · \overrightarrow{AB} D −1 ⟺ |AH × AB| D 1 ⟺ |AH| D \frac{1}{5}.

Le produit scalaire \overrightarrow{AN} · \overrightarrow{AB} étant négatif, l’angle (\overrightarrow{AN}I \overrightarrow{AB}) est obtus (compris entre \frac{π}{2} et π radians). On obtient la droite bleue suivante :

Configuration géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 228 — #238

CORRIGÉS_{228}

7Dans un rectangle_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 218}
1 \begin{aligned}\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AI} & D \overrightarrow{AD} · (\overrightarrow{AD} C \overrightarrow{DI} ) \\ & D \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AD} C \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{DI} \\ & D AD^{2} C 0 car \overrightarrow{AD} ⊥ \overrightarrow{DI} \\ & D 1. \end{aligned}

2 \begin{aligned}\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AI} & D \overrightarrow{BA}· (\overrightarrow{AD} C \overrightarrow{DI} ) \\ & D \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AD} C \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{DI} \\ & D 0 C BA × DI × cos(\overrightarrow{BA} I \overrightarrow{DI} ) \\ & D BA × DI × ▷−1◁ D \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × ▷−1◁ \\ & D −1. \end{aligned}

3 Pour démontrer que ▷BD◁ et ▷AI◁ sont perpendiculaires, on peut démontrer que \overrightarrow{BD} · \overrightarrow{AI} D 0.

\overrightarrow{BD} · \overrightarrow{AI} D (\overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AD}) · \overrightarrow{AI}

D \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AI} C \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AI} D −1 C 1 (d’après les questions précédentes) D 0.

Ainsi, ▷BD◁ et ▷AI◁ sont perpendiculaires.

8Configuration géométrique_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 218}

1 Voir figure page suivante (en fin de corrigé).

2 (a) \begin{aligned}▷\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}◁ & D ▷\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}◁ C ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ C ▷\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}◁ \\ & D \frac{π}{2} C ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ C \frac{π}{2} \\ & D ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ C π \end{aligned}

(b) \begin{aligned}\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} & D AD × AE × cos▷\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}◁ \\ & D AD × AE × cos(π C ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁) \end{aligned}

Or, AD D AB, AE D AC et cos(πC▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁) D − cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ donc :

\begin{aligned}\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} & D −AB × AC × cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ \\ & D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} \end{aligned}

Une autre configuration géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 229 — #239

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{229} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 (a) \begin{aligned}\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CD} & D ▷\overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AE}◁ · ▷\overrightarrow{CA}C \overrightarrow{AD}◁ \\ & D \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{CA}C \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AD} C \overrightarrow{AE} · \overrightarrow{CA}C \overrightarrow{AE} · \overrightarrow{AD} \end{aligned}

Or, \overrightarrow{BA} · \overrightarrow{AD} D \overrightarrow{AE} · \overrightarrow{CA} D 0 car les droites ▷DA◁ et ▷AB◁ d’une part, ▷AE◁ et ▷AC◁ d’autre part sont perpendiculaires d’après l’énoncé. De plus,

\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{CA} D \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}

et d’après ce qui précède,

\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{AD} D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}

On a donc \overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CD} D 0.

(b) On en déduit que les droites ▷BE◁ et ▷CD◁ sont perpendiculaires.

9Une autre configuration géométrique_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} {Énoncé \atop p. 219}

1 (a) Soit H le projeté orthogonal de M sur ▷AB◁.

Par définition, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} D \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AH}, et on souhaite que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} D 10 donc \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AH} D 10.

Or, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AH} > 0 ⟺ \{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} & et & \overrightarrow{AH} & sont de même sens \\ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AH} D AB × AH \end{matrix}

Une autre configuration géométrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 230 — #240

CORRIGÉS_{230}

On a donc : \overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AM} D 10 ⟺ \{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} & et & \overrightarrow{AH} & sont de même sens \\ AB × AH D 10 \end{matrix} .

Comme AB D 5, on en déduit AH D 2. La seule position possible pour H est donc :

H étant le projeté orthogonal de M sur ▷AB◁, M est sur la droite 1 perpendiculaire à ▷AB◁ passant par H.

Conclusion : l’ensemble de tous les points M tels que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} D 10 est la droite 1.

(b) On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 10 ⟺ C ∈ 1
AC D 4 ⟺ C ∈ C▷A,4◁

Le point C doit donc appartenir à la fois à la droite 1 et au cercle C de centre A et de rayon 4. Comme la distance du point A à la droite 1 est 2 (AH D 2), la droite 1 est sécante au cercle C et il y a deux points possibles : C_{1} et C_{2}.

2 On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{DC}

Lignes de niveau d’une application — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 231 — #241

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{231} CORRIGÉS INTERROS COURS

Or, C se projette en H sur ▷AB◁ donc :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} D −5 × DH

DH D DA C AH

D \frac{7}{5}AB C 2

D \frac{7}{5} × 5 C 2

D 9.

Donc :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD}D −AB × DH D −5 × 9 D −45.
\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AE}D AC × AE D 4 × 6 D 24.
\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE}D −AD × AE′D −7 × 3 D −21.

De plus,

\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CD}D ▷\overrightarrow{BA}C \overrightarrow{AE}◁ · \overrightarrow{CD}
D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} C \overrightarrow{AE} · ▷\overrightarrow{AD} − \overrightarrow{AC}◁
D −\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} C \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AE} − \overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AE}
D 45 − 21 − 24
D 0 .

Donc ▷BE◁ ⊥ ▷CD◁, ce qui prouve que la droite ▷CD◁ est la hauteur issue de D dans le triangle BED.

10Lignes de niveau d’une application_{Lycée Saint-Marc, Lyon} {Énoncé \atop p. 219}

Commençons par faire un schéma :

1 On a par définition :

f ▷A◁ D \overrightarrow{AA}· \overrightarrow{AB} D 0

et

f ▷B◁ D \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BB} D 0.

Lignes de niveau d’une application — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 232 — #242

CORRIGÉS_{232}

On a ensuite :

f ▷I◁ D \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB}

D IA × IB × cos( \underbrace{\overrightarrow{IA}I \overrightarrow{IB}}_{Dπ})

D −IA × IB D −1.

Par ailleurs, on a par définition :

f ▷C◁ D \overrightarrow{CA}· \overrightarrow{CB} D CA × CB × cos▷\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}◁.

Le triangle étant équilatéral, on a :

CA D CB D 2

Et

▷\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}◁ D \frac{π}{3} ou − \frac{π}{3}

Dans les deux cas, cos▷\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}◁ D \frac{1}{2} donc :

f ▷C◁ D 4 × \frac{1}{2} D 2

2 Pour E_{0}, on cherche l’ensemble des points M du plan tels que :

\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D 0 ⟺ (\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA}) · (\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IB}) D 0

⟺ MI^{2} C \overrightarrow{MI} · \underbrace{(\overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IB})}_{D\overrightarrow{0}}C\overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB} D 0

⟺ MI^{2} D −\overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB} D \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} · ( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) D \frac{AB^{2}}{4}

⟺ IM D \frac{AB}{2} D IA.

M est donc sur le cercle de centre I et de rayon IA. On a donc le schéma :

3 On a : \begin{aligned}f ▷M◁ & D \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} \\ & D ▷\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA}◁ · ▷\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IB}◁ \\ & D \overrightarrow{MI}^{2} C \overrightarrow{MI} · ▷\overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IB}◁ C \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB} \end{aligned}

I étant le milieu de TABU, on a alors :

\overrightarrow{IA} C \overrightarrow{IB} D E 0

Recherche d’ensemble de points — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 233 — #243

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{233} CORRIGÉS INTERROS COURS

Et comme précédemment, on a :

\overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB} D −\frac{1}{4}AB^{2} D −1

D’où, finalement :

f ▷M◁ D MI^{2} − 1

4 Pour déterminer E_{k}, reprenons l’expression de f ▷M◁ déterminée à la

question précédente :

MI^{2} − 1 D k

Ce qui est équivalent à :

MI^{2} D k C 1

Si k ⩾ −1, on obtient le cercle de centre I et de rayon \sqrt{k C 1};

si k < −1, c’est l’ensemble vide.

Remarque : si k D −1, l’ensemble est réduit au point I.

Comme f ▷C◁ D 2, E_{2} est le cercle de centre I passant par C.

11Recherche d’ensemble de points_{Lycée Victor Hugo, Marseille} {Énoncé \atop p. 220}

1 Notons TMHU la hauteur du triangle AMB; on a alors :

A▷AMB◁ D \frac{AB × MH}{2} .

Pour que l’aire en question vaille 4, il faut et il suffit que MH D 2, puisque AB D 4; on obtient donc deux droites parallèles à ▷AB◁ et distantes de 2 cm de cette dernière, ainsi que le montre la figure suivante :

Recherche d’ensemble de points — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 234 — #244

CORRIGÉS_{234}

2 On obtient MA D MB, soit la médiatrice de TABU, d’où le schéma :

3 Ici, on doit avoir :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AM} D 0

▷AM◁ doit donc être perpendiculaire à ▷AB◁ (c’est une condition nécessaire et suffisante); on obtient donc la droite perpendiculaire à ▷AB◁ passant par A.

4 On obtient ici le cercle de diamètre TABU (cas classique du cours) :

5 On utilise ici l’identité remarquable suivante :

MA^{2} − MB^{2} D ▷\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB}◁ · ▷\overrightarrow{MA}− \overrightarrow{MB}◁ D ▷\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB}◁ · ▷\overrightarrow{BA}◁. En introduisant le milieu I de TABU, on obtient :

\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB} D \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA} C \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IB} D 2\overrightarrow{MI}.

Équation de la médiatrice — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 235 — #245 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{235} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a donc finalement :

MA^{2} − MB^{2} D 2\overrightarrow{MI} · \overrightarrow{BA}.

On doit donc avoir :

\overrightarrow{MI} · \overrightarrow{BA} D −12.

Considérons le point H de la droite ▷AB◁ tel que :

\overrightarrow{HI} · \overrightarrow{BA} D −12,

c’est-à-dire, comme H, I et B sont alignés, HI × BA D 12 et \overrightarrow{HI} et \overrightarrow{BA} de sens contraire. Alors l’ensemble des points M est la droite passant par H perpendiculaire à ▷AB◁, comme le montre le schéma suivant (on doit avoir IH D 3 cm) :

12Calcul d’angle_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 220}

1 \overrightarrow{AB}▷3 I −5◁ et \overrightarrow{AC}▷−2 I 0◁. Donc :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 3 × ▷−2◁ − 5 × 0 D −6

2 On sait que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AB × AC × cos▷{ \atop BAC}◁.

Donc cos▷{ \atop BAC}◁ D \frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}}{AB × AC}.

AB D \sqrt{3^{2} C 5^{2}} D \sqrt{34} et AC D 2. Donc cos▷{ \atop BAC}◁ D \frac{−6}{2\sqrt{34}}.

À la calculatrice, on trouve { \atop BAC} ≈ 121^{∘}.

Remarque : il peut être prudent de faire une figure pour vérifier la vraisemblance des résultats :

Équation cartésienne de droites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 236 — #246 CORRIGÉS_{236}
13Équation de la médiatrice_{Lycée Jules Ferry, Conflans-Sainte-Honorine} {Énoncé \atop p. 220}

Soit I le milieu de TABU ,

x_{I} D \frac{x_{A} C x_{B}}{2} D 1 et y_{I} D \frac{y_{A} C y_{B}}{2} D −1 donc I ▷1 I −1◁ .

Notons 1 la médiatrice de TABU. 1 est la perpendiculaire à ▷AB◁ en I; c’est l’ensemble des points M▷x I y◁ qui vérifient :

\overrightarrow{IM} · \overrightarrow{AB} D 0

Or,

\overrightarrow{IM}  a pour coordonnées ▷x − 1 I y C 1◁
\overrightarrow{AB}  a pour coordonnées ▷8 I −6◁

donc :

\overrightarrow{IM} · \overrightarrow{AB} D 0 ⟺ 8▷x − 1◁ − 6▷y C 1◁ D 0
⟺ 8x − 6y − 14 D 0
⟺ 4x − 3y − 7 D 0

Une équation de 1 est alors :

4x − 3y − 7 D 0.

14Équation cartésienne de droites_{Lycée Montaigne, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 221}

1 On a \overrightarrow{AB}\binom{5}{−5} .

Le milieu de [AB] est I( \frac{3}{2} I −\frac{1}{2}) .
M▷x I y◁ ∈ D⟺ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{IM} D 0

⟺ \binom{5}{−5} · ( \begin{matrix}x − \frac{3}{2} \\ y C \frac{1}{2} \end{matrix} ) D 0

⟺ 5 ( x − \frac{3}{2}) − 5 ( y C \frac{1}{2}) D 0

⟺ 5x − 5y − 10 D 0 ⟺ x − y − 2 D 0.

Une équation cartésienne de D est donc x − y − 2 D 0.

Nature d’un triangle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 237 — #247

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{237} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Un vecteur directeur de D est un vecteur normal de D′, soit par exemple

\overrightarrow{u} \binom{2}{−5} . Ainsi, une équation de D est de la forme :

−5x − 2y C c D 0  ,  c ∈ ℝ.
A▷1 I 3◁ ∈ D ⟺ −5 × 1 − 2 × 3 C c D 0 ⟺ c D 11.

Une équation cartésienne de D est donc 5x C 2y − 11 D 0. 3 Notons A le point d’abscisse 2 appartenant au cercle de centre O et

de rayon 3 (donc d’équation x^{2} C y^{2} D 3^{2}). Son ordonnée est donc : y_{A} D \sqrt{3^{2} − 2^{2}} D \sqrt{5}. Ainsi, A(2 I \sqrt{5}).

D est tangente au cercle en A donc \overrightarrow{OA}\binom{2}{\sqrt{5}} est un vecteur normal à D; d’après le cours, une équation cartésienne de D est donc :

2x C \sqrt{5}y C c D 0, c ∈ ℝ.

A ∈ D donc 2x_{A} C \sqrt{5}y_{A} C c D 0, soit :

c D −2x_{A} − \sqrt{5}y_{A} D −4 − 5 D −9.

Une équation cartésienne de D est donc :

2x C \sqrt{5}y − 9 D 0.
4 \begin{aligned}M▷x I y◁ ∈ D & ⟺ \overrightarrow{AM} · \overrightarrow{n} D 0 \\ & ⟺ \binom{x C 1}{y − 2} · \binom{2}{−1} D 0 \\ & ⟺ 2▷x C 1◁ − 1▷y − 2◁ D 0 \\ & ⟺ 2x − y C 4 D 0. \end{aligned}

Une équation cartésienne de D est donc 2x − y − 4 D 0.

15Nature d’un triangle_{Lycée Alain, Caen} {Énoncé \atop p. 221}

1 On a :

\overrightarrow{AB}▷3 I \sqrt{3}◁,  donc ∥\overrightarrow{AB}∥ D \sqrt{3^{2} C ▷\sqrt{3}◁^{2}}D 2\sqrt{3}
\overrightarrow{AC}▷0 I 2\sqrt{3}◁, donc ∥\overrightarrow{AC}∥ D \sqrt{0^{2} C ▷2\sqrt{3}◁^{2}}D 2\sqrt{3}.

On a :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D ▷3 × 0◁ C ▷\sqrt{3} × 2\sqrt{3}◁ D 6

et

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D ∥\overrightarrow{AB}∥ × ∥\overrightarrow{AC}∥ × cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁.

Droites perpendiculaires — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 238 — #248

CORRIGÉS_{238}

D’où :

cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{6}{∥\overrightarrow{AB}∥ × ∥\overrightarrow{AC}∥} D \frac{6}{12} D \frac{1}{2} .

On sait de plus que :

cos^{2} α C sin^{2} α D 1,

donc :

sin^{2}▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D 1 − ( \frac{1}{2}) ^{2} D \frac{3}{4}.

D’où :

sin▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{\sqrt{3}}{2} ou sin▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D −\frac{\sqrt{3}}{2}.

Comme cos▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ est positif, on sait que la mesure principale de ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ appartient à [−\frac{π}{2} I \frac{π}{2} ] et donc :

▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{π}{3} ou ▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D −\frac{π}{3} .

La figure permet d’affirmer que :

▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{π}{3}

donc que sin▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{\sqrt{3}}{2}.

2 On a :

∥\overrightarrow{AB}∥ D ∥\overrightarrow{AC}∥ ⟺ AB D AC

donc ABC est isocèle en A. De plus,

▷\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}◁ D \frac{π}{3} .

Le triangle ABC est donc équilatéral.

16Droites perpendiculaires_{Lycée Notre Dame du Grandchamp, Versailles} {Énoncé \atop p. 221}

La figure n’est pas demandée, mais elle peut aider... comme souvent en géométrie!

Angles et intersection — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 239 — #249

PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{239} CORRIGÉS INTERROS COURS

Une première méthode : On considère le repère orthonormé (D I \overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA}).

Dans ce repère : A▷0 I 1◁, B▷1 I 1◁, I ( 1 I \frac{2}{3}) et J ( \frac{2}{3} I 0) .

On a donc :

\overrightarrow{AI} ( 1 I −\frac{1}{3}) et \overrightarrow{BJ} ( −\frac{1}{3} I −1) .

Donc :

\overrightarrow{AI} · \overrightarrow{BJ} D 1 × ( −\frac{1}{3}) C ( −\frac{1}{3}) × ▷−1◁ D 0.

Les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BJ} sont donc orthogonaux, et les droites ▷AI◁ et ▷BJ ◁ sont donc perpendiculaires.

Une deuxième méthode, utilisant la relation de Chasles :

\overrightarrow{AI} · \overrightarrow{BJ}D ( \overrightarrow{AB} C \overrightarrow{BI}) · ( \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{CJ})

D \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CJ} C \overrightarrow{BI} · \overrightarrow{BC} C \overrightarrow{BI} · \overrightarrow{CJ}

D 0 C AB × ( −\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}) C BC × \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} C 0

D −\frac{1}{3}AB^{2} C \frac{1}{3}BC^{2}

D 0 car AB D BC.

MÉTHODE

Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître soit des vecteurs orthogonaux, soit des vecteurs dont on peut exprimer la longueur, est une technique plutôt répandue.

La droite d’Euler — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 240 — #250 CORRIGÉS_{240}
17Angles et intersection_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 221}

1 \overrightarrow{AB}\binom{6}{3} et \overrightarrow{AC}\binom{8}{−6} donc :

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 6 × 8 C 3 × ▷−6◁ D 48 − 18 D 30.

2 AB D \sqrt{6^{2} C 3^{2}} D \sqrt{36 C 9} D \sqrt{45}.

AC D \sqrt{8^{2} C ▷−6◁^{2}} D \sqrt{64 C 36} D \sqrt{100} D 10. 3 On sait que \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AB × AC × cos(\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) donc :

30 D 10\sqrt{45}cos(\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}).

Ainsi,

cos(\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) D \frac{30}{10\sqrt{45}} ≈ 0,447.

On en déduit alors que (\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) ≈ 63°.

4 \overrightarrow{CD}\binom{−3,5}{7} donc :

\overrightarrow{CD} · \overrightarrow{AB} D −3,5 × 6 C 7 × 3 D −21 C 21 D 0.

Donc ▷CD◁ ⊥ ▷AB◁.

De plus, \overrightarrow{BD}\binom{−1,5}{−2} donc :

\overrightarrow{BD} · \overrightarrow{AC} D −1,5 × 8 C ▷−2◁ × ▷−6◁ D −12 C 12 D 0.

Donc ▷BD◁ ⊥ ▷AC◁. 5 De la question précédente, on déduit que D est l’intersection des hau-

teurs du triangle ABC, donc l’orthocentre de ABC. 6 Par définition, H est le projeté orthogonal de B sur ▷AC◁. Donc, par

définition du produit scalaire, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D AH × AC. Or, \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} D 30 d’après la question 1.

Donc AH × AC D 30, soit AH D \frac{30}{AC} D \frac{30}{10} D 3.

18La droite d’Euler_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 222}

1 D’après le cours,

\{ \begin{matrix}x_{G} D \frac{x_{A} C x_{B} C x_{C}}{3} D \frac{−5 C 1 C 7}{3} D 1 \\ y_{G} D \frac{y_{A} C y_{B} C y_{C}}{3} D \frac{1 − 2 C 4}{3} D 1. \end{matrix}

Ainsi, G▷1 I 1◁.

La droite d’Euler — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 241 — #251 PRODUIT SCALAIRE CHAP. 7_{241} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Le centre du cercle circonscrit à ABC est le point d’intersection des médiatrices.

Médiatrice de TABU : le milieu M_{1} de TABU a pour coordonnées :

x_{1} D \frac{x_{A} C x_{B}}{2} D −2 et y_{1} D \frac{y_{A} C y_{B}}{2} D −\frac{1}{2}.

Soit M▷x I y◁ un point de la médiatrice de TABU. Alors,

\overrightarrow{MM_{1}} · \overrightarrow{AB} D 0 ⟺ \binom{−2 − x}{−\frac{1}{2} − y} · \binom{1 − ▷−5◁}{−2 − 1} D 0

⟺ \binom{−2 − x}{−\frac{1}{2} − y} · \binom{6}{−3} D 0

⟺ 6▷−2 − x◁ − 3 ( −\frac{1}{2} − y) D 0

⟺ −6x C 3y − \frac{21}{2} D 0

⟺ 12x − 6y C 21 D 0.

Ainsi, une équation cartésienne de la médiatrice de TABU est 12x − 6y C 21 D 0.

Médiatrice de TACU : le milieu M_{2} de TACU a pour coordonnées :

x_{2} D \frac{x_{A} C x_{C}}{2} D 1 et y_{2} D \frac{y_{A} C y_{C}}{2} D \frac{5}{2}.

Soit M▷x I y◁ un point de la médiatrice de TACU. Alors,

\overrightarrow{MM_{2}} · \overrightarrow{AC} D 0 ⟺ \binom{1 − x}{\frac{5}{2} − y} · \binom{7 − ▷−5◁}{4 − 1} D 0

⟺ \binom{1 − x}{\frac{5}{2} − y} · \binom{12}{3} D 0

⟺ 12▷1 − x◁ C 3 ( \frac{5}{2} − y) D 0

⟺ −12x − 3y C \frac{39}{2} D 0

⟺ 24x C 6y − 39 D 0.

Ainsi, une équation cartésienne de la médiatrice de TACU est 24x C 6y C 39 D 0.

Trouvons maintenant les coordonnées de leur point d’intersection en résolvant le système :

\{ \begin{matrix}12x − 6y C 21 D 0 ▷E_{1}◁ \\ 24x C 6y − 39 D 0 ▷E_{2}◁ \end{matrix} .

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 7 page 242 — #252 CORRIGÉS_{242}

▷E_{1}◁ C ▷E_{2}◁ ⟺ 36x − 18 D 0 ⟺ x D \frac{18}{36} D \frac{1}{2} ;

2▷E_{1}◁ − ▷E_{2}◁ ⟺ −18y C 81 D 0 ⟺ y D \frac{81}{18} D \frac{9}{2}.

Ainsi, I ( \frac{1}{2} I \frac{9}{2}) .

3 Hauteur passant par B : soit M▷x I y◁ sur cette hauteur. Alors,

\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{BM} D 0 ⟺ \binom{12}{3} · \binom{x − 1}{y C 2} D 0

⟺ 12x C 3y − 6 D 0 ⟺ 4x C y − 2 D 0.

Hauteur passant par C : soit M▷x I y◁ sur cette hauteur. Alors,

\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CM} D 0 ⟺ \binom{6}{−3} · \binom{x − 7}{y − 4} D 0

⟺ 6x − 3y − 30 D 0 ⟺ 2x − y − 10 D 0.

Pour trouver l’intersection de ces deux droites, on résout le système :

\{ \begin{matrix}4x C y − 2 D 0 ▷E_{1}◁ \\ 2x − y − 10 D 0 ▷E_{2}◁ \end{matrix}

▷E_{1}◁ C ▷E_{2}◁ ⟺ 6x − 12 D 0 ⟺ x D 2; ▷E_{1}◁ − 2▷E_{2}◁ ⟺ 3y C 18 D 0 ⟺ y D −6. Ainsi, H▷2 I −6◁.

4 \overrightarrow{GI} \binom{\frac{1}{2} − 1}{\frac{9}{2} − 1} donc \overrightarrow{GI} \binom{−\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}} .

De plus, \overrightarrow{GH} \binom{2 − 1}{−6 − 1} donc \overrightarrow{GH} \binom{1}{−7} .

−\frac{1}{2} × ▷−7◁ − \frac{7}{2} × 1 D 0

donc \overrightarrow{GI} et \overrightarrow{GH} sont colinéaires. De plus, ils ont un point en commun donc G, I et H sont alignés.

5 M▷x I y◁ ∈ ▷GH◁⟺ \overrightarrow{GH} \binom{1}{−7} et \overrightarrow{GM}\binom{x − 1}{y − 1} sont colinéaires

⟺ 1 × ▷y − 1◁ − ▷−7◁▷x − 1◁ D 0 ⟺ 7x C y − 8 D 0.

Ainsi, une équation de la droite d’Euler de ABC est 7x C y − 8 D 0.

Applications du produit scalaire

Plan du chapitre

1. Géométrie non analytique

2. Géométrie analytique

1 Géométrie non analytique

Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. On considère le triangle ABC tel que AB D 6, AC D 9 et BC D 5. 1 Déterminer une valeur approchée de { \atop BCA}au degré près. 2 Déterminer une valeur approchée au dixième de la médiane de ABC

issue de C. 3 Déterminer une valeur approchée au centième de l’aire de ABC

(exprimée en cm^{2}). 4 Placer le point M tel que MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} soit minimal.

Exercice type 1

Lycée Carnot, Cannes

Voir corrigé page 247

1.1 Théorème d’Al-Kashi

Théorème 1 : théorème d’Al-Kashi

Dans tout triangle ABC, BC^{2} D AB^{2} C AC^{2} − 2AB × AC × cos(\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}),

où (\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) désigne l’angle formé par les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Remarques

Les côtés sont interchangeables. On a donc aussi :

AB^{2} D BC^{2} C AC^{2} − 2BC × AC × cos(\overrightarrow{CA}I \overrightarrow{CB}),
AC^{2} D AB^{2} C BC^{2} − 2AB × BC × cos(\overrightarrow{BA} I \overrightarrow{BC}).

Si ABC est rectangle en A, on retrouve le théorème de Pythagore.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 244 — #254 COURS_{244}

Exemple : soit un triangle ABC tel que AB D 5, AC D 3 et (\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) D \frac{π}{4} .

BC^{2} D AB^{2} C AC^{2} − 2AB × AC × cos(\overrightarrow{AB}I \overrightarrow{AC})

D 5^{2} C 3^{2} − 2 × 5 × 3 × cos( \frac{π}{4} )

D 25 C 9 − 30 × \frac{\sqrt{2}}{2}

D 34 − 15\sqrt{2}

BC D \sqrt{34 − 15\sqrt{2}} .

1.2 Théorème de la médiane

Théorème 2

Soit ABC un triangle et I le milieu de TABU. Alors,

CA^{2} C CB^{2} D 2CI^{2} C \frac{1}{2}AB^{2} .

Exemple : soit un triangle ABC tel que AB D 5, AC D 3 et (\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) D \frac{π}{4} . Nous avons vu dans l’exemple précédent que BC^{2} D 34 − 15\sqrt{2}.

\begin{matrix}CA^{2} C CB^{2} & D 2CI^{2} C \frac{1}{2}AB^{2} \\ ⟺ 3^{2} C (34 − 15\sqrt{2}) & D 2CI^{2} C \frac{1}{2} × 5^{2} \\ ⟺ 2CI^{2} & D 9 C 34 − 15\sqrt{2} − \frac{25}{2} \\ ⟺ CI^{2} & D \frac{61 − 30\sqrt{2}}{2} \\ ⟺ CI & D \sqrt{\frac{61 − 30\sqrt{2}}{4}} . \end{matrix}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 245 — #255 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{245} CORRIGÉS INTERROS COURS

1.3 Aire d’un triangle

Théorème 3

Dans tout triangle ABC,

Aire▷ABC◁D \frac{1}{2} × AB × AC × sin Â

D \frac{1}{2} × BA × BC × sin B̂

D \frac{1}{2} × CA × CB × sin Ĉ.

Exemple : soit un triangle ABC tel que AB D 5, AC D 3 et (\overrightarrow{AB} I \overrightarrow{AC}) D \frac{π}{4} .

Aire▷ABC◁D \frac{1}{2} × AB × AC × sin Â

D \frac{1}{2} × 5 × 3 × sin \frac{π}{4}

D \frac{15\sqrt{2}}{4}.

1.4 Lignes de niveau

1.4.1 -Cercle Propriété 1

Pour tous points A, B et M du plan,

\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D MI^{2} − \frac{1}{4}AB^{2}

où I est le milieu de TABU.

Propriété 2

Soient A et B deux points du plan. L’ensemble des points M du plan qui vérifient l’égalité \overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB} D 0 est le cercle de diamètre TABU.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 246 — #256 COURS_{246}

1.4.2 -Centre de gravité d’un triangle

Définition 1 : rappel de collège

Le centre de gravité d’un triangle ABC est le point d’intersection de ses médianes.

Propriété 3

Soit ABC un triangle quelconque. Le centre de gravité G de ABC vérifie l’égalité :

\overrightarrow{GA} C \overrightarrow{GB} C \overrightarrow{GC} D \overrightarrow{0} .

Propriété 4

Soient A, B et C trois points quelconques du plan. Quel que soit le point M du plan,

\overrightarrow{MA}C \overrightarrow{MB} C \overrightarrow{MC} D 3\overrightarrow{MG}.

Propriété 5

Dans un repère cartésien, le centre de gravité G d’un triangle ABC où A▷x_{A} I y_{A}◁, B▷x_{B} I y_{B}◁ et C▷x_{C} I y_{C}◁ a pour coordonnées :

x_{G} D \frac{x_{A} C x_{B} C x_{C}}{3}  I  y_{G} D \frac{y_{A} C y_{B} C y_{C}}{3} .

Propriété 6

Soient ABC un triangle quelconque du plan et G son centre de gravité. Quel que soit le point M du plan,

MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} D 3MG^{2} C GA^{2} C GB^{2} C GC^{2}.

Propriété 7

Soient ABC un triangle quelconque du plan et G son centre de gravité. Soit M un point quelconque du plan.

MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} est minimal lorsque M D G.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 247 — #257 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{247} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 Utilisons le théorème d’Al-Kashi dans le triangle ABC :

AB^{2} D AC^{2} C BC^{2} − 2 × AC × BC × cos Ĉ
6^{2} D 9^{2} C 5^{2} − 2 × 5 × 9 × cos Ĉ
36 D 81 C 25 − 90 cos Ĉ
cos Ĉ D \frac{81 C 25 − 36}{90} D \frac{7}{9}
d’où Ĉ ≈ 39°.

2 Posons I le milieu de TABU.

AC^{2} C BC^{2} D 2CI^{2} C \frac{AB^{2}}{2}(théorème de la médiane)
81 C 25 D 2CI^{2} C \frac{36}{2}
CI^{2} D \frac{81 C 25 − 18}{2}
CI D \sqrt{44} ≈ 6,6 cm.

3 D’après le cours, Aire▷ABC◁D \frac{1}{2} × CA × CB × sin Ĉ ≈ \frac{1}{2} × 9 × 5 × sin(39°◁ ≈ 28,32 cm^{2}. 4 D’après le cours, le point M tel que MA^{2} C MB^{2} C MC^{2} soit minimal

est le centre de gravité G de ABC, intersection de deux médianes. Illustration à l’échelle 1/2 :

Solution de l’exercice type 1

Lycée Carnot, Cannes Voir énoncé page 243

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 248 — #258 COURS_{248}

2 Géométrie analytique

Dans le plan muni d’un repère (OIE i, E j), on définit les points A▷−1I 2◁ et B▷3I 4◁. 1 Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de TABU.

2 Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre TABU.

3 Quel est l’ensemble des points M▷xI y◁ dont une équation cartésienne

est :

x^{2} C y^{2} C 2x − 4y − 15 D 0?

Vérifier que B appartient à cet ensemble.

Exercice type 2

Lycée Jeanson, Paris

Voir corrigé page 250

Dans ce paragraphe, le plan est rapporté à un repère orthonormé.

2.1 Équations cartésiennes de droites perpendiculaires

Propriété 8

Soit ▷d◁ une droite d’équation cartésienne ax C by C c D 0.

La droite ▷1◁, perpendiculaire à ▷d◁, a pour coefficient directeur E n\binom{a}{b} , vecteur

normal à ▷d◁.

Exemple : on considère la droite ▷d◁ d’équation cartésienne :

−3x C 5y − 7 D 0.

Soit ▷1◁ la droite perpendiculaire à ▷d◁ passant par A▷2I −1◁. Alors, un vecteur

normal à ▷d◁ est E n\binom{−3}{5} et une équation cartésienne de ▷1◁ est de la forme :

▷1◁ V 5x C 3y C c D 0 , c ∈ ℝ.

De plus,

A ∈ ▷1◁ ⟺ 5x_{A} C 3y_{A} C c D 0
⟺ 5 × 2 C 3 × ▷−1◁ C c D 0
⟺ c D −7.

Une équation cartésienne de ▷1◁ est donc :

5x C 3y − 7 D 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 249 — #259 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{249} CORRIGÉS INTERROS COURS

MÉTHODE : obtention d’une équation cartésienne perpendiculaire

Ceci est une méthode plus directe que l’exemple précédent pour obtenir une équation cartésienne d’une droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné.

On considère la droite ▷d◁ d’équation cartésienne :

−3x C 5y − 7 D 0.

\overrightarrow{u} ′\binom{−5}{−3} et \overrightarrow{u} \binom{5}{3} sont des vecteurs directeurs de ▷d◁.

Soit alors ▷1◁ la droite perpendiculaire à ▷d◁ passant par A▷2I −1◁. Alors,

M▷xI y◁ ∈ ▷1◁ ⟺ \overrightarrow{AM} · \overrightarrow{u} D 0

⟺ \binom{x − 2}{y − ▷−1◁} · \binom{5}{3} D 0

⟺ 5▷x − 2◁ C 3▷y C 1◁ D 0 ⟺ 5x C 3y − 7 D 0.

On obtient ainsi une équation cartésienne de ▷1◁.

2.2 Équations cartésiennes de cercles

Propriété 9 : équation canonique de cercles

Dans un repère orthonormal, l’équation cartésienne canonique du cercle de centre ▷a I b◁ et de rayon R est :

▷x − a◁^{2} C ▷y − b◁^{2} D R^{2} .

Exemple : soit le cercle de centre ▷−3I 5◁ et de rayon R D 4. Alors, son équation cartésienne canonique est :

(x − ▷−3◁)^{2} C ▷y − 5◁^{2} D 4^{2}

soit :

▷x C 3◁^{2} C ▷y − 5◁^{2} D 16.

MÉTHODE : à partir d’une équation cartésienne développée

On considère l’ensemble des points M▷xI y◁ tels que :

x^{2} C y^{2} C 12x − 2y C 12 D 0.

Nous allons montrer que cet ensemble est un cercle dont on précisera les caractéristiques.

…

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 250 — #260 COURS_{250}

MÉTHODE

1 On regroupe les x^{2} et x ensemble d’une part, les y^{2} et y d’autre part :

(x^{2} C 12x) C (y^{2} − 2y) C 12 D 0.

2 On voit ce qu’il y a entre parenthèses comme les débuts d’une identité remarquable :

(x^{2} C 12x) D ( x C \frac{12}{2}) ^{2} − ( \frac{12}{2}) ^{2} D ▷x C 6◁^{2} − 36

et

(y^{2} − 2y) D ( y − \frac{2}{2}) ^{2} − ( \frac{2}{2}) ^{2} D ▷y − 1◁^{2} − 1.

3 On réécrit l’équation avec ces informations de sorte à obtenir l’équation canonique d’un cercle :

▷x C 6◁^{2} − 36 C ▷y − 1◁^{2} − 1 C 12 D 0
▷x C 6◁^{2} C ▷y − 1◁^{2} D 25
▷x C 6◁^{2} C ▷y − 1◁^{2} D 5^{2}.

L’ensemble des points M▷xI y◁ est donc le cercle de centre ▷−6I 1◁ et de rayon R D 5.

1 La médiatrice de TABU est la droite perpendiculaire à TABU passant par son milieu, que nous allons noter I, avec :

x_{I} D \frac{x_{A} C x_{B}}{2} D \frac{−1 C 3}{2} D 1 et y_{I} D \frac{y_{A} C y_{B}}{2} D \frac{2 C 4}{2} D 3.

On cherche donc une équation cartésienne de la droite ▷m◁, perpendiculaire à ▷AB◁ passant par I ▷1I 3◁.

M▷xI y◁ ∈ ▷m◁⟺ \overrightarrow{IM} · \overrightarrow{AB} D 0

⟺ \binom{x − 1}{y − 3} · \binom{3 − ▷−1◁}{4 − 2} D 0

⟺ 4▷x − 1◁ C 2▷y − 3◁ D 0 ⟺ 4x C 2y − 10 D 0 ⟺ 2x C y − 5 D 0.

Remarque : il n’est pas obligatoire de simplifier au maximum les coefficients d’une équation cartésienne, mais si nous pouvons le faire, c’est mieux... pour avoir les nombres les plus petits possibles.

…

Solution de l’exercice type 2

Lycée Jeanson, Paris

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 251 — #261 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{251} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Cherchons maintenant une équation cartésienne du cercle de diamètre TABU : nous en connaissons le centre I ▷1I 3◁; il nous faut en connaître le rayon. Pour cela, calculons :

\overrightarrow{IA}\binom{−1 − 1}{2 − 3} soit \overrightarrow{IA}\binom{−2}{−1} .

Ainsi,

IA^{2} D ▷−2◁^{2} C ▷−1◁^{2} D 4 C 1 D 5.

Ainsi, l’équation cartésienne canonique du cercle est, d’après la propriété 9 de ce cours :

▷x − 1◁^{2} C ▷y − 3◁^{2} D 5.

3 Recherchons l’ensemble des points M▷xI y◁ tels que :

x^{2} C y^{2} C 2x − 4y − 15 D 0
⟺ (x^{2} C 2x) C (y^{2} − 4y) − 15 D 0
⟺ [▷x C 1◁^{2} − 1] C [▷y − 2◁^{2} − 4] − 15 D 0
⟺ ▷x C 1◁^{2} C ▷y − 2◁^{2} D 20.

Ainsi, cet ensemble est le cercle de centre A▷−1I 2◁ et de rayon R D \sqrt{20}.

Pour vérifier si B appartient à ce cercle, on remplace x et y par les coordonnées du point dans l’équation canonique (par exemple) :

▷x_{B} C 1◁^{2} C ▷y_{B} − 2◁^{2} D 20 ⟺ ▷3 C 1◁^{2} C ▷4 − 2◁^{2} D 20
⟺ 4^{2} C 2^{2} D 20
⟺ 20 D 20.

Les coordonnées de B vérifient l’équation du cercle; par conséquent, B appartient à ce cercle. Ce cercle est donc le cercle de centre A et de rayon AB.

Solution de l’exercice type 2 (suite)

Lycée Jeanson, Paris Voir énoncé page 248

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 252 — #262 INTERROS_{252}
1_{V/F} Vérifications de connaissances Corrigé p. 258 10 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.

1 ABC est un triangle tel que AB D 10, AC D 12 et BC D 20.

L’arrondi à l’unité de la mesure, en degré, de l’angle { \atop BAC} est 131^{∘}. 2 Les cercles C_{1} et C_{2} ont pour équations respectives :

x^{2} C y^{2} − 4x C 2y − 6 D 0 et ▷x − 2◁^{2} C ▷y − 1◁^{2} D 7.
C_{1} et C_{2} ont le même centre.

3 C est le cercle de centre O, l’origine du repère, et de rayon 1 et ▷d◁ est la droite d’équation cartésienne x C y − \sqrt{2} D 0. ▷d◁ est tangente à C.

2_{QCM} Équations de cercles Corrigé p. 259 20 min

Choisir l’unique réponse correcte parmi celles proposées pour chaque question. Dans un repère orthonormal d’origine O, on a : A▷1 I −3◁ et B▷−4 I 0◁. C est le cercle de diamètre TABU.

1 Une équation de C est :

a x^{2} C y^{2} C 3▷x C y◁ D 4

b ( x C \frac{3}{2}) ^{2} C ( y C \frac{3}{2}) ^{2} D 0

c Autre chose

2 Le rayon de ce cercle est :

a 0  b 34  c \frac{\sqrt{34}}{2}

3 Le point E▷1 I 0◁ :

a appartient à ce cercle b n’appartient pas à ce cercle c on ne peut pas savoir

4 Soit un point de C d’abscisse 1.

Soit un (les) point(s) du cercle C d’abscisse 1, et la (les) tangente(s) à C en ce(s) point(s). a Il y a une seule tangente au cercle C passant par un tel point et

elle a pour équation y D −\frac{5}{3}x C \frac{5}{3}.

b Il y a deux tangentes à C en des points d’abscisses 1.
c Il n’y a pas de tangente au cercle en un point d’abscisse 1.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 253 — #263 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{253} CORRIGÉS INTERROS COURS

5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, le cercle d’équation :

x^{2} C y^{2} C 14x − 10y C 48 D 0

a pour périmètre :

a 2π\sqrt{74}  b 52π  c 2π\sqrt{26}

3_{QCM} Parallélogramme et Al-Kashi Corrigé p. 260 20 min

Soit ABCD un parallélogramme de centre O tel que AB D 5, AD D 4 et BD D 7. 1 L’angle { \atop DAB} a pour mesure, arrondie au degré :

a 102^{∘}  b 2^{∘}  c on ne peut pas savoir

2 La diagonale TACU a pour longueur arrondie à l’unité :

a 7  b 33  c 6

3 L’angle { \atop CAB} a pour mesure, arrondie au degré :

a 43^{∘}  b 137^{∘}  c on ne peut pas savoir

4 \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC} D

a 4  b −4  c BA^{2}

Géométrie non analytique

4Calcul de longueur_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 261 ; 10 min ; ⋆

ABC est un triangle. H est le pied de la hauteur issue de A, H ∈ TBCU. On a : AB D 3, BH D 2 et HC D 3.

1 Calculer \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}.

2 En déduire la longueur AC.

5Ligne de niveau_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 262 ; 10 min ; ⋆

Soient A et B deux points du plan tels que AB D 10. Soit I le milieu de TABU.

1 Soit M un point du plan. Montrer que \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D MI^{2} − 25.

2 En déduire l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D 11.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 254 — #264 INTERROS_{254}
6Théorème d’Al-Kashi_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 262 ; 10 min ; ⋆

On considère un cercle C de centre O et de rayon 3. Soient TABU et TACU deux cordes de C telles que AB D 3 et { \atop BAC} D 80°, C appartenant au grand arc AB. 1 Faire une figure. 2 Quelle est la nature du triangle OAB?

En déduire la mesure de l’angle { \atop OAC}, puis la valeur approchée au centième de la longueur AC.

3 En déduire la valeur approchée au centième de l’aire de ABC.

7Relations métriques et suites_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} Corrigé ; p. 263 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

On construit n C 1 points alignés A_{0}, A_{1}, ... , A_{n} tels que A_{k}A_{kC1} D 3. Soit alors S le point tel que A_{0}S D 7 et { \atop A_{1}A_{0}S} D α, où α ∈ [0 I \frac{π}{2} ].

1 Justifier que SA_{2}^{2} D 2SA_{1}^{2} − 31. 2 Justifier que SA_{1}^{2} D 58 − 42 cosα, puis en déduire SA_{1} et SA_{2}. 3 On pose ▷u_{n}◁ la suite définie par u_{0} D 7, u_{1} D \sqrt{58 − 42 cosα} et

u_{n} D SA_{n}.

Montrer que pour tout entier naturel n, u_{nC2} D \sqrt{2u_{nC1}^{2} − u_{n}^{2} C 18} .

4 Proposer un algorithme qui permet d’afficher u_{50}.

8Formule de Héron_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 265 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Soit un triangle ABC, et H le pied de la hauteur issue du sommet B. On note AB = c, AC = b, BC = a et BH = h.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 255 — #265 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{255} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 Exprimer h en fonction de c et sin Â, puis en déduire que l’aire du

triangle ABC est :

A D \frac{1}{2}bc sin Â.

2 À l’aide de la formule d’Al-Kashi, exprimer sin^{2} Â en fonction de a, b

et c. 3 En notant p D \frac{a C b C c}{2} , montrer alors que :

sin^{2} Â D \frac{4p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁}{b^{2}c^{2}} .

4 En déduire alors que :

A D \sqrt{p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁} .

Cette dernière formule est appelée la formule de Héron. 5 Application : calculer l’aire d’un triangle dont les côtés ont pour mesure

7 cm, 12 cm et 9 cm.

Géométrie analytique

9Médiatrices et cercle_{Lycée Pasteur, Paris} Corrigé ; p. 266 ; 15 min ; ⋆

Soit ▷O,I,J ◁ un repère orthonormé. On pose A▷1I 2◁, B▷−1I −2◁ et C▷0I 3◁. 1 Soient K le milieu du segment TACU et L celui de TBCU.

Déterminer les coordonnées des points K et L. 2 Déterminer une équation cartésienne de la droite ▷d_{1}◁, médiatrice de

TACU, et de ▷d_{2}◁, médiatrice de TBCU. 3 En déduire une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle

ABC.

10Équations de droites et de cercles_{Lycée Notre Dame du Grandchamp, Versailles} Corrigé ; p. 268 ; 15 min ; ⋆

Dans un repère orthonormé ▷OI E ı, E ȷ◁, on considère les points A▷1 I −2◁, B▷4 I −1◁ et C▷4 I 4◁. 1 (a) Déterminer une équation de la médiatrice D_{1} de TABU.

(b) Déterminer une équation de la médiatrice D_{2} de TBCU. 2 En déduire une équation du cercle circonscrit à ABC.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 256 — #266 INTERROS_{256}
11Cercle et droites_{Lycée Louis Vincent, Metz} Corrigé ; p. 269 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ▷OI E ı, E ȷ◁, on considère les points A▷−1I 2◁, B▷9I 7◁ et C▷0I −5◁.

1 Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

2 Montrer qu’une équation cartésienne de la droite ▷BC◁ est

4x − 3y − 15 D 0. 3 Montrer qu’une équation cartésienne de la droite ▷1◁ passant par A et

perpendiculaire à ▷BC◁ est 3x C 4y − 5 D 0. 4 À l’aide des résultats des questions précédentes, déterminer les coordon-

nées du point H, projeté orthogonal du point A sur ▷BC◁. 5 Déterminer une équation du cercle ▷0◁ de centre A et tangent à la droite

▷BC◁. 6 Déterminer les abscisses des points d’intersection de ▷0◁ avec l’axe des

abscisses.

12Étude d’un cercle_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 271 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

Déterminer le rayon du cercle passant par A▷2 I −1◁ et B▷1 I 3◁ et dont le centre est sur la droite d’équation :

x C y C 1 D 0.

13Distance d’un point à une droite_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 273 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

Le plan est muni d’un repère orthonormal ▷OI E ı, E ȷ◁.

On considère la droite D d’équation 2x C y C 2 D 0 et le point A▷2I 4◁.

1 Donner un vecteur directeur de D et un vecteur normal à D.

2 Déterminer une équation de la droite 1, perpendiculaire à D, passant

par A. 3 Calculer les coordonnées de H, projeté orthogonal de A sur D.

4 Déterminer une équation du cercle C de diamètre TAHU.

5 Le cercle C coupe l’axe des ordonnées en deux points P ▷x_{P}I y_{P}◁ et Q▷x_{Q}I y_{Q}◁. Déterminer leurs coordonnées, en convenant que y_{Q} > y_{P}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 257 — #267 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{257} CORRIGÉS INTERROS COURS
14Équation d’un cercle_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} Corrigé ; p. 274 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C d’équation :

x^{2} C y^{2} − 6x − 4y − 4 D 0.

1 Déterminer les coordonnées du centre de ce cercle et son rayon.

2 Vérifier que le point A▷−1 I 1◁ appartient à ce cercle et déterminer une

équation de la tangente en A à C. 3 Soit D la droite d’équation x − y D 4.

Déterminer une équation du cercle C′de centre tel que D soit tangente à C′.

Vérifications de connaissances — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 258 — #268 CORRIGÉS_{258}
1_{V/F} Vérifications de connaissances {Énoncé \atop p. 252}

1 D’après le théorème d’Al-Kashi,

BC^{2} D AB^{2} C AC^{2} − 2 × AB × AC × cos({ \atop BAC}).

Donc :

20^{2} D 10^{2} C 12^{2} − 2 × 10 × 12 × cos({ \atop BAC})

⟺ 400 D 100 C 144 − 240 cos({ \atop BAC})
⟺ \frac{400 − 100 − 144}{−240} D cos({ \atop BAC})
⟺ cos({ \atop BAC}) D −\frac{13}{20}
⟺ { \atop BAC} D cos^{−1} ( −\frac{13}{20}) ≈ 130,54^{∘} ≈ 131^{∘}.

L’affirmation est donc vraie.

2 \begin{matrix}C_{1} V & x^{2} C y^{2} − 4x C 2y − 6 D 0 \\ ⟺ & ▷x^{2} − 4x◁ C ▷y^{2} C 2y◁ D 6 \\ ⟺ & ▷x − 2◁^{2} − 4 C ▷y C 1◁^{2} − 1 D 6 \\ ⟺ & ▷x − 2◁^{2} C ▷y C 1◁^{2} D 11. \end{matrix}

Ainsi, le centre de C_{1} est _{1}▷2I −1◁ et celui de C_{∈} est _{2}▷2I 1◁. L’affirmation est donc fausse.

3 L’équation cartésienne canonique de C est : x^{2} C y^{2} D 1. ▷d◁ a pour équation cartésienne : x Cy −\sqrt{2} D 0, ou encore y D \sqrt{2}−x. Si M▷xI y◁ appartient à C et ▷d◁, alors :

x^{2} C ▷\sqrt{2} − x◁^{2} D 1 ⟺ x^{2} C 2 − 2\sqrt{2}x C x^{2} D 1
⟺ 2x^{2} − 2\sqrt{2}x C 1 D 0.

Le discriminant de 2x^{2} − 2\sqrt{2}x C 1 D 0 est :

1 D ▷−2\sqrt{2}◁^{2} − 4 × 2 × 1 D 8 − 8 D 0.

Il admet donc une racine : x_{0} D −\frac{−2\sqrt{2}}{4} D \frac{\sqrt{2}}{2}. La droite et le cercle n’ayant qu’un unique point d’intersection, la droite est tangente au cercle. L’affirmation est alors vraie.

Parallélogramme et Al-Kashi — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 259 — #269

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{259} CORRIGÉS INTERROS COURS

2_{QCM} Équations de cercles {Énoncé \atop p. 252}

1 Réponse a . Le centre du cercle est I, milieu de TABU.

I a pour coordonnées ( \frac{1 − 4}{2} I \frac{−3 C 0}{2} ) , donc I ( −\frac{3}{2} I −\frac{3}{2}) .

Le rayon du cercle est la longueur AI (ou BI).

AI^{2} D ( −\frac{3}{2} − 1) ^{2} C ( −\frac{3}{2} C 3) ^{2}

D \frac{25}{4} C \frac{9}{4} D \frac{34}{4}.

Donc une équation du cercle est ( x C \frac{3}{2}) ^{2} C ( y C \frac{3}{2}) ^{2} D \frac{34}{4}, ou

encore, en développant :

x^{2} C 3x C \frac{9}{4} C y^{2} C 3y C \frac{9}{4} D \frac{34}{4}

On obtient finalement : x^{2} C y^{2} C 3▷x C y◁ D 4.

2 Réponse c . Le carré du rayon est \frac{34}{4}, donc le rayon est \sqrt{\frac{34}{4}} D \frac{\sqrt{34}}{2}.

3 Réponse a . En remplaçant x par 1 et y par 0 dans l’équation du cercle,

on obtient :

1^{2} C 0^{2} C 3▷1 C 0◁ D 1 C 3 D 4

Les coordonnées de E vérifient l’équation du cercle, donc E appartient au cercle C.

4 Réponse b . Si x D 1, on a :

1^{2} C y^{2} C 3▷1 C y◁ D 4

et donc :

y^{2} C 3y D 0

ou, en factorisant :

y▷y C 3◁ D 0

Cette équation a pour solutions 0 et −3, donc il y a deux points du cercle d’abscisse 1, le point E et le point de coordonnées ▷1 I −3◁, et il y a donc deux tangentes.

5 Réponse c . On ramène l’équation du cercle à la forme :

▷x − a◁^{2} C ▷y − b◁^{2} D R^{2}
x^{2} C y^{2} C 14x − 10y C 48 D 0
⟺ ▷x C 7◁^{2} − 49 C ▷y − 5◁^{2} − 25 C 48 D 0
⟺ ▷x C 7◁^{2} C ▷y − 5◁^{2} D 26

Ce cercle a pour centre le point I ▷−7 I 5◁ et pour rayon R D \sqrt{26}. Par suite, son périmètre est 2πR D 2π\sqrt{26}.

Parallélogramme et Al-Kashi — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 260 — #270

CORRIGÉS_{260}

3_{QCM} Parallélogramme et Al-Kashi {Énoncé \atop p. 253}

MÉTHODE

Pour chacune des questions, nous allons utiliser le théorème d’Al-Kashi dans un triangle bien choisi.

1 Réponse a .

BD^{2} D AD^{2} C AB^{2} − 2AD × AB × cos▷{ \atop DAB}◁
49 D 16 C 25 − 40 × cos▷{ \atop DAB}◁

Donc : cos▷{ \atop DAB}◁ D −\frac{8}{40} D −\frac{1}{5}.

À la calculatrice, ceci correspond à un angle d’environ 102^{∘}. 2 Réponse c .

Puisque l’angle { \atop DAB} mesure environ 102^{∘}, l’angle { \atop ABC} mesure environ 180^{∘} − 102^{∘} D 78^{∘}. Cependant, il vaut mieux reprendre la valeur plus précise donnée par la calculatrice. On a alors :

AC^{2} D BA^{2} C BC^{2} − 2BA × BC × cos▷{ \atop ABC}◁

On obtient : AC^{2} D 33 et donc AC ≈ 6. 3 Réponse a .

Calcul de longueur — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 261 — #271

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{261} CORRIGÉS INTERROS COURS

La réponse b est évidemment fausse compte tenu de la valeur de l’angle

{ \atop DAB}. On a :

BC^{2} D AC^{2} C AB^{2} − 2AB × AC × cos▷{ \atop CAB}◁

16 D 33 C 25 − 2 × 5 × \sqrt{33} × cos▷{ \atop CAB}◁

Donc : cos▷{ \atop CAB}◁ D \frac{42}{10\sqrt{33}}.

La calculatrice donne alors { \atop CAB} ≈ 43^{∘}. 4 Réponse a .

On a AC^{2} D BA^{2} C BC^{2} − 2\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}.

Donc \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC} D \frac{25 C 16 − 33}{2} D 4.

4Calcul de longueur_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 253}

1 Voilà une figure approximative :

\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC} D BA × BC × cos▷{ \atop ABC}◁.

Or, cos▷{ \atop ABC}◁ D \frac{HB}{AB} D \frac{2}{3} (dans le triangle ABH rectangle en H).

Donc \overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC} D 3 × ▷2 C 3◁ × \frac{2}{3} D 10.

Théorème d’Al-Kashi — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 262 — #272 CORRIGÉS_{262}

2 On a :

AC^{2} D BA^{2} C BC^{2} − 2\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{BC}
AC^{2} D 9 C 25 − 20
AC^{2} D 14
AC D \sqrt{14}

Remarque : on pourrait aussi pu calculer AC à l’aide du théorème de Pythagore dans AHB pour trouver AH, puis dans AHC pour trouver AC. Cette méthode nous sert juste pour nous familiariser avec le théorème d’Al-Kashi.

5Ligne de niveau_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 253}

1 \overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB}D (\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA}) · (\overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IB})

D \overrightarrow{MI}^{2} C \overrightarrow{MI} · \overrightarrow{IB} C \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{MI} C \overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB}

D MI^{2} C \overrightarrow{MI} · \underbrace{(\overrightarrow{IB} C \overrightarrow{IA})}_{DE 0}C\overrightarrow{IA} · \overrightarrow{IB}

D MI^{2} − IA × IB

(car \overrightarrow{IA} et \overrightarrow{IB} sont colinéaires de sens opposés)

D MI^{2} − 5 × 5

D MI^{2} − 25.

2 \begin{aligned}\overrightarrow{MA}· \overrightarrow{MB} D 11 & ⟺ MI^{2} − 25 D 11 \\ & ⟺ MI^{2} D 36 \\ & ⟺ MI D 6. \end{aligned}

L’ensemble des points M est donc l’ensemble des points à une distance de 6 du point : c’est le cercle de centre I et de rayon 6.

6Théorème d’Al-Kashi_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 254}

1 La figure est mise page ci-contre, en fin d’exercice. 2 OA D OB D AB donc OAB est un triangle équilatéral. On en déduit

que { \atop OAB} D 60°et donc que { \atop OAC} D 20°. Or, AOC est isocèle en O car OA D OC donc :

{ \atop AOC} D 180°− 2 × 20°D 140°.

Relations métriques et suites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 263 — #273

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{263} CORRIGÉS INTERROS COURS

Le théorème d’Al-Kashi appliqué au triangle OAC donne :

AC^{2} D OA^{2} C OC^{2} − 2 × OA × OC × cos { \atop AOC}
D 9 C 9 − 18 cos(140°◁
soit AC ≈ 5,64.

3 Aire▷ABC◁D \frac{1}{2} × AB × AC × sin { \atop CAB}

≈ \frac{1}{2} × 3 × 5,64 × sin80°

≈ 8,33.

7Relations métriques et suites_{Lycée Gustave Eiffel, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 254}

1 Le théorème de la médiane appliqué dans le triangle SA_{0}A_{2} donne :

SA_{0}^{2} C SA_{2}^{2} D 2SA_{1}^{2} C \frac{A_{0}A_{2}^{2}}{2}

ce qui donne :

49 C SA_{2}^{2} D 2SA_{1}^{2} C 18 ⟺ SA_{2}^{2} D 2SA_{1}^{2} − 31.

2 Le théorème d’Al-Kashi appliqué au triangle SA_{0}A_{1} donne :

SA_{1}^{2} D SA_{0}^{2} C A_{1}A_{0}^{2} − 2 × SA_{0} × A_{0}A_{1} × cosα
SA_{1}^{2} D 49 C 9 − 42 cosα
SA_{1}^{2} D 58 − 42 cosα.

On en déduit alors que :

SA_{1} D \sqrt{58 − 42 cosα} .

Relations métriques et suites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 264 — #274

CORRIGÉS_{264}

De la question précédente, on peut alors déduire :

SA_{2}^{2} D 2▷58 − 42 cosα◁ − 31
SA_{2} D \sqrt{85 − 84 cosα} .

3 Par construction, dans le triangle SA_{n}A_{nC2}, le théorème de la médiane donne :

SA_{n}^{2} C SA_{nC2}^{2} D 2SA_{nC1}^{2} C \frac{A_{n}A_{nC2}^{2}}{2}.

Donc :

SA_{nC2}^{2} D 2SA_{nC1}^{2} − SA_{n}^{2} C 18.

Autrement dit,

u_{nC2} D \sqrt{2u_{nC1}^{2} − u_{n}^{2} C 18} .
4  Algorithme

a ← angle
u ← 7
v ← √ (58-42cos(a))
Pour n allant de 0 à 48:
   w ← \sqrt{2*v*v-u*u+18}
   u ← v
   v ← w
Fin du Pour
Afficher w

En Python

from math import sqrt, cos, pi
a = pi/3 # angle arbittraire
u = 7
v = sqrt(58-42*cos(a))
for n in range(49):
    w = sqrt(2*v*v-u*u+18)
    u = v
    v = w
print(w)

Ce programme affiche : 146.62537297480264.

Formule de Héron — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 265 — #275 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{265} CORRIGÉS INTERROS COURS
8Formule de Héron_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 254}

1 Dans le triangle AHB, rectangle en H, on a : sin Â D \frac{h}{c}, donc h D c × sin Â. L’aire de ABC est :

A D \frac{1}{2} × b × h soit A D \frac{1}{2}bc sin Â.

2 La formule d’Al-Kashi est :

a^{2} D b^{2} C c^{2} − 2bc cos Â ,

ce qui donne :

a^{2} − b^{2} − c^{2} D −2bc cos Â ,

ou encore :

cos Â D \frac{b^{2} C c^{2} − a^{2}}{2bc} .

En élevant au carré, on obtient :

cos^{2} Â D \frac{(b^{2} C c^{2} − a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}} .

Or, cos^{2} Â C sin^{2} Â D 1, donc cos^{2} Â D 1 − sin^{2} Â, ce qui donne :

1 − sin^{2} Â D \frac{(b^{2} C c^{2} − a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}} ,

soit :

sin^{2} Â D 1 − \frac{(b^{2} C c^{2} − a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}} .

3 Développons :

\frac{4p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁}{b^{2}c^{2}}

D \frac{4\frac{a C b C c}{2} ( \frac{a C b C c}{2} − a) ( \frac{a C b C c}{2} − b) ( \frac{a C b C c}{2} − c)}{b^{2}c^{2}}
D \frac{2▷a C b C c◁ ( \frac{b C c − a}{2} ) ( \frac{a − b C c}{2} ) ( \frac{a C b − c}{2} )}{b^{2}c^{2}}
D \frac{▷2bc C b^{2} C c^{2} − a^{2}◁▷2bc C a^{2} − b^{2} − c^{2}◁}{4b^{2}c^{2}}
D \frac{[2bc C ▷b^{2} C c^{2} − a^{2}◁][2bc − ▷b^{2} C c^{2} − a^{2}◁]}{4b^{2}c^{2}}

Médiatrices et cercle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 266 — #276 CORRIGÉS_{266}

D \frac{▷2bc◁^{2} − (b^{2} C c^{2} − a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}
D1 − \frac{(b^{2} C c^{2} − a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}
Dsin^{2} Â.

4 De la question 1, on déduit que :

A^{2} D \frac{1}{4}b^{2}c^{2} sin^{2} Â.

En remplaçant alors sin^{2} Â par l’expression trouvée à la question 3, on obtient :

A^{2} D \frac{1}{4}b^{2}c^{2} × \frac{4p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁}{b^{2}c^{2}}
D p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁.

A étant un nombre positif, en prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient :

A D \sqrt{p▷p − a◁▷p − b◁▷p − c◁} .

5 p D \frac{7 C 9 C 12}{2} D 14 donc :

A D \sqrt{14▷14 − 7◁▷14 − 9◁▷14 − 12◁}
D \sqrt{14 × 7 × 5 × 2}
D \sqrt{980}
A D 14\sqrt{5} cm^{2}.

9Médiatrices et cercle_{Lycée Pasteur, Paris} {Énoncé \atop p. 255}

1 K est le milieu de TACU donc :

x_{K} D \frac{x_{A} C x_{C}}{2} D \frac{1 C 0}{2} D \frac{1}{2} et y_{K} D \frac{y_{A} C y_{C}}{2} D \frac{2 C 3}{2} D \frac{5}{2}.

Ainsi, K ( \frac{1}{2}I \frac{5}{2}) .

L est le milieu de TBCU donc :

x_{L} D \frac{x_{B} C x_{C}}{2} D \frac{−1 C 0}{2} D −\frac{1}{2} et y_{L} D \frac{y_{B} C y_{C}}{2} D \frac{−2 C 3}{2} D \frac{1}{2}.

Ainsi, L ( −\frac{1}{2}I \frac{1}{2}) .

Médiatrices et cercle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 267 — #277 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{267} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Soit M▷xI y◁ un point de ▷d_{1}◁, médiatrice de TACU. Alors,

\overrightarrow{KM} · \overrightarrow{AC} D 0 ⟺ \binom{x − \frac{1}{2}}{y − \frac{5}{2}} · \binom{−1}{1} D 0

⟺ − ( x − \frac{1}{2}) C 1 ( y − \frac{5}{2}) D 0

⟺ −x C \frac{1}{2} C y − \frac{5}{2} D 0

⟺ −x C y − 2 D 0.

Une équation cartésienne de ▷d_{1}◁ est donc : −x C y − 2 D 0.

Soit M▷xI y◁ un point de ▷d_{2}◁, médiatrice de TBCU. Alors,

\overrightarrow{LM} · \overrightarrow{BC} D 0 ⟺ \binom{x C \frac{1}{2}}{y − \frac{1}{2}} · \binom{1}{5} D 0

⟺ ( x C \frac{1}{2}) C 5 ( y − \frac{1}{2}) D 0

⟺ x C \frac{1}{2} C 5y − \frac{5}{2} D 0

⟺ x C 5y − 2 D 0.

Une équation cartésienne de ▷d_{2}◁ est donc : x C 5y − 2 D 0. 3 Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre , le point d’in-

tersection des médiatrices, dont les coordonnées sont les solutions du système :

\{ \begin{matrix}−x C y − 2 D 0 \\ x C 5y − 2 D 0 \end{matrix} .

On résout ce système en ajoutant les deux équations :

▷−x C y − 2◁ C ▷x C 5y − 2◁ D 0 ⟺ 6y − 4 D 0 ⟺ y D \frac{2}{3}

et en remplaçant y par \frac{2}{3} dans la première équation (par exemple) :

−x C \frac{2}{3} − 2 D 0 ⟺ x D −\frac{4}{3}.

D’où ( −\frac{4}{3}I \frac{2}{3}) .

Le rayon du cercle est C (par exemple).

\overrightarrow{C} \binom{0 C \frac{4}{3}}{3 − \frac{2}{3}} ⟺ \overrightarrow{C} ( \frac{4}{3} \frac{7}{3}) .

Ainsi,

C^{2} D ( \frac{4}{3}) ^{2} C ( \frac{7}{3}) ^{2} D \frac{16 C 49}{9} D \frac{65}{9}.

Équations de droites et de cercles — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 268 — #278 CORRIGÉS_{268}

L’équation cartésienne canonique du cercle circonscrit au triangle ABC est alors :

( x C \frac{4}{3}) ^{2} C ( y − \frac{2}{3}) ^{2} D \frac{65}{9}.

10Équations de droites et de cercles_{Lycée Notre Dame du Grandchamp, Versailles} {Énoncé \atop p. 255}

1 (a) La médiatrice de TABU est la droite qui passe par le milieu I de TABU et qui est perpendiculaire à ▷AB◁.

On a : I ( \frac{1 C 4}{2} I \frac{−2 − 1}{2} ) , donc I ( \frac{5}{2} I −\frac{3}{2}) .

Par ailleurs, \overrightarrow{AB}▷3 I 1◁.

M ∈ D_{1} ⟺ \overrightarrow{IM} · \overrightarrow{AB} D 0

⟺ ( x − \frac{5}{2}) × 3 C ( y C \frac{3}{2}) × 1 D 0

⟺ 3x C y − \frac{15}{2} C \frac{3}{2} D 0

⟺ 3x C y − 6 D 0

Une équation de D_{1} est donc 3x C y − 6 D 0.

(b) La médiatrice de TBCU est la droite qui passe par le milieu J de TBCU et qui est perpendiculaire à ▷BC◁.

On a : J ( \frac{4 C 4}{2} I \frac{4 − 1}{2} ) , donc J ( 4 I \frac{3}{2}) .

Par ailleurs, \overrightarrow{BC}▷0 I 5◁.

M ∈ D_{2} ⟺ \overrightarrow{J M} · \overrightarrow{BC} D 0

⟺ ▷x − 4◁ × 0 C ( y − \frac{3}{2}) × 5 D 0

⟺ y − \frac{3}{2} D 0

⟺ y D \frac{3}{2}

Une équation de D_{2} est donc y D \frac{3}{2}.

(c) Le point d’intersection K de ces deux droites vérifie :

\{ \begin{matrix}y D \frac{3}{2} \\ 3x C y − 6 D 0 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}y D \frac{3}{2} \\ x D \frac{3}{2} \end{matrix}

Cercle et droites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 269 — #279 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{269} CORRIGÉS INTERROS COURS

Donc K ( \frac{3}{2} I \frac{3}{2}) est, par propriété (intersection des médiatrices),

le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Il reste à trouver le rayon de ce cercle, en calculant par exemple KA.

KA D \sqrt{( 1 − \frac{3}{2}) ^{2} C ( −2 − \frac{3}{2}) ^{2}} D \sqrt{\frac{25}{2}}.

L’équation du cercle circonscrit au triangle ABC est donc :

( x − \frac{3}{2}) ^{2} C ( y − \frac{3}{2}) ^{2} D \frac{25}{2}.

11Cercle et droites_{Lycée Louis Vincent, Metz} {Énoncé \atop p. 256}

1 La figure complète se trouve en fin de corrigé.

2 Soit M▷xI y◁ un point de ▷BC◁. Alors, \overrightarrow{BM} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.

Or, \overrightarrow{BM}\binom{x − 9}{y − 7} et \overrightarrow{BC}\binom{0 − 9}{−5 − 7} , soit \overrightarrow{BC}\binom{−9}{−12} .

\overrightarrow{BM} et \overrightarrow{BC} colinéaires ⟺ −12▷x − 9◁ − ▷−9◁▷y − 7◁ D 0
⟺ −12x C 108 C 9y − 63 D 0
⟺ −12x C 9y C 45 D 0
⟺ −3▷4x − 3y − 15◁ D 0
⟺ 4x − 3y − 15 D 0 car − 3 D̸ 0.

Une équation cartésienne de ▷BC◁ est donc 4x − 3y − 15 D 0. 3 ▷1◁ ⊥ ▷BC◁ et A ∈ ▷1◁ donc, pour tout point M▷xI y◁ ∈ ▷1◁ :

\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{BC} D 0 ⟺ \binom{x − ▷−1◁}{y − 2} · \binom{−9}{−12} D 0
⟺ −9▷x C 1◁ − 12▷y − 2◁ D 0
⟺ −9x − 12y − 9 C 24 D 0
⟺ −9x − 12y C 15 D 0
⟺ −3▷3x C 4y − 5◁ D 0
⟺ 3x C 4y − 5 D 0 car − 3 D̸ 0.

Une équation cartésienne de ▷1◁ est donc 3x C 4y − 5 D 0. 4 H est le projeté orthogonal de A sur ▷BC◁ donc ▷AH◁ ⊥ ▷BC◁ et

H ∈ ▷BC◁. H est donc l’intersection de ▷1◁ et ▷BC◁. Pour trouver ses coordonnées, on doit résoudre le système formé par les équations de ces deux droites.

Cercle et droites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 270 — #280 CORRIGÉS_{270}

\{ \begin{matrix}4x − 3y − 15 D 0 & L_{1} \\ 3x C 4y − 5 D 0 & L_{2} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}16x − 12y − 60 D 0 & L′_{1} ← 4L_{1} \\ 9x C 12y − 15 D 0 & L′_{2} ← 3L_{2} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}25x − 75 D 0 & L′_{1} ← L′_{1} C L′_{2} \\ 3x C 4y − 5 D 0 & L_{2} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D \frac{75}{25} D 3 \\ 3 × 3 C 4y − 5 D 0 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D 3 \\ y D \frac{5 − 9}{4} D −1 \end{matrix}

Ainsi, H▷3I −1◁. 5 Le cercle ▷0◁ étant tangent à ▷BC◁ et ayant pour centre A, son rayon est

égal à AH.

AH D \sqrt{▷x_{H} − x_{A}◁^{2} C ▷y_{H} − y_{A}◁^{2}}
D \sqrt{▷3 C 1◁^{2} C ▷−1 − 2◁^{2}}
D \sqrt{16 C 9}
AH D 5.

Une équation cartésienne de ▷0◁ est donc :

▷x − x_{A}◁^{2} C ▷y − y_{A}◁^{2} D 5^{2}

soit :

▷x C 1◁^{2} C ▷y − 2◁^{2} D 25.

6 Les points d’intersection de ▷0◁ avec l’axe des abscisses sont les points de ▷0◁ d’ordonnée nulle, donc leur abscisse vérifie :

▷x C 1◁^{2} C ▷0 − 2◁^{2} D 25

soit, après simplification :

x^{2} C 2x − 20 D 0,

équation dont le discriminant est égal à 2^{2} − 4 × 1 × ▷−20◁ D 84 > 0, donc ayant deux solutions distinctes :

x_{1} D \frac{−2 − \sqrt{84}}{2} D \frac{−2 − \sqrt{4 × 21}}{2} D \frac{−2 − 2\sqrt{21}}{2} D −1 − \sqrt{21}

et donc :

x_{2} D −1 C \sqrt{21}.

Étude d’un cercle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 271 — #281 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{271} CORRIGÉS INTERROS COURS

12Étude d’un cercle_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 256}

Le cercle que l’on doit déterminer passe par les deux points A▷2 I −1◁ et B▷1 I 3◁. Le centre appartient à la médiatrice de TABU. Étudions le schéma suivant :

Le milieu de TABU est I ( \frac{3}{2} I 1) . Cherchons une équation de la médiatrice de TABU, écrivons pour cela qu’avec I, milieu de TABU, le point M▷x I y◁ est

Étude d’un cercle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 272 — #282 CORRIGÉS_{272}

sur la médiatrice si et seulement si :

\overrightarrow{IM} · \overrightarrow{AB} D 0

Or \overrightarrow{IM} a pour coordonnées :

( x − \frac{3}{2} I y − 1)

et \overrightarrow{AB} a pour coordonnées ▷−1 I 4◁, donc une équation de la médiatrice de TABU est :

− ( x − \frac{3}{2}) C 4▷y − 1◁ D 0

Soit :

x − 4y C \frac{5}{2} D 0

Déterminons-en alors l’intersection avec la droite donnée :

\{ \begin{matrix}x C y C 1 D 0 \\ x − 4y C \frac{5}{2} D 0 \end{matrix}

En faisant la différence des deux équations, nous obtenons :

5y − \frac{3}{2} D 0

Donc :

y D \frac{3}{10} et x D −\frac{13}{10}

sont les coordonnées du centre du cercle. Notons ce centre :

( −\frac{13}{10} I \frac{3}{10})

Et

r D ∥\overrightarrow{B} ∥

Donc :

∥ B∥^{2} D r^{2} D ( 1 C \frac{13}{10}) ^{2} C ( 3 − \frac{3}{10}) ^{2} D \frac{1258}{100}

D’où :

r D \sqrt{12,58} ≈ 3,55

Distance d’un point à une droite — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 273 — #283

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{273} CORRIGÉS INTERROS COURS

13Distance d’un point à une droite_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 256}

1 Par définition, un vecteur directeur de la droite D d’équation 2xCyC2 D

0 est \overrightarrow{u} \binom{−1}{2} , et un vecteur normal est \overrightarrow{n} \binom{2}{1} .

MÉTHODE

Pour rappel, la droite d’équation ax Cby Cc D 0 admet pour vecteur

directeur \overrightarrow{u} \binom{−b}{a} et pour vecteur normal \overrightarrow{n} \binom{a}{b} .

2 1 est perpendiculaire à D donc un vecteur directeur de 1 est \overrightarrow{n} . Ainsi, une équation cartésienne de 1 est de la forme 1x −2y Cc D 0, où c ∈ ℝ. Or, A ∈ 1 donc x_{A} − 2y_{A} C c D 0, soit 2 − 2 × 4 C c D 0. On obtient alors c D 6. Une équation cartésienne de 1 est donc x − 2y C 6 D 0.

3 Par définition, H est le point d’intersection de D et 1. Ses coordonnées sont donc solutions du système :

\{ \begin{matrix}2x C y C 2 D 0 & ▷L_{1}◁ \\ x − 2y C 6 D 0 & ▷L_{2}◁ \end{matrix}

▷L_{1}◁ − 2▷L_{2}◁ ⟺ ▷2x C y C 2◁ − 2▷x − 2y C 6◁ D 0
⟺ 5y D 10
⟺ y D 2.

Équation d’un cercle — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 274 — #284 CORRIGÉS_{274}
2▷L_{1}◁ C ▷L_{2}◁ ⟺ 2▷2x C y C 2◁ C ▷x − 2y C 6◁ D 0
⟺ 5x D −10
⟺ x D −2.

Ainsi, H▷−2I 2◁. 4 Le centre I du cercle C est le milieu de TAHU, et a pour coordonnées :

( \frac{x_{A} C x_{H}}{2} I \frac{y_{A} C y_{H}}{2} ) D ( \frac{2 C ▷−2◁}{2} I \frac{4 C 2}{2}) D ▷0I 3◁.

Le carré du rayon de C est :

IA^{2} D ▷2 − 0◁^{2} C ▷4 − 3◁^{2} D 4 C 1 D 5.

Une équation cartésienne de C est donc :

x^{2} C ▷y − 3◁^{2} D 5.

5 Les points d’intersection de C avec d’axe des ordonnées ont une abscisse nulle. On remplace donc x par 0 dans l’équation de C pour trouver les valeurs de y qui satisfont cette équation :

▷y − 3◁^{2} D 5 ⟺ y − 3 D −\sqrt{5}  ou  y − 3 D \sqrt{5}
⟺ y D 3 − \sqrt{5}  ou  y D 3 C \sqrt{5}.

Ainsi, P ▷0I 3 − \sqrt{5}◁ et Q▷0I 3 C \sqrt{5}◁.

14Équation d’un cercle_{Lycée Notre-Dame-du-Grandchamp, Versailles} {Énoncé \atop p. 257}

1 On considère que x^{2} − 6x est le début d’un carré parfait, et de même que y^{2} − 4y est le début d’un carré parfait. On obtient donc :

x^{2} − 6x C 9 D ▷x − 3◁^{2} et x^{2} − 6x D ▷x − 3◁^{2} − 9I
y^{2} − 4y C 4 D ▷y − 2◁^{2} et y^{2} − 4y D ▷y − 2◁^{2} − 4.

Finalement :

x^{2} C y^{2} − 6x − 4y − 4 D ▷x − 3◁^{2} − 9 C ▷y − 2◁^{2} − 4 − 4 D 0.

Donc :

▷x − 3◁^{2} C ▷y − 2◁^{2} D 17.

a donc pour coordonnées ▷3 I 2◁, et le rayon du cercle est \sqrt{17}. 2 En remplaçant x et y dans le premier membre de l’équation du cercle

par les coordonnées de A, on obtient :

▷−1 − 3◁^{2} C ▷1 − 2◁^{2} D 4^{2} C 1^{2} D 17.

Donc, puisque les coordonnées de A vérifient l’équation du cercle, A appartient bien au cercle.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 275 — #285 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE CHAP. 8_{275} CORRIGÉS INTERROS COURS

La tangente en A à C passe par A et est perpendiculaire au rayon A. Par conséquent, M▷x I y◁ appartient à cette tangente si et seulement si :

\overrightarrow{AM} · \overrightarrow{A} D 0 ⟺ ▷x C 1◁ × ▷−1 − 3◁ C ▷y − 1◁ × ▷1 − 2◁ D 0
⟺ −4x − 4 − y C 1 D 0
⟺ y D −4x − 3.

3 D est tangente à C′ si D est perpendiculaire au rayon de C′ ayant un point commun H avec D. Un vecteur directeur de D est E u▷1 I 1◁. On doit donc avoir : \overrightarrow{H} · E uD 0. Il faut donc trouver les coordonnées du point H intersection de C′avec D. Les coordonnées ▷x I y◁ de H vérifient :

\{ \begin{matrix}x − y D 4 \\ \binom{x − 3}{y − 2} · \binom{1}{1} D 0 \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}x − y D 4 \\ ▷x − 3◁ × 1 C ▷y − 2◁ × 1 D 0 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}y D x − 4 \\ x − 3 C x − 6 D 0 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}y D x − 4 \\ x D \frac{9}{2} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}x D \frac{9}{2} \\ y D \frac{1}{2} \end{matrix}

Le point H a donc pour coordonnées ( \frac{9}{2} I \frac{1}{2}) .

Calculons H^{2} pour avoir le carré du rayon du cercle :

H^{2} D ( \frac{9}{2} − 3) ^{2} C ( \frac{1}{2} − 2) ^{2} D \frac{9}{2}.

Le cercle C′a donc pour équation :

▷x − 3◁^{2} C ▷y − 2◁^{2} D \frac{9}{2}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 8 page 276 — #286

Probabilités conditionnelles

Plan du chapitre

1. Conditionnement

2. Indépendance

3. Formule des probabilités totales

4. Succession de deux épreuves indépendantes

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

Un laboratoire propose un test de dépistage d’une maladie. Ce test présente les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu’un individu atteint de cette maladie ait un test positif est 0,95.

la probabilité qu’un individu non atteint par cette maladie ait un test négatif est aussi 0,95.

On choisit un individu au hasard et on note M l’événement « l’individu est malade » et T l’événement « le test est positif ».

1 On réalise un dépistage dans une population donnée dans laquelle la proportion d’individus atteints de la maladie est 0,001.

(a) Construire un arbre représentant cette situation.

(b) Calculer la probabilité de l’événement T.

(c) Calculer la probabilité qu’un individu présentant un test positif soit atteint de la maladie. Cette probabilité est appelée valeur prédictive du test.

2 On veut étudier les variations de cette valeur prédictive selon la proportion d’individus atteints de la maladie dans la population.

(a) On considère une population à risque pour la maladie considérée : dans cette population, un quart des individus sont atteints. Quelle est alors la valeur prédictive du test?

(b) On considère maintenant une population dans laquelle la proportion d’individus atteints de la maladie est x. Déterminer en fonction de x la valeur prédictive du test pour cette population. Pour quelle valeur de x un individu dont le test est positif a-t-il autant de chance d’être malade que d’être sain?

Exercice type

Lycée Virlogeux, Riom Voir corrigé page 280

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 278 — #288 COURS_{278}

1 Conditionnement

Définition 1

A et B sont deux événements d’un univers tels que p▷A◁ D̸ 0. La probabilité de l’événement B sachant A, notée p_{A}▷B◁ est :

p_{A}▷B◁ D \frac{p▷A ∩ B◁}{p▷A◁}.

Remarques La probabilité de B sachant A est la probabilité que B soit réalisé dans l’univers A. Dans le cas d’équiprobabilité,

p_{A}▷B◁ D \frac{nombre d’événements élémentaires de A ∩ B}{nombre d’événements élémentaires de A} .

À RETENIR Pour calculer p_{A}▷B◁, vous pouvez :

soit utiliser la définition si vous connaissez p▷A ∩ B◁ et p▷A◁; soit déterminer les résultats qui réalisent A et, parmi ceux-ci, calculer la probabilité de ceux qui réalisent B.

Propriété 1

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles. Alors, p▷A∩B◁ D p_{A}▷B◁ × p▷A◁ D p_{B}▷A◁ × p▷B◁.

Théorème 1

Soient A et B deux événements, avec P ▷A◁ D̸ 0. Alors :

p_{A}▷B◁ C p_{A}▷\overline{B}◁ D 1.

2 Indépendance

Définition 2

Soit p une probabilité définie sur un univers . Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si et seulement si :

p▷A ∩ B◁ D p▷A◁ × p▷B◁.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 279 — #289 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{279} CORRIGÉS INTERROS COURS

Propriété 2

Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si :

p_{A}▷B◁ D p▷B◁  ou  p_{B}▷A◁ D p▷A◁.

Propriété 3

Si A et B sont indépendants, alors N Aet B, A et N B, et N Aet N Ble sont aussi.

3 Formule des probabilités totales

Définition 3

Les événements E_{1}, …,E_{n} forment une partition de si et seulement si :

les E_{i} sont deux à deux incompatibles (E_{i} ∩ E_{j} D ∅ pour i D̸ j),

aucun des E_{i} n’est impossible (E_{i} D̸ ∅ pour tout entier i),

et la réunion des E_{i} est l’univers (E_{1} ∪ E_{2} ∪ ⋯∪ E_{n} D ).

Remarque : on dit aussi que ▷E_{1}, …,E_{n}◁ forment un système complet d’événements.

Théorème 2 : formule des probabilités totales

Soit p une probabilité définie sur un univers et E_{1}, …,E_{n} un système complet d’événements, alors pour tout événement B :

p▷B◁ D p▷B ∩ E_{1}◁ C p▷B ∩ E_{2}◁ C ⋯p▷B ∩ E_{n}◁.

Remarque : cette dernière formule revient aussi à écrire :

p▷B◁ D p_{E_{1}}▷B◁p▷E_{1}◁ C p_{E_{2}}▷B◁p▷E_{2}◁ C ⋯p_{E_{n}}▷B◁p▷E_{n}◁.

Dans le cas d’une partition à deux événements A et D, on peut schématiser la formule des probabilités totales ainsi :

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 280 — #290 COURS_{280}

4 Succession de deux épreuves indépendantes

Imaginons une épreuve à 2 issues (A et \overline{A} par exemple) que l’on répète deux fois de façon indépendante, c’est-à-dire que les issues de la seconde fois ne sont nullement influencées par celles de la première fois. Alors, la situation peut se représenter par l’arbre suivant :

Ainsi, la probabilité d’obtenir deux fois l’événement A est p^{2}; la probabilité d’obtenir une seule fois l’événement A est D 2p▷1 − p◁; la probabilité de ne pas obtenir l’événement A est ▷1 − p◁^{2}.

Exemple : on lance un dé cubique équilibré deux fois de suite, en considérant que les lancers sont indépendants.

On pose A : « obtenir un multiple de 3. » Ainsi, p D p▷A◁ D \frac{1}{3}.

La probabilité d’obtenir un multiple de 3 une seule fois sur les deux lancers est :

2p▷1 − p◁ D 2 × \frac{1}{3} × \frac{2}{3} D \frac{4}{9}.

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

1 (a) On peut représenter la situation par l’arbre ci-dessous :

…

Solution de l’exercice type

Lycée Virlogeux, Riom

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 281 — #291 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{281} CORRIGÉS INTERROS COURS
(b) \begin{matrix}P ▷T ◁ \\ D P ▷M ∩ T ◁ C P ▷\overline{M} ∩ T ◁ \end{matrix} ; D 0,001 × 0,95 C 0,999 × 0,05 ; D 0,0509.

(c) On a : P_{T}▷M◁ D \frac{P ▷T ∩ M◁}{P ▷T ◁}D \frac{0,001 × 0,95}{0,0509} ≈ 0,0187.

2 (a) On obtient le nouvel arbre :

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient :

P_{T}▷M◁ D \frac{P ▷T ∩ M◁}{P ▷T ◁}D \frac{0,25 × 0,95}{0,25 × 0,95 C 0,75 × 0,05} ≈ 0,864.

(b) On obtient maintenant cet arbre :

En faisant le même calcul que précédemment, on obtient :

P_{T}▷M◁ D \frac{P ▷T ∩ M◁}{P ▷T ◁}D \frac{x × 0,95}{x × 0,95 C ▷1 − x◁ × 0,05} D \frac{0,95x}{0,05 C 0,9x} .

\frac{0,95x}{0,05 C 0,9x} D 0,5 ⟺ 0,95x D 0,45x C 0,025
⟺ 0,5x D 0,025
⟺ x D 0,05.

Conclusion : un individu dont le test est positif a autant de chance d’être malade que sain lorsque 5% de la population est atteinte par cette maladie.

Solution de l’exercice type (suite)

Lycée Virlogeux, Riom Voir énoncé page 277

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 282 — #292 INTERROS_{282}
1_{QCM} Propriétés des probabilités Corrigé p. 292 15 min

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. 1 A et B sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que

p▷A◁ D 0,3, p_{A}▷B◁ D 0,4 et p N A▷B◁ D 0,2.

a p▷B◁ D 0,26 b p▷A ∩ B◁ D 0,4 c p▷A ∪ B◁ D \frac{109}{130}

2 A et B sont des événements relatifs à une même épreuve tels que p▷A◁ D 0,6, p▷A ∪ B◁ D 0,8 et p▷A ∩ B◁ D p▷A◁p▷B◁. Alors

a p▷A ∩ B◁ D 0,48 b p▷B◁ D 0,2  c p_{A}▷B◁ D 0,5

3 A et B sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que p▷A ∩ B◁ D 0,8 et p_{A}▷B◁ D 0,25.

a p▷A◁ D 0,2 b C’est impossible c p▷B◁ D 0,9

4 A et B sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que p▷A ∩ B◁ D 0,12 et p▷ N A∩ B◁ D 0,36.

a p_{B}▷A◁ D 0,24  b p_{B}▷A◁ D 0,48  c p_{B}▷A◁ D 0,25

2_{V/F} Interprétation d’un arbre Corrigé p. 292 15 min

On a résumé des informations d’une expérience dans l’arbre ci-dessous :

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses? 1 p_{A}▷D◁ D 0,2 2 p▷C◁ D 0,2 3 p▷B◁ D 0,14

4 p_{D}▷A◁ D \frac{5}{16}

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 283 — #293 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{283} CORRIGÉS INTERROS COURS
3_{QCM} D’après un sujet de bac Corrigé p. 293 10 min

Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. Les élèves de deux classes de 1^{re} (désignées par 1^{re}A et 1^{re} B) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en NSI, SVT, Math) de la façon suivante :

Spécialité 1^{re} A 1^{re} B Total
NSI 16  8  24
SVT 12  14  26
Math  6  10  16
Total 34  32  66

On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les quatre questions suivantes :

1 La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la 1^{re} A est égale à :

a \frac{1}{66}  b \frac{1}{34}  c \frac{17}{33}

2 La probabilité que l’élève interrogé suive l’enseignement de spécialité Math ou appartienne à la 1^{re} A est égale à :

a \frac{2}{3}  b \frac{25}{33}  c \frac{1}{11}

3 La probabilité que l’élève interrogé suive la spécialité Math sachant qu’il appartient à la 1^{re} A est égale à :

a \frac{1}{34}  b \frac{1}{11}  c \frac{3}{17}

4 La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la 1^{re} A sachant qu’il suit la spécialité Math est égale à :

a \frac{3}{17}  b \frac{14}{17}  c \frac{3}{8}

4_{V/F} Événements indépendants Corrigé p. 293 10 min

Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui sont exactes?

1 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. La probabilité d’obtenir face au dixième lancer sachant qu’on a obtenu pile à tous les lancers précédents est strictement supérieure à 0,5.

2 Si A et B sont deux événements définis sur le même espace probabilisé

tels que P ▷A◁ D \frac{2}{3}, P ▷B◁ D \frac{3}{5} et P ▷A∩\overline{B}◁ D \frac{4}{15}, alors les événements A et B sont indépendants.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 284 — #294 INTERROS_{284}

3 (a) Dans une classe de terminale S, les trois quarts des élèves sont des filles. Une fille sur trois a son permis de conduire du premier coup alors que cela n’est le cas que d’un garçon sur dix. On interroge au hasard un élève de la classe. La probabilité qu’il ait eu son permis du premier coup est 0,275.

(b) On interroge un élève ayant eu son permis du premier coup. La probabilité que ce soit un garçon est 0,1.

Conditionnement

5Notations_{Lycée La Source, Meudon} Corrigé ; p. 294 ; 5 min ; ⋆

Dans une population, on choisit une personne au hasard et on considère les événements suivants :

F : « la personne choisie est une femme »

H : « la personne choisie est un homme »

R : « la personne choisie est retraitée »

Donnez la notation correspondant à chacune des probabilités suivantes : 1 Parmi les femmes, 25% sont des retraitées.

2 Un tiers des hommes sont retraités.

3 Chez les personnes retraitées, 45% sont des femmes.

4 Lorsqu’on interroge un homme, la probabilité pour que ce ne soit pas un retraité est 67%.

6Centre de vacances_{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} Corrigé ; p. 295 ; 15 min ; ⋆

Un centre de vacances accueillant 200 adolescents propose deux activités : équitation et tir à l’arc. Les adolescents peuvent s’inscrire à une, deux ou aucune activité(s). 73% choisissent de s’inscrire à l’équitation, 66% s’inscrivent au tir à l’arc, et parmi ces derniers, 75% se sont aussi inscrits à l’équitation. On choisit au hasard un adolescent et on note les événements :

E : « l’adolescent fait de l’équitation »

T : « l’adolescent fait du tir à l’arc »

1 À l’aide des événements E et T, traduire en terme de probabilité les informations données dans l’énoncé.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 285 — #295 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{285} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Compléter le tableau d’effectifs suivant :

E  \overline{E}  Total

T / (\overline{T})

Total  200

3 Pierre est inscrit à l’équitation. Quelle est la probabilité qu’il ne fasse

pas de tir à l’arc? 4 Juliette est inscrite au tir à l’arc. Quelle est la probabilité qu’elle fasse

aussi de l’équitation? 5 Quelle est la probabilité que l’adolescent ne fasse aucune activité?

6 Quelle est la probabilité que l’adolescent fasse au moins l’une des deux activités?

7Arbre pondéré_{Lycée Virlogeux, Riom} Corrigé ; p. 295 ; 20 min ; ⋆

Dans une ville , une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants :

70 % des ménages pratiquent le tri sélectif; parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio; parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio.

On choisit un ménage au hasard (tous les ménages ayant la même probabilité d’être choisis) et on note :

T l’événement « le ménage pratique le tri sélectif » et N Tson événement contraire; B l’événement « le ménage consomme des produits bio » et N Bson événement contraire.

Les résultats seront donnés sous forme décimale.

1 Donner sans justification la probabilité p▷T ◁ de l’événement T.

2 Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

3 (a) Calculer la probabilité de l’événement : « le ménage pratique le tri

sélectif et consomme des produits bio »

(b) Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits

bio est égale à 0,31. 4 Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il

consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième).

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 286 — #296 INTERROS_{286}
8Pannes électroniques_{Lycée Voltaire, Paris} Corrigé ; p. 296 ; 20 min ; ⋆

Une entreprise fabrique des appareils électroniques. La probabilité pour qu’un appareil ainsi fabriqué fonctionne parfaitement est \frac{9}{10}.

1 On note F l’événement :« l’appareil fonctionne parfaitement », et \overline{F}

l’événement contraire de F. Calculer la probabilité de l’événement \overline{F}. 2 On fait subir à chaque appareil un test avant la livraison; on constate

que :

quand un appareil est en parfait état de fonctionnement, il est toujours accepté à l’issue du test. quand un appareil n’est pas en parfait état de fonctionnement, il peut être néanmoins accepté avec une probabilité de \frac{1}{11}. On note T l’événement « l’appareil est accepté à l’issue du test ».

(a) Montrer que les probabilités des événements « T et F » et « T et \overline{F} » sont respectivement égales à \frac{9}{10} et \frac{1}{110}.

(b) En déduire la probabilité de T.

(c) Calculer la probabilité de F sachant T.

9Génétique_{Lycée Stanislas, Paris} Corrigé ; p. 297 ; 30 min ; ⋆

Une population est constituée de 100 personnes (40 hommes et 60 femmes) telles que :

50 personnes ont les yeux bleus, 60 % des hommes ont les yeux bleus.

On choisit au hasard une personne. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. Calculer, sous forme de fraction irréductible, les probabilités des événements suivants : 1 A : « Avoir choisi un homme ». 2 B : « Avoir choisi un homme aux yeux bleus ». 3 C : « Avoir choisi une femme aux yeux bleus ». 4 D : « Avoir choisi une personne aux yeux bleus, sachant que c’est une

femme ». 5 E : « Avoir choisi une femme, sachant que c’est une personne ayant les

yeux bleus ».

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 287 — #297 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{287} CORRIGÉS INTERROS COURS
10Vaccin et maladie_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 298 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

Un vaccin contre une maladie contagieuse n’est pas toujours totalement efficace. Une étude réalisée sur un grand nombre d’individus a montré que :

30% de la population sont vaccinés;

un individu vacciné contracte la maladie une fois sur cinq; un individu non vacciné contracte la maladie dans un cas sur trois.

On choisit au hasard un individu de la population. On note :

V : « l’individu choisi est vacciné »

M : « l’individu choisi est malade » Représentez la situation par un arbre pondéré. Déterminer la probabilité qu’un individu soit malade.

11Arbre pondéré_{Lycée Galilée, Gennevilliers} Corrigé ; p. 299 ; 40 min ; ⋆ ; ⋆

Pour payer ses études de médecine, Watson est gardien de nuit dans une grande résidence de 100 appartements. Celle-ci est munie d’un système antiintrusion (antivol) ultra-moderne, mais qui provoque quelquefois de fausses alarmes. D’après le constructeur du système, la probabilité d’une fausse alarme, c’està-dire que l’alarme se déclenche alors qu’il n’y a pas d’intrusion, est de 0,02. Par ailleurs, les statistiques sur les trois dernières années montrent que :

Année  1999 2000 2001

Nombre d’intrusions 28 30

26

Nombre d’intrusions qui ont déclenché l’alarme 25 28

23

On effectuera tous les calculs avec une précision de 0,001.

1 D’après ces données, et en interprétant les fréquences statistiques comme des probabilités, montrer que :

(a) La probabilité d’avoir une intrusion un jour quelconque de l’année est de 0,077 (à 0,001 près).

(b) La probabilité qu’il y ait une intrusion et que l’alarme se déclenche est de 0,069 (à 0,001 près).

2 Quelle est la probabilité que l’alarme se déclenche sachant qu’il y a eu une intrusion?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 288 — #298 INTERROS_{288}

3 Représenter les résultats précédents sous forme d’arbre pondéré.

Quelle est la probabilité que l’alarme se déclenche? 4 Une nuit Watson est réveillé en sursaut par l’alarme. Il consulte son ami

Sherlock pour connaître la probabilité qu’il s’agisse d’une intrusion. Quelle réponse donne Sherlock?

12Tickets de péage_{Lycée Virlogeux, Riom} Corrigé ; p. 300 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Dans tout cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque résultat.

Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :

s’il s’agit d’une voiture, d’une moto ou d’une camionnette, le ticket sort en bas;

s’il s’agit d’un camion, le ticket sort en haut.

La société d’autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l’une de ces bornes :

lorsqu’un camion passe, il n’est correctement détecté que deux fois sur trois;

lorsqu’un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d’en sortir pour saisir son ticket en haut une fois sur quatre.

On estime qu’à cette borne de péage, 60 % des véhicules sont des camions.

On considère les événements suivants :

C : « Le véhicule qui se présente est un camion »;

H : « Le ticket sort en haut »;

B : « Le ticket sort en bas ».

Notation : pour tout événement E et tout événement F de probabilité non nulle, on note p▷E◁ la probabilité de l’événement E et p_{F}▷E◁ la probabilité conditionnelle de E sachant F.

1 Donner les probabilités : p▷C◁,p_{N C}▷H◁ et p_{N C}▷B◁.

2 Construire un arbre probabiliste présentant la situation.

3 Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut.

4 Montrer que la probabilité qu’un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut 0,7.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 289 — #299 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{289} CORRIGÉS INTERROS COURS
13Prise d’initiative_{Lycée Sophie Germain, Paris} Corrigé ; p. 301 ; 25 min ; ⋆ ; ⋆

Une coopérative d’achat mène une enquête auprès de ses adhérents et leur fait remplir un questionnaire à propos de leur équipement en Smartphone. L’enquête révèle que 80 % des adhérents possèdent un Smartphone. Mais aussi que 15 % de ceux qui n’en ont pas vont en acheter un dans l’année, alors que 30 % de ceux qui sont déjà équipé vont renouveler leur équipement. On choisit au hasard le questionnaire d’un des adhérents.

1 Construire un arbre de probabilités décrivant la situation, en définissant

précisément les événements considérés. 2 Quelle est la probabilité de choisir le questionnaire d’un adhérent déjà

équipé et qui va renouveler son matériel? 3 Si au moins 25 % des adhérents souhaitent acheter un Smartphone cette

année, la coopérative va mettre en place un service spécial d’information pour faciliter le choix de l’équipement. D’après cette enquête, va-t-elle le mettre en place?

4 Sachant que la personne va acheter un Smartphone dans l’année, quelle est la probabilité que ce soit son premier équipement?

14Sondage anonyme_{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond} Corrigé ; p. 301 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Voici une technique pour permettre des réponses anonymes à une question. On propose à chaque personne sondée de faire comme ci-dessous :

lancez une pièce de monnaie. Si elle tombe sur pile, répondez à la question : « Est-ce que vous fumez plus d’un paquet de cigarette par jour? ».

Si elle tombe sur face, relancez la pièce une deuxième fois, et répondez à la question : « Êtes-vous tombé sur pile au deuxième lancer? ».

Chacune des personnes sondées répond en cochant la case oui ou la case non au bas de la fiche explicative. On ne sait donc pas à quelle question elle a répondu oui, ou non. Il y a donc plus de chance que les personnes répondent honnêtement.

1 Modéliser la situation par un arbre en notant r la proportion (inconnue)

de gros fumeurs parmi les personnes interrogées. 2 Sur un grand nombre de personnes, on a obtenu 45 % de oui. À combien

peut-on estimer la proportion de personnes fumant plus d’un paquet de cigarettes par jour?

3 Inversement, quelle devrait être la proportion de oui pour que la proportion de gros fumeurs (plus d’un paquet par jour) soit inférieure à 10 %?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 290 — #300 INTERROS_{290}
15Probabilités et suites_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} Corrigé ; p. 302 ; 45 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Pierre et Jean-Philippe jouent souvent au ping-pong ensemble, et lorsqu’ils jouent, ils font de nombreuses parties d’affilée. Lors de la première partie, ils ont autant de chance de gagner l’un que l’autre. Ils ont remarqué que, si Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,6, alors que s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,7. On note G_{n} l’événement « Pierre gagne la n-ième partie ».

1 (a) Donner les valeurs de p▷G_{1}◁ et de p▷{N \atop G_{1}}◁.

(b) Calculer p▷G_{2}◁ et p▷{N \atop G_{2}}◁.

2 ▷u_{n}◁ et ▷v_{n}◁ sont les deux suites définies sur ℕ^{∗} par :

u_{n} D p▷G_{n}◁ et v_{n} D p▷{N \atop G_{n}}◁.

(a) Construire un arbre pondéré pour la n-ième et la ▷nC1◁-ième partie.

(b) En déduire que :

\{ \begin{matrix}u_{nC1} D 0,6u_{n} C 0,3v_{n}, \\ v_{nC1} D 0,4u_{n} C 0,7v_{n}. \end{matrix}

(c) Montrer que la suite ▷u_{n} C v_{n}◁ est constante. Donner la valeur de u_{n} C v_{n} pour tout n.

(d) Démontrer que la suite ▷4u_{n} − 3v_{n}◁ est géométrique.

Exprimer 4u_{n} − 3v_{n} en fonction de n. 3 (a) En utilisant les résultats des questions 2.c et 2.d, exprimer u_{n} et v_{n}

en fonction de n.

(b) Si les deux amis font un très grand nombre de parties, qui a le plus de chances de gagner la dernière?

Indépendance

16Deux différents dés_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 303 ; 10 min ; ⋆

Simon lance un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) et un dé à quatre faces (numérotées de 1 à 4) non pipés. Soit A l’événement : « le dé à six faces tombe sur un nombre pair » et soit B l’événement : « le dé à quatre faces tombe sur un nombre impair ».

1 Quelle est la probabilité, p▷A◁ que le dé à six faces tombe sur un nombre pair?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 291 — #301 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{291} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Quelle est la probabilité, p▷B◁ que le dé à quatre faces tombe sur un

nombre impair? 3 Quelle est la probabilité, p▷A ∩ B◁ que le dé à six faces tombe sur un

nombre pair et que le dé à quatre faces tombe sur un nombre impair? 4 Les événements A et B sont-ils indépendants?

17Lancers successifs de dés_{Lycée Marie Curie, Sceaux} Corrigé ; p. 304 ; 15 min ; ⋆

On lance 3 fois de suite un dé à 6 faces (numérotées de 1 à 6) non pipé (c’està-dire non truqué). Soient x , y et z les chiffres obtenus lors des trois lancers. On considère deux événements :

A D « x × y × z D 12 »

B D « x C y D 4 ». Les événements A et B sont-ils indépendants?

18Généralisation d’un résultat_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 305 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

La famille Potter comporte 2 enfants. On considère les événements : A : « il y a deux enfants de sexes différents chez les Potter » B : « la famille Potter a au plus une fille ». 1 A et B sont-ils indépendants? 2 Même question si la famille Potter comporte 3 enfants. 3 Généraliser le résultat à n enfants.

Succession de deux épreuves indépendantes

19Détermination d’une proportion_{Lycée Jules Ferry, Paris} Corrigé ; p. 306 ; 10 min ; ⋆

Une entreprise reçoit des matières premières de deux fournisseurs A et B. On note p la proportion de matières premières livrées par le fournisseur A. Comment choisir p pour que le fournisseur A livre les matières premières deux semaines de suite avec une probabilité supérieure à 0,8?

D’après un sujet de bac — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 292 — #302

CORRIGÉS_{292}

1_{QCM} Propriétés des probabilités {Énoncé \atop p. 282}

1 Réponse a :

p▷B◁D p▷A ∩ B◁ C p▷ N A∩ B◁ D p▷A◁p_{A}▷B◁ C p▷ N A◁p N A▷B◁
D 0,3 × 0,4 C ▷1 − 0,3◁ × 0,2 D 0,26.

� ATTENTION

Il ne faut pas confondre p▷A ∩ B◁ avec p_{A}▷B◁, la réponse b est donc fausse.

2 Réponse c : si A et B sont tels que p▷A ∩ B◁ D p▷A◁ × p▷B◁, alors

p▷A ∪ B◁ D p▷A◁ C p▷B◁ − p▷A ∩ B◁

D p▷A◁ C p▷B◁ − p▷A◁ × p▷B◁,

d’où :

0,8 D 0,6 C p▷B◁ − 0,6 × p▷B◁

⟺ 0,4 × p▷B◁ D 0,2 ⟺ p▷B◁ D 0,5.

Donc

p_{A}▷B◁ D \frac{p▷A ∩ B◁}{p▷A◁} D \frac{p▷A◁p▷B◁}{p▷A◁}D p▷B◁ D 0,5

3 Réponse b . En effet, d’après le cours,

P_{A}▷B◁ D \frac{P ▷A ∩ B◁}{P ▷A◁}donc P ▷A◁ D \frac{P ▷A ∩ B◁}{P_{A}▷B◁} D \frac{0,8}{0,25} D 3,2 > 1

ce qui est impossible. 4 Réponse c : comme A et N Aforment une partition de l’univers, d’après

la formule des probabilités totales :

p▷B◁ D p▷A ∩ B◁ C p▷ N A∩ B◁ D 0,12 C 0,36 D 0,48.

Comme p_{B}▷A◁ D \frac{p▷A ∩ B◁}{p▷B◁} D \frac{0,12}{0,48}, alors p_{B}▷A◁ D 0,25.

2_{V/F} Interprétation d’un arbre {Énoncé \atop p. 282}

1 Faux : p_{A}▷D◁ D 0,5.

2 Faux : p▷C◁ D p▷A◁p_{A}▷C◁ C p▷ N A◁p_{N A}▷C◁ D 0,12 C 0,12 D 0,24

3 Vrai : p▷B◁ D p▷A◁p_{A}▷B◁ C p▷ N A◁p_{N A}▷B◁ D 0,08 C 0,06 D 0,14

4 Faux : p_{D}▷A◁ D \frac{p▷D ∩ A◁}{p▷D◁} D \frac{0,4 × 0,5}{0,4 × 0,5 C 0,6 × 0,7} D \frac{0,2}{0,62} D \frac{10}{31}.

Événements indépendants — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 293 — #303 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{293} CORRIGÉS INTERROS COURS
3_{QCM} D’après un sujet de bac {Énoncé \atop p. 283}

1 Réponse c : l’ensemble des élèves des deux classes comportent 66 élèves. On interroge un élève au hasard, il y a donc équiprobabilité des choix des élèves interrogés. N’oubliez pas de justifier l’équiprobabilité, ici, par le mot « hasard ». Soit E_{1} l’événement « l’élève choisi appartient à la 1^{re} A ».

Alors p▷E_{1}◁ D \frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles} D \frac{34}{66} D \frac{17}{33}.

2 Réponse a : soit M l’événement « l’élève choisi suit l’enseignement spécialité Math » et E l’événement « l’élève choisi suit l’enseignement de spécialité Math ou appartient à la 1^{re} A ». L’événement E est la réunion des deux événements M et E_{1} et donc :

p▷E◁ D p▷M ∪ E_{1}◁ D p▷M◁ C p▷E_{1}◁ − p▷M ∩ E_{1}◁.

Il y a toujours équiprobabilité des choix des élèves interrogés, d’où :

p▷M◁ D \frac{16}{66} D \frac{8}{33} et p▷M ∩ E_{1}◁ D \frac{6}{66} D \frac{1}{11}.

On en déduit que : p▷E◁ D \frac{8}{33} C \frac{17}{33} − \frac{3}{33} D \frac{22}{33} D \frac{2}{3}.

3 Réponse c : par lecture du tableau, la probabilité demandée est égale à

\frac{6}{34} (car il y a 6 élèves suivant l’enseignement des mathématiques sur les

34 élèves de la 1^{re} A), soit après simplification : \frac{3}{17}.

4 Réponse c : par lecture graphique du tableau, la probabilité demandée

est égale à \frac{6}{16} (car il y a 6 élèves dans la 1^{re} A sur les 16 qui suivent

l’enseignement de spécialité Math), soit après simplification : \frac{3}{8}.

4_{V/F} Événements indépendants {Énoncé \atop p. 283}

1 Faux. La pièce étant parfaitement équilibrée, la probabilité d’avoir face à

un lancer quelconque est de \frac{1}{2}. Les lancers successifs étant indépendants, le fait d’avoir obtenu neuf fois de suite pile lors des lancers antérieurs n’a aucune influence sur le dixième lancer ... même si l’intuition nous incite à penser qu’on devrait voir apparaître « face »!

2 Vrai. On commence par calculer P ▷A ∩ B◁ :

P ▷A ∩ B◁ D P ▷A◁ − P ▷A ∩ \overline{B}◁ D \frac{6}{15}.

Notations — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 294 — #304 CORRIGÉS_{294}

On compare ensuite avec le produit P ▷A◁P ▷B◁ D \frac{2}{3} × \frac{3}{5}.

On a bien P ▷A ∩ B◁ D P ▷A◁P ▷B◁ ce qui prouve l’indépendance des événements A et B.

3 (a) Vrai. On définit les événements :

S : « L’élève a réussi le permis de conduire ».

F : « L’élève interrogé est une fille ». G : « L’élève interrogé est une garçon ».

On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ▷F,G◁ :

P ▷S◁ D P_{F}▷S◁P ▷F ◁ C P_{G}▷S◁P ▷G◁.

On obtient alors :

P ▷S◁ D \frac{1}{3} × \frac{3}{4} C \frac{1}{10} × \frac{1}{4} D 0,275.

(b) Faux. On cherche à calculer P_{S}▷G◁. D’après la formule des probabilités conditionnelles, puisque P ▷S◁ est non nul, on a :

P_{S}▷G◁ D \frac{P ▷S ∩ G◁}{P ▷S◁} D \frac{0,1 × 0,25}{0,275} D \frac{1}{11}.

Une valeur approchée de P_{S}▷G◁ à 0,001 près est 0,091.

5Notations_{Lycée La Source, Meudon} {Énoncé \atop p. 284}

1 Parmi les femmes, 25% sont des retraitées.

Ici, « parmi les femmes » signifie que l’on se place dans un univers autre que l’ensemble de la population. C’est donc une probabilité conditionnelle : sous condition que la personne soit une femme, 25% sont retraitées.

L’affirmation se note donc : P_{F}▷R◁ D \frac{25}{100} D \frac{1}{4}.

2 Un tiers des hommes sont retraités.

Les événements H et R sont réalisés en même temps : il s’agit donc d’une intersection d’événements.

L’affirmation se note alors : P ▷H ∩ R◁ D \frac{1}{3}.

3 Chez les personnes retraitées, 45% sont des femmes. « Chez les personnes retraitées » signifie que l’univers est changé : on se place dans l’ensemble des personnes retraitées. Il s’agit donc d’une probabilité conditionnelle.

L’affirmation se note donc : P_{R}▷F ◁ D \frac{45}{100} D \frac{9}{20}.

Arbre pondéré — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 295 — #305

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{295} CORRIGÉS INTERROS COURS

4 Lorsqu’on interroge un homme, la probabilité pour que ce ne soit pas un retraité est 67%. « Lorsqu’on interroge un homme » signifie que l’on se place dans l’ensemble de hommes : il s’agit d’une probabilité conditionnelle.

L’affirmation se note alors : P_{H}▷\overline{R}◁ D \frac{67}{100}.

6Centre de vacances_{Lycée Notre-Dame-de-Boulogne, Boulogne} {Énoncé \atop p. 284}

1 D’après l’énoncé :

P ▷E◁ D 0,73  I  P ▷T ◁ D 0,66  I  P_{T}▷E◁ D 0,75.

2 Le tableau complété est le suivant :

E  \overline{E}  Total
T  99  33  132
\overline{T}  47  21  68
Total  146  54  200

3 On nous demande ici de calculer P_{E}▷\overline{T}◁. Nous allons utiliser la formule des probabilités élémentaires pour la déterminer. En effet, d’après le tableau des effectifs :

P_{E}▷\overline{T}◁ D \frac{47}{146}.

4 De la même façon, on obtient :

P_{T}▷E◁ D \frac{99}{132} D \frac{3}{4}.

5 D’après le tableau des effectifs,

P ▷\overline{E} ∩ \overline{T}◁ D \frac{21}{200}.

6 De même,

P ▷E ∪ T ◁ D P ▷E◁ C P ▷T ◁ − P ▷E ∩ T ◁ D \frac{146 C 132 − 99}{200} D \frac{179}{200}.

7Arbre pondéré_{Lycée Virlogeux, Riom} {Énoncé \atop p. 285}

1 p▷T ◁ D 0,7 (le 70 % de l’énoncé!).

2 p_{T}▷B◁ D 0,4 et p N T▷B◁ D 0,1 (là encore, c’est dans l’énoncé). Les autres probabilités sont obtenues en utilisant le fait que la somme des probabilités des branches partant d’un nœud est toujours égale à 1.

Pannes électroniques — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 296 — #306

CORRIGÉS_{296}

3 (a) p▷T ∩ B◁ D p▷T ◁ × p_{T}▷B◁ D 0,7 × 0,4 D 0,28.

(b) D’après la formule des probabilités totales :

p▷B◁D p▷T ∩ B◁ C p▷ N T∩ B◁
D 0,7 × 0,4 C 0,3 × 0,1
D 0,28 C 0,03
D 0,31.

4 p_{B}▷T ◁ D \frac{p▷B ∩ T ◁}{p▷B◁}D \frac{0,28}{0,31} ≈ 0,90.

8Pannes électroniques_{Lycée Voltaire, Paris} {Énoncé \atop p. 286}

1 On sait que p▷F ◁ C p▷\overline{F}◁ D 1 par la loi des contraires.

On sait par ailleurs que p▷F ◁ D \frac{9}{10}. Donc :

p▷\overline{F}◁ D 1 − \frac{9}{10} D \frac{1}{10} D 0,1.

2 On représente sous forme d’un arbre pondéré, les événements en jeu et les probabilités données directement par l’énoncé. On note que p_{F}▷T ◁ D 1 car, si l’appareil est bon, il passe toujours le test avec succès.

Génétique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 297 — #307

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{297} CORRIGÉS INTERROS COURS

(a) Un appareil défectueux (\overline{F}) passe le test avec succès (T) avec une

probabilité \frac{1}{11}. On peut donc écrire :

p_{\overline{F}}▷T ◁ D \frac{1}{11}.

Utilisons maintenant les probabilités conditionnelles. On cherche p▷T ∩ \overline{F}◁ en fonction de p\overline{F}▷T ◁. On va donc utiliser la formule des probabilités conditionnelles :

p▷T ∩ \overline{F}◁ D \underbrace{p▷\overline{F}◁}_{\frac{1}{10}}× \underbrace{p\overline{F}▷T ◁}_{\frac{1}{11}}D \frac{1}{10 × 11} D \frac{1}{110}.

De la même façon :

p▷T ∩ F ◁ D \underbrace{p▷F ◁}_{\frac{9}{10}}× \underbrace{p_{F}▷T ◁}_{1}D \frac{9}{10}.

(b) Réaliser T s’obtient en réalisant ou bien T ∩ F ou bien T ∩ \overline{F}. On

utilise ici la formule des probabilités totales :

p▷T ◁D p▷T ∩ F ◁ C p▷T ∩ \overline{F}◁

D \frac{9}{10} C \frac{1}{110}

D \frac{9 × 11 C 1}{110}

D \frac{100}{110}

D \frac{10}{11}.

(c) On demande p_{T}▷F ◁ On utilise la définition d’une probabilité conditionnelle :

p_{T}▷F ◁ D \frac{p▷T ∩ F ◁}{p▷T ◁}D \frac{\frac{9}{10}}{\frac{10}{11}} D \frac{9 × 11}{10 × 10} D \frac{99}{100}.

Un appareil ayant passé le test avec succès a donc 99 % de chances d’être bon.

9Génétique_{Lycée Stanislas, Paris} {Énoncé \atop p. 286}

Un tel énoncé se traduit bien à l’aide d’un tableau à deux entrées. Il est facile de calculer les quelques effectifs qui ne sont pas donnés dans l’énoncé .

Vaccin et maladie — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 298 — #308 CORRIGÉS_{298}

Il y a 0,6 × 40 D 24 hommes aux yeux bleus, donc 50 − 24 D 26 femmes aux yeux bleus.

Il restent donc 40 − 24 D 16 hommes qui n’ont pas les yeux bleus et 60 − 26 D 34 femmes qui n’ont pas les yeux bleus.

Homme Femme Total
Yeux bleus  24  26  50
Pas les Yeux bleus  16  34  50
Total  40  60  100

Comme toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies, on est en situation d’équiprobabilité.

La probabilité est donc égale au nombre de personne dans l’événement choisi, divisé par le nombre de personne de l’univers de référence.

1 A : choisir un homme dans la population totale : p▷A◁ D \frac{40}{100} D \frac{2}{5}.

2 B : choisir un homme aux yeux bleus dans la population totale :

p▷B◁ D \frac{24}{100} D \frac{6}{25}.

3 C : choisir une femme aux yeux bleus parmi la population totale :

p▷C◁ D \frac{26}{100} D \frac{13}{50}.

4 D : choisir une personne aux yeux bleus, parmi la population des femmes :

p▷D◁ D \frac{26}{60} D \frac{13}{30}.

5 E : choisir une femme parmi la population des personnes aux yeux bleus :

p▷E◁ D \frac{26}{50} D \frac{13}{25}.

10Vaccin et maladie_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 287}

L’arbre correspondant à la situation est le suivant :

Arbre pondéré — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 299 — #309

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{299} CORRIGÉS INTERROS COURS

On a alors :

P ▷M◁D P ▷V ∩ M◁ C P ▷\overline{V} ∩ M◁

D P ▷V ◁ × P_{V}▷M◁ C P ▷\overline{V}◁ × P\overline{V}▷M◁

D 0,3 × 0,2 C 0,7 × \frac{1}{3}

≈ 0,293.

La probabilité qu’un individu soit malade est d’environ 0,293.

11Arbre pondéré_{Lycée Galilée, Gennevilliers} {Énoncé \atop p. 287}

On va noter A : « L’alarme s’est déclenchée » et I : « Il y a eu intrusion ». Il convient de remarquer que 2000 est une année bissextile.

1 (a) Cette question renvoie aux liens entre statistiques et probabilités, et notamment à la loi des grands nombres (la fréquence d’un événement converge vers sa probabilité) qui autorise à interpréter les fréquences statistiques comme des probabilités. La fréquence statistique i des intrusions par jour se calcule par :

i D \frac{28 C 30 C 26}{2 × 365 C 366} ≈ 0,076 6.

On en déduit que la probabilité d’une intrusion est de p▷I◁ D 0,077 à 10^{−3} près. Puis que p▷ N I◁ D 0,923 à 10^{−3} près.

(b) D’après le tableau statistique, on peut également calculer la probabilité p▷I ∩ A◁ en tant que fréquence du nombre d’intrusions ayant déclenché l’alarme :

p▷I ∩ A◁ D \frac{25 C 28 C 23}{2 × 365 C 366} ≈ 0,069 3.

2 On demande la probabilité conditionnelle p_{I}▷A◁. L’énoncé ne nous la donne pas directement, donc il faut utiliser la définition d’une probabilité conditionnelle :

p_{I}▷A◁ D \frac{p▷A ∩ I◁}{p▷I◁} ≈ \frac{0,069}{0,077} ≈ 0,896.

3 On peut maintenant représenter les données sous forme d’arbre :

Prise d’initiative — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 300 — #310 CORRIGÉS_{300}

On demande p▷A◁ qu’on va calculer avec la loi des probabilités totales :

A D ▷I ∩ A◁ ∪ ▷ N I∩ A◁
p▷A◁D \underbrace{p▷I ∩ A◁}_{calculé précédemment}Cp▷ N I∩ A◁

p▷ N I∩ A◁ D p▷ N I◁ × p N I▷A◁ ≈ 0,923 × 0,02 ≈ 0,018.
p▷A◁≈ 0,069 C 0,018 ≈ 0,087.

4 Dans cette question, on sait que l’alarme s’est déclenchée. On demande la probabilité qu’il s’agisse d’une intrusion sachant que l’alarme s’est déclenchée, soit p_{A}▷I◁. Par définition des probabilités conditionnelles :

p_{A}▷I◁ D \frac{p▷I ∩ A◁}{p▷A◁} ≈ \frac{0,069}{0,087} ≈ 0,793.

Sherlock répondra qu’il y a plus de 3 chances sur 4 qu’il y ait eu intrusion.

12Tickets de péage_{Lycée Virlogeux, Riom} {Énoncé \atop p. 288}

1  MÉTHODE

L’énoncé dit donner les probabilités : il ne s’agit pas de les calculer, elles sont dans l’énoncé ou s’en déduisent directement.

p▷C◁ D 0,6 I p N C▷H◁ D 0,25 I p N C▷B◁ D 0,75.

2

3 p▷H◁ D p▷H ∩C◁Cp▷H ∩ N C◁ D 0,6× \frac{2}{3} C0,4× \frac{1}{4} D 0,4C0,1 D 0,5.

4 La probabilité cherchée est :

p▷H ∩ C◁ C p▷B ∩ N C◁ D 0,6 × \frac{2}{3} C 0,4 × \frac{3}{4} D 0,4 C 0,3 D 0,7.

Sondage anonyme — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 301 — #311

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{301} CORRIGÉS INTERROS COURS

13Prise d’initiative_{Lycée Sophie Germain, Paris} {Énoncé \atop p. 289}

On note :

S l’événement : « l’adhérent a déjà un Smartphone »,

A l’événement : « l’adhérent va acheter un Smartphone dans l’année ».

On assimile les pourcentages aux probabilités d’obtenir les différents événements si l’on choisit un adhérent au hasard.

1 D’après les données de l’énoncé :

P ▷S◁ D 0,8 donc P (N S) D 0,2;

P_{S}▷A◁ D 0,3 et P N S▷A◁ D 0,15.

Cela donne l’arbre ci-contre :

2 On cherche : P ▷S ∩ A◁ D P ▷S◁ × P_{S}▷A◁ D 0,8 × 0,3 D 0,24.

3 Il faut calculer P ▷A◁.

D’après la formule des probabilités totales :

P ▷A◁ D P ▷A ∩ S◁ C P (A ∩ N S) D 0,24 C 0,2 × 0,15 D 0,27.

Cela signifie que P ▷A◁ > 0,25. La probabilité qu’un adhérent achète un Smartphone dans l’année est donc supérieure à 25 %, la coopérative peut donc mettre en place son service.

4 Il faut ici calculer : P_{A}(N S) D \frac{P ▷A ∩ N S◁}{P ▷A◁} D \frac{0,03}{0,27} D \frac{1}{9}.

14Sondage anonyme_{Lycée Jean Moulin, Saint-Amand-Montrond} {Énoncé \atop p. 289}

1 O correspond à l’événement « la personne répond oui », F (respectivement P) à l’événement « la personne a obtenu face (respectivement pile) au premier lancer ». Comme il y a autant de chances d’obtenir pile que face, on obtient l’arbre de la page ci-contre.

Probabilités et suites — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 302 — #312 CORRIGÉS_{302}

2 p▷O◁ D 0,45. Or, p▷O◁ D p▷F ∩ O◁ C p▷P ∩ O◁ D 0,5 × 0,5 C 0,5r. On a donc 0,45 − 0,25 D 0,5r, d’où 0,5r D 0,2 et r D 0,4. Il y a donc environ 40 % de gros fumeurs.

3 p▷O◁ est maintenant inconnue. On cherche p▷O◁ telle que :

r D \frac{P ▷O◁ − 0,25}{0,5} ⩽ 0,1.

On trouve alors P ▷O◁ ⩽ 0,3. Il faudrait donc obtenir au plus 30 % de oui pour avoir au plus 10 % de gros fumeurs.

15Probabilités et suites_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} {Énoncé \atop p. 290}

1 (a) p▷G_{1}◁ D 0,5 et p▷{N \atop G_{1}}◁ D 0,5.

(b) \begin{aligned}p▷G_{2}◁ & D p▷G_{1}◁p_{G_{1}}▷G_{2}◁ C p▷{N \atop G_{1}}◁p{N \atop G_{1}}▷G_{2}◁ \\ & D 0,5 × 0,6 C 0,5 × 0,3 D 0,45. \end{aligned}

\begin{aligned}p▷{N \atop G_{2}}◁ & D 1 − p▷G_{2}◁ \\ & D 0,55. \end{aligned}

2 (a)

(b) \begin{matrix}u_{nC1} & D p▷G_{nC1}◁ D 0,6u_{n} C 0,3v_{n}, \\ v_{nC1} & D p▷\overline{G_{nC1}}◁ D 0,4u_{n} C 0,7v_{n}. \end{matrix}

(c) Pour tout n de ℕ^{∗}, u_{nC1} C v_{nC1} D 0,6u_{n} C 0,3v_{n} C 0,4u_{n} C 0,7v_{n} D u_{n} C v_{n}.

Donc la suite ▷u_{n} C v_{n}◁ est constante. On sait que u_{1} C v_{1} D 1, donc pour tout n de ℕ^{∗}, u_{n} C v_{n} D 1.

Remarque : ceci est logique : à chaque étape, il n’y a que deux événements incompatibles : Pierre gagne ou perd! Donc la somme des probabilités de ces événements doit être égale à 1.

(d) \begin{aligned}4u_{nC1} − 3v_{nC1} & D 4▷0,6u_{n} C 0,3v_{n}◁ − 3▷0,4u_{n} C 0,7v_{n}◁ \\ & D 1,2u_{n} − 0,9v_{n} D 0,3▷4u_{n} − 3v_{n}◁. \end{aligned}

Donc la suite ▷4u_{n} − 3v_{n}◁ est géométrique de raison 0,3. Son premier terme est 4u_{1} − 3v_{1} D 0,5. Donc 4u_{n} − 3v_{n} D 0,5 × 0,3^{n−1} .

Lancers successifs de dés — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 303 — #313 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{303} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 (a) On a le système :

\{ \begin{matrix}u_{n} C v_{n} D 1, \\ 4u_{n} − 3v_{n} D 0,5 × 0,3^{n−1} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}v_{n} D 1 − u_{n}, \\ 4u_{n} − 3▷1 − u_{n}◁ D 0,5 × 0,3^{n−1} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}v_{n} D 1 − u_{n}, \\ 7u_{n} D 3 C 0,5 × 0,3^{n−1} \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}u_{n} D \frac{3}{7} C \frac{0,5}{7} × 0,3^{n−1} , \\ v_{n} D 1 − u_{n} D \frac{4}{7} − \frac{0,5}{7} × 0,3^{n−1} \end{matrix}

(b) Comme 0 < 0,3 < 1, on sait que lim_{n→C∞} 0,3^{n−1} D 0, donc

lim_{n→C∞} u_{n} D \frac{3}{7} et lim_{n→C∞} v_{n} D \frac{4}{7}.

Par conséquent au bout d’un grand nombre de parties, Jean-Philippe a plus de chances de gagner que Pierre.

16Deux différents dés_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 290}

1 Il y a 3 nombres pairs sur 6 donc p▷A◁ D \frac{3}{6} D \frac{1}{2}.

2 Il y a 2 nombres impairs sur 4, donc p▷B◁ D \frac{2}{4} D \frac{1}{2}.

3 Notons ▷n_{1} I n_{2}◁ le couple de nombres obtenus, n_{1} étant le nombre issu du dé à 6 faces et n_{2}, celui du dé à 4 faces.

A ∩ B D {▷2 I 1◁,▷2 I 3◁,▷4 I 1◁,▷4 I 3◁,▷6 I 1◁,▷6 I 3◁}.

De plus, il y a :

6 (issues pour le dé cubique)×4 (possibilités pour le dé à 4 faces) D 24

couples possibles. Ainsi,

p▷A ∩ B◁ D \frac{6}{24} D \frac{1}{4}.

4 On constate que p▷A ∩ B◁ D p▷A◁ × p▷B◁ donc les événements A et B sont indépendants.

Généralisation d’un résultat — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 304 — #314 CORRIGÉS_{304}
17Lancers successifs de dés_{Lycée Marie Curie, Sceaux} {Énoncé \atop p. 291}

L’univers est l’ensemble de tous les triplets ▷a,b,c◁ où a, b, et c sont trois entiers compris entre 1 et 6. Il existe ainsi 216 résultats possibles.

Le dé étant par hypothèse non pipé, on est en situation d’équiprobabilité.

La probabilité d’un événement élémentaire ▷a,b,c◁ est :

P ▷\{▷a,b,c◁\}◁ D \frac{1}{216}.

L’événement A est la réunion des événements élémentaires :

\begin{matrix}▷1,2,6◁ & I ▷1,3,4◁ I ▷1,4,3◁ I ▷1,6,2◁ I ▷2,1,6◁ I \\ ▷2,2,3◁ & I ▷2,3,2◁ I ▷2,6,1◁ I ▷3,1,4◁ I ▷3,2,2◁ I \\ ▷3,4,1◁ & I ▷4,1,3◁ I ▷4,3,1◁ I ▷6,1,2◁ I ▷6,2,1◁. \end{matrix}

Donc :

P ▷A◁ D \frac{15}{216} D \frac{5}{72}.

L’événement B est la réunion des événements élémentaires :

▷1,3,z◁ I ▷2,2,z◁ I ▷3,1,z◁ où z décrit {1, …,6}.

Donc :

P ▷B◁ D \frac{3 × 6}{216} D \frac{1}{12}.

Or, l’événement A ∩ B est la réunion des événements élémentaires : ▷1,3,4◁, ▷2,2,3◁, ▷3,1,4◁. Donc :

P ▷A ∩ B◁ D \frac{3}{216} D \frac{1}{72}

et

P ▷A◁P ▷B◁ D \frac{5}{72} × \frac{1}{12} D \frac{5}{864}.

Ainsi,

P ▷A ∩ B◁ D̸ P ▷A◁P ▷B◁.

Donc A et B ne sont pas indépendants.

MÉTHODE

Pour savoir si deux événements sont indépendants, on calcule la probabilité de leur intersection et on la compare au produit de leurs probabilités. L’indépendance est une notion délicate et l’intuition est, en ce domaine, souvent mauvaise conseillère!

Généralisation d’un résultat — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 305 — #315 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES CHAP. 9_{305} CORRIGÉS INTERROS COURS
18Généralisation d’un résultat_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 291}

1 Avec 2 enfants, l’univers des possibles est :

D {▷G,G◁I ▷G,F ◁I ▷F,G◁I ▷F,F ◁}

L’événement ▷F,G◁ correspond ici au fait que l’aînée est une fille et le cadet, un garçon.

Alors,

p▷A◁ D \frac{2}{4} D \frac{1}{2} ;

p▷B◁ D \frac{3}{4} (« au plus une fille » signifie « aucune fille ou une fille »;

p▷A ∩ B◁ D \frac{2}{4} (en effet, A ∩ B est l’événement « il y a deux enfants de sexes différents, dont au plus une fille », ce qui correspond aux événements ▷F,G◁ et ▷G,F ◁. On s’aperçoit alors que p▷A ∩ B◁ D̸ p▷A◁ × p▷B◁ donc les événements A et B ne sont pas indépendants.

2 Dans cette question, il y a 3 enfants. L’univers des possibles est alors :

′ D {▷F,F,F ◁I ▷F,F,G◁I ▷F,G,F ◁I ▷F,G,G◁I ▷G,F,F ◁I
▷G,F,G◁I ▷G,G,F ◁I ▷G,G,G◁}.

p▷A◁ D \frac{6}{8} D \frac{3}{4} ;

p▷B◁ D \frac{4}{8} D \frac{1}{2} ;

p▷A ∩ B◁ D \frac{3}{8} D p▷A◁ × p▷B◁.

Donc A et B sont cette fois-ci indépendants. 3 Avec n enfants, il y a en tout 2^{n} n-uplets possibles (n enfants, 2 possibi-

lités par enfant).

p▷A◁ D 1 − \frac{2}{2^{n}} D 1 − \frac{1}{2^{n−1}} . En effet, tous les n-uplets conviennent sauf ceux composés uniquement de garçons et ceux composés uniquement de filles.

p▷B◁ D \frac{n C 1}{2^{n}}. En effet, il y a un n-uplet avec 0 fille (celui composé uniquement de garçons) et n avec uniquement une fille;

p▷A ∩ B◁ D \frac{n}{2^{n}}. En effet, on ne s’intéresse ici qu’aux n-uplets où il y a au moins un garçon et au plus une fille, donc les n-uplets du type ▷F,G,G, …,G◁ ou ▷G,G, …,G,F,G,G, …◁: ces n-uplets sont formés en mettant « F » n’importe où parmi les n positions possibles; il y en a donc n.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 9 page 306 — #316 CORRIGÉS_{306}

Or, \begin{aligned}p▷A◁ × p▷B◁ & D ( 1 − \frac{2}{2^{n}}) × \frac{n C 1}{2^{n}} \\ & D \frac{n C 1}{2^{n}} − \frac{2}{2^{n}} × \frac{n C 1}{2^{n}} \\ & D \frac{2^{n}▷n C 1◁ − 2▷n C 1◁}{2^{n} × 2^{n}} \\ & D \frac{2▷n C 1◁▷2^{n−1} − 1◁}{2^{2n}}. \end{aligned}

Ainsi, \begin{aligned}& p▷A◁ × p▷B◁ D p▷A ∩ B◁ \\ ⟺ & \frac{2▷n C 1◁▷2^{n−1} − 1◁}{2^{2n}} D \frac{n}{2^{n}} \\ ⟺ & 2▷n C 1◁▷2^{n−1} − 1◁ D n × 2^{n} \\ ⟺ & ▷n C 1◁▷2^{n−1} − 1◁ D n × 2^{n−1} \\ ⟺ & n × 2^{n−1} C 2^{n−1} − n − 1 D n × 2^{n−1} \\ ⟺ & 2^{n−1} D n C 1. \end{aligned}

Un tableau des valeurs de 2^{n−1} et n C 1 (sur la calculatrice par exemple) montre que n C 1 croît bien moins vite que 2^{n−1} , ce qui signifie que n C 1 D̸ 2^{n−1} pour n ⩾ 4. Ainsi, il n’existe qu’une valeur de n pour laquelle 2^{n−1} D n C 1, donc pour laquelle p▷A◁ × p▷B◁ D p▷A ∩ B◁, donc pour laquelle A et B sont indépendants.

Remarque : on dit que n C 1 a une croissance linéaire alors que 2^{n−1} a une croissance exponentielle.

19Détermination d’une proportion_{Lycée Jules Ferry, Paris} {Énoncé \atop p. 291}

L’arbre correspondant à la situation est le suivant :

On cherche alors p tel que :

p × p ⩾ 0,8 ⟺ p ⩾ \sqrt{0,8} ⟺ p ⩾ 0,895.

Ainsi, si le fournisseur A livre au moins 89,5% des matières premières, il fournira au moins 80% des matières premières deux semaines consécutives.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 307 — #317 10^{Chapitre}

Variables aléatoires

Plan du chapitre

1. Définition et loi de probabilité

2. Espérance, variance et écart-type

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo. Dans une tombola, 100 tickets sont en jeu, répartis comme suit :

un ticket permet de gagner 100 euros; neuf tickets permettent de gagner 10 euros; les autres tickets sont perdants.

Pour pouvoir jouer, il faut miser 3 euros. Un joueur mise 3 euros et tire un ticket au hasard. On appelle X son gain (différence entre ce qu’il gagne et la mise).

1 Déterminer la loi de probabilité de X. 2 Calculer l’espérance de X. Le jeu est-il à l’avantage des joueurs ou des

organisateurs de la tombola? Justifier la réponse.

Exercice type

Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’École

Voir corrigé page 311

1 Définition et loi de probabilité

Définition 1 : variable aléatoire réelle discrète

Soit D {e_{1},e_{2}, …,e_{n}} un univers fini constitué de n événements distincts. On appelle variable aléatoire réelle discrète définie sur toute application X V → ℝ telle que :

X▷e_{i}◁ D x_{i} pour 1 ⩽ i ⩽ n; l’ensemble X▷ ◁ D {x_{1} I x_{2} I … I x_{n}} est fini.

On notera ▷X D x_{i}◁ l’événement « X prend la valeur x_{i} ».

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 308 — #318 COURS_{308}

Exemple : lors d’un jeu, on peut ne rien gagner, mais on peut aussi gagner 1 000 � ou 50 000 �. Si X est la variable aléatoire qui, à chaque issue du jeu, associe la somme que l’on gagne, alors elle peut prendre les 3 valeurs : 0, 1 000 � et 50 000 �. On notera alors :

X▷ ◁ D {0 I 1 000 I 50 000}.

Définition 2 : loi de probabilité

On considère une variable aléatoire X sur un univers telle que :

X▷ ◁ D {x_{1} I x_{2} I … I x_{n}};

pour tout 1 ⩽ i ⩽ n, p▷X D x_{i}◁ D p_{i}.

La loi de probabilité de X est la donnée de toutes les valeurs p_{i}, pour 1 ⩽ i ⩽ n.

On présente habituellement cette loi sous forme d’un tableau :

Valeurs de X x_{1} x_{2} ⋯ x_{n}
p▷X D x_{i}◁ p_{1} p_{2} ⋯ p_{n}

Remarque : on a toujours :

p_{1} C p_{2} C ⋯C p_{n} D 1.

Exemple : on lance un dé parfaitement équilibré; on gagne 5 euros si l’on obtient un nombre pair, et l’on perd 3 euros sinon. On note X la variable aléatoire qui, à un lancer du dé, associe le gain algébrique, c’est-à-dire un nombre positif s’il s’agit d’un gain ou négatif dans le cas de pertes, du joueur.

Établir la loi de probabilité de X, c’est calculer p▷X D 5◁ et p▷X D −3◁.

Or,

p▷X D 5◁ D p▷A◁

où A est l’événement : « obtenir 2, 4 ou 6 » d’où :

p▷X D 5◁ D \frac{3}{6} D \frac{1}{2}

et :

p▷X D −3◁ D p▷B◁

où B est l’événement : « obtenir 1, 3 ou 5 » d’où :

p▷X D −3◁ D \frac{3}{6} D \frac{1}{2}.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 309 — #319 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{309} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 Espérance, variance et écart-type

2.1 Espérance d’une variable aléatoire

Définition 3

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_{1},x_{2}, …,x_{n}. Pour tout 1 ⩽ i ⩽ n, on pose p_{i} D P ▷X D x_{i}◁. L’espérance de X est le réel noté E▷X◁ défini par :

E▷X◁ D p_{1}x_{1} C p_{2}x_{2} C ⋯C p_{n}x_{n}.

Exemple : on considère la variable aléatoire X définie par la loi de probabilité suivante :

Valeurs de X −1 −2 3 4
p▷X D x_{i}◁ 0,3 0,1 0,5 0,1

Alors,

E▷X◁D ▷−1◁ × 0,3 C ▷−2◁ × 0,1 C 3 × 0,5 C 4 × 0,1
D 1,4.

À RETENIR

L’espérance mathématique représente la valeur moyenne de X si l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire, et soient a et b deux nombres réels. Alors,

E▷aX C b◁ D aE▷x◁ C b.

Exemple : soit X la variable aléatoire telle que X▷ ◁ D {3 I 5 I 7} et E▷X◁ D 6. On pose alors Y D 2X − 5. Cela signifie que y_{i} D 2x_{i} − 5 donc :

Y ▷ ◁ D {2 × 3 − 5 I 2 × 5 − 5 I 2 × 7 − 5} soit Y ▷ ◁ D {1 I 5 I 9}.

De plus, E▷Y ◁ D E▷2X − 5◁ D 2E▷X◁ − 5 D 2 × 6 − 5 D 12 − 5 D 7.

Définition 4 : jeu équitable

si X est une variable aléatoire prenant pour valeurs les gains possibles d’un jeu, on dira que le jeu est équitable si E▷X◁ D 0.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 310 — #320 COURS_{310}

2.2 Variance

Définition 5

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs x_{1},x_{2}, …,x_{n}. Pour tout 1 ⩽ i ⩽ n, on pose p_{i} D P ▷X D x_{i}◁. On appelle variance de X l’espérance de la variable aléatoire (X − E▷X◁)^{2}.

On la note V ▷X◁ . On a donc :

V ▷X◁ D E(▷X − E▷X◁◁^{2}).

Exemple : on considère la variable aléatoire X définie par la loi de probabilité suivante :

Valeurs de X −1 −2 3 4
p▷X D x_{i}◁ 0,3 0,1 0,5 0,1

Alors, E▷X◁ D 1,4 (voir exemple 2.1). La loi de probabilité de (X − E▷X◁)^{2} est :

Valeurs de (X − E▷X◁)^{2} 5,76 11,56 2,56 6,76
p▷X D x_{i}◁ 0,3 0,1 0,5 0,1

Ainsi,

V ▷X◁D E[▷X − E▷X◁◁^{2}]
D 5,76 × 0,3 C 11,56 × 0,1 C 2,56 × 0,5 C 6,76 × 0,1
D 4,84.

Propriété 2

Soit X une variable aléatoire, et soient a et b deux nombres réels. Alors, V ▷aX C b◁ D a^{2}V ▷X◁.

Propriété 3 : formule de König-Huygens

Soit X une variable aléatoire. Alors, V ▷X◁ D E(X^{2}) − [E▷X◁]^{2}.

Exemple :

Valeurs de X −1 −2 3  4
Valeurs de X^{2}  1  4  9 16
p▷X D x_{i}◁  0,3 0,1 0,5 0,1
V ▷X◁D ▷1 × 0,3 C 4 × 0,1 C 9 × 0,5 C 16 × 0,1◁ − 1,4^{2}
D 4,84.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 311 — #321 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{311} CORRIGÉS INTERROS COURS

2.3 Écart-type

Définition 6

Soit X une variable aléatoire. On appelle écart-type de X le nombre :

σ▷X◁ D \sqrt{V ▷X◁}.

Propriété 4

Soit X une variable aléatoire, et soient a et b deux nombres réels. Alors,

σ▷aX C b◁ D |a|σ▷X◁.

Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.

1 La variable aléatoire X peut prendre trois valeurs : 97 (dans le cas où le joueur achète le ticket gagnant 100 euros dont il convient de déduire la mise de 3 euros), 7 (gain de 10 euros moins la mise de 3 euros) et enfin −3 (cas d’un billet perdant). On suppose que tous les billets ont la même probabilité d’être choisis par le joueur. On est donc en situation d’équiprobabilité.

Il existe un seul billet permettant de gagner 100 euros donc :

p▷X D 97◁ D \frac{1}{100} .

Il existe 9 billets permettant de gagner 10 euros donc :

p▷X D 7◁ D \frac{9}{100} .

Enfin, il existe 90 billets perdants donc :

p▷X D −3◁ D \frac{90}{100} .

Finalement, on a :

Valeurs de X 97  7 −3
p▷X D x_{i}◁ 0,01 0,09 0,9

2 On a :

\begin{aligned}E▷X◁ & D 97 × 0,01 C 7 × 0,09 C ▷−3◁ × 0,9 \\ & D −1,1. \end{aligned}

Comme l’espérance mathématique n’est pas nulle, le jeu n’est pas équitable. Si le joueur jouait un très grand nombre de fois, il pourrait espérer un « gain » moyen de −1,1 euro. Le jeu est donc défavorable au joueur et favorable aux organisateurs de la tombola (ce qui était prévisible…)

Solution de l’exercice type

Lycée Mansart, Saint-Cyr-l’École Voir énoncé page 307

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 312 — #322 INTERROS_{312}
1_{V/F} Variable aléatoire Corrigé p. 322 5 min

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier les réponses. 1 Si une variable aléatoire X ne prend que des valeurs positives ou nulle,

alors E▷X◁ ⩾ 0. 2 Si E▷X◁ ⩾ 0, alors la variable aléatoire X ne prend que des valeurs

positives ou nulles.

2_{QCM} En fonction de n Corrigé p. 322 15 min

On justifiera toutes les réponses. Une urne contient 10 boules blanches et n boules noires (n ⩾ 2). Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Si on tire une boule blanche on gagne 2 euros, si on tire une boule noire on perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain (qui peut être négatif) obtenu par le joueur.

1 Les valeurs prises par X sont :

a 2 et 3  b 2 et −3  c autre réponse.

2 La loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci-dessous :

a \begin{matrix}x_{i} & −3 & 2 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{n}{n C 10} & \frac{10}{n C 10} \end{matrix}

b \begin{matrix}x_{i} & −3 & 2 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{1}{10} & \frac{1}{n} \end{matrix}

c \begin{matrix}x_{i} & 3 & 2 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{n}{n C 10} & \frac{10}{n C 10} \end{matrix}

3 L’espérance de X est :

a 1  b 0  c \frac{−3n C 20}{n C 10}

4 Le jeu est favorable au joueur si :

a n ⩾ 7  b n ⩾ 6  c n ⩽ 6

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 313 — #323 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{313} CORRIGÉS INTERROS COURS
3La base_{Lycée Édouard Branly, Nogent-sur-Marne} Corrigé ; p. 322 ; 5 min ; ⋆

On lance un dé truqué à six faces. Les probabilités d’obtenir chaque face sont les suivantes :

\begin{matrix}x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ p_{i} & 0,2 & 0,1 & p_{3} & 0,06 & 0,2 & p_{6} \end{matrix}

1 Calculer p_{3} et p_{6} sachant que p_{3} D 3p_{6}.

2 Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X qui à chaque face associe le nombre affiché.

4Pièce truquée_{Lycée Clémenceau, Nantes} Corrigé ; p. 322 ; 7 min ; ⋆

Mathieu propose le jeu suivant avec une pièce truquée (on estime à 0,4 la probabilité de tomber sur « Pile »).

On mise 20 �, puis on lance la pièce deux fois.

On gagne 25 � par « Pile » obtenu sur les deux lancers.

1 X est la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

Quelles sont les valeurs prises par X? 2 Donner la loi de probabilité de X.

3 Calculer P ▷X ⩽ 5◁.

5Ventes_{Lycée Camille Vernet, Valence} Corrigé ; p. 323 ; 10 min ; ⋆

Un commercial vend entre 0 et 5 installations photovoltaïques par semaine. Soit X la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre d’installations vendues. X suit la loi de probabilité indiquée dans le tableau ci-dessous :

Nombre d’installations vendues k 0  1  2  3  4  5
Probabilité P ▷X D k◁  0,16 0,1 0,35 0,24 0,1 0,05

1 Calculer P ▷X ⩾ 2◁ et P ▷X < 4◁.

2 Calculer l’espérance de X. Quelle interprétation peut-on en donner?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 314 — #324 INTERROS_{314}
6Cotisation moyenne_{Lycée Honoré de Balzac, Paris} Corrigé ; p. 323 ; 10 min ; ⋆

Le club de loisirs d’une petite ville propose à ses adhérents trois types d’activités : de la gymnastique, des sorties vélo ou de la formation informatique. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu’une seule des trois activités. 50% font de la gymnastique, 30% font du vélo et les autres font de l’informatique. Les tarifs du club sont les suivants : 15 euros pour l’adhésion au club, 60 euros pour la gymnastique, 50 euros pour l’informatique et 30 euros pour le vélo. On interroge un membre du club au hasard. On appelle S la variable aléatoire qui donne la somme totale payée par ce membre. 1 Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire S.

2 Calculer l’espérance de S et en donner une interprétation.

7Ticket gagnant_{Lycée International Europole, Grenoble} Corrigé ; p. 324 ; 15 min ; ⋆

Un supermarché de San Francisco distribue des tickets à ses 1 000 premiers clients. 500 tickets font gagner 10 $, 90 font gagner 20 $, 10 font gagner 50 $ et 400 ne font rien gagner. Un ticket est distribué au hasard à chaque client à son passage en caisse. X est la variable aléatoire qui à chaque ticket distribué associe le gain inscrit sur celui-ci. 1 Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.

2 Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.

3 Quelle est la probabilité d’obtenir un ticket faisant gagner 20 $ ou plus?

4 Quelle est l’espérance mathématique de la variable aléatoire X?

8Interprétation de l’espérance_{Lycée Albert Chatelet, Douai} Corrigé ; p. 324 ; 15 min ; ⋆

Une variable aléatoire X a la loi de probabilité suivante :

Valeur a_{i} de X  −1 1 3 5
Probabilité P ▷X D a_{i}◁ 0,4 0,2  0,15

1 Compléter la loi de probabilité de X.

2 Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

3 Calculer de deux manières différentes P ▷X ⩾ 3◁ (pour la deuxième

méthode, on utilisera l’événement contraire). 4 Si X représente le gain obtenu à l’issue d’une expérience, que représente

concrètement E▷X◁?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 315 — #325 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{315} CORRIGÉS INTERROS COURS
9Gagner à la loterie_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres} Corrigé ; p. 325 ; 15 min ; ⋆

Une loterie est constituée de 800 billets vendus chacun 2 �. Un des billets fait gagner 500 �, deux billets font gagner chacun 100 � et 6 billets font gagner 10 �. Tous les autres sont perdants.

1 Un joueur achète un billet. On appelle G la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

(a) Donner, en tenant compte de l’achat initial du billet, la loi de probabilité de G.

(b) Calculer l’espérance mathématique de G.

(c) Le jeu est-t-il favorable à l’organisateur ou aux joueurs?

2 Pour être sûre de gagner, une personne achète tous les billets. Elle gagne donc tous les lots.

(a) Quelle somme débourse-t-elle à l’achat?

(b) Quelle somme correspond au gain de tous les lots?

(c) Quelle somme cette personne a-t-elle perdue?

(d) Quelle est la perte moyenne par billet acheté? Comparer ce résultat à l’espérance mathématique calculée dans la question 1.b.

10Un sac_{Lycée Charlemagne, Paris} Corrigé ; p. 326 ; 15 min ; ⋆

Un sac contient trois boules numérotées : deux portent le numéro 4 et une porte le numéro 3. On tire au hasard une boule du sac, on note son numéro a et on la remet dans le sac. On répète une deuxième fois l’expérience et on désigne par b le numéro de la boule tirée.

1 Décrire l’expérience aléatoire.

2 Quel est l’univers de cette expérience?

3 On admet que :

p▷3 I 3◁ D \frac{1}{9} I p▷3 I 4◁ D p▷4 I 3◁ D \frac{2}{9}.

Calculer p▷4 I 4◁. 4 Soit X la variable aléatoire qui, au résultat noté ▷a I b◁, associe a C b.

(a) Donner la loi de probabilité de X.

(b) Calculer son espérance et sa variance.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 316 — #326 INTERROS_{316}
11Jeu équitable_{Lycée Fustel de Coulanges, Massy} Corrigé ; p. 326 ; 15 min ; ⋆

Lors d’une loterie, un joueur mise 2 euros. Lors du tirage, trois résultats sont

possibles. La probabilité qu’il gagne 10 euros est \frac{2}{11}, la probabilité qu’on lui

rembourse sa mise est \frac{1}{4}, et il ne reçoit rien le reste du temps. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l’issue du tirage. 1 Donner la loi de probabilité de X et son espérance E▷X◁.

2 On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si E▷X◁ < 0. (a) Le jeu est-il favorable à l’organisateur?

(b) L’organisateur souhaite que le jeu soit équitable, c’est-à-dire que E▷X◁ D 0. Il va changer la règle du jeu. La probabilité que le joueur gagne ne change pas, mais si le joueur gagne, il reçoit une somme S. Déterminer la valeur de S.

12Un jeu d’enfant_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 326 ; 15 min ; ⋆

Un jeu de construction est composé de 10 cubes de même taille. Un enfant les assemble de manière à obtenir le solide ci-dessous dont il peint ensuite toutes les faces. Par exemple, le cube en bas à droite a 5 de ses faces qui sont peintes. Il sépare à nouveau les 10 cubes et en tire un au hasard. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de faces peintes sur le cube choisi.

1 Déterminer l’ensemble X▷ ◁ des valeurs prises par X.

2 Déterminer la loi de probabilité de X.

3 Calculer son espérance et interpréter par une phrase le résultat.

4 Calculer l’écart-type de X.

13Dé tétraédrique_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 327 ; 20 min ; ⋆

On considère un dé tétraédrique truqué dont les faces portent les numéros 2, 4, 5 et 7. On note p_{2}, p_{4}, p_{5} et p_{7} les probabilités de tomber respectivement sur 2, 4, 5 ou 7. On appelle X la variable aléatoire qui, à la face obtenue, associe le nombre indiqué dessus.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 317 — #327 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{317} CORRIGÉS INTERROS COURS

On sait que :

p_{2} D p_{5},

il y a deux fois moins de chances d’obtenir le 4 que le 5,

il y a trois fois plus de chances d’obtenir le 7 que le 2.

1 (a) Montrer que p_{4} D \frac{1}{11}. Tous les détails des calculs devront claire-

ment apparaître sur la copie.

(b) En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

(c) Calculer l’espérance de X. 2 On lance une fois ce dé.

Soit A l’événement : « on obtient une face avec un numéro pair ». Soit B l’événement : « on obtient une face avec un numéro supérieur à 3 ». Calculer P ▷A◁ et P ▷B◁.

3 Décrire par une phrase chacun des événements \overline{A}, A ∩ B et A ∪ B, puis calculer leurs probabilités.

14Tirage de boules dans une urne_{Institut Notre-Dame, Meudon} Corrigé ; p. 328 ; 20 min ; ⋆

Une urne contient trois boules indiscernables au toucher : une rouge, une verte et une bleue. On tire au hasard et successivement deux boules, on note les couleurs obtenues dans l’ordre des tirages, la première boule étant replacée dans l’urne avant le second tirage. 1 Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.

2 On instaure la règle suivante : le tirage d’une boule rouge rapporte un point, celui d’une verte deux points et celui d’une bleue fait perdre trois points.

(a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire T définie par la somme des points marqués dans l’expérience précédente.

(b) Calculer l’espérance de T. Le jeu est-il équitable? 3 Calculer la probabilité pour un joueur de perdre la partie, c’est-à-dire

d’avoir un total négatif de points.

15Propriétés_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 330 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

Le tableau suivant donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire X :

Valeurs de X  0  1  2  3  4
p_{i} D p▷X D x_{i}◁ 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 318 — #328 INTERROS_{318}

1 Déterminer E▷X◁, V ▷X◁ et σ▷X◁.

2 Soit Y la variable aléatoire définie par Y D −2X C 3.

Déterminer E▷Y ◁, V ▷Y ◁ et σ▷Y ◁. 3 a est un nombre réel positif et b un nombre réel. Z est la variable

aléatoire définie par Z D aX C b. Déterminer a et b tels que V ▷Z◁ D 0,25 et E▷Z◁ D 1,42.

16Somme des chiffres_{Lycée La Bruyère, Versailles} Corrigé ; p. 331 ; 20 min ; ⋆

On choisit au hasard un nombre entre 0 et 25 (compris) et on définit la variable aléatoire qui lui associe la somme de ses chiffres.

1 Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et son écart-type.

2 Soit la variable aléatoire Y D −2X C 5.

Donner son espérance et son écart-type.

17Des numéros et des couleurs_{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés} Corrigé ; p. 332 ; 25 min ; ⋆

Une urne contient trois boules vertes numérotées respectivement 1, 2, 3, deux boules rouges numérotées respectivement 1 et 2, et une boule noire numérotée 1. On tire au hasard successivement et avec remise deux boules de l’urne. On note la couleur et le numéro de chaque boule tirée.

1 À l’aide d’un tableau à double entrée, déterminer toutes les issues pos-

sibles de l’expérience. 2 On nomme A, B et C les trois événements suivants :

A : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

B : « La deuxième boule porte le numéro 1 ».

C : « Les deux boules tirées portent le même numéro ».

(a) Calculer la probabilité des événements A, B et C.

(b) Définir par une phrase les événements A∩ C, A∪ C, \overline{B}, \overline{A}∪ B, puis calculer leurs probabilités respectives.

3 X est la variable aléatoire qui, à chaque issue de l’expérience, associe la somme des deux numéros obtenus.

(a) Donner l’ensemble des valeurs prises par X.

(b) Déterminer la loi de probabilité de X.

(c) Déterminer l’espérance et la variance de X.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 319 — #329 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{319} CORRIGÉS INTERROS COURS
18Dodécaèdre_{Lycée Édouard Herriot, Lyon} Corrigé ; p. 333 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

On lance un dé équilibré dont les 12 faces sont numérotées de 1 à 12. Si le numéro obtenu est pair, le joueur gagne 2 points. Si le numéro obtenu est un multiple de 3, le joueur gagne 3 points. Si le numéro obtenu est supérieur ou égal à 10, le joueur gagne 4 points. Dans tous les autres cas, le joueur perd 5 points. Les gains sont cumulables si le numéro obtenu réalise plusieurs de ces conditions. 1 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui, à un

lancer, associer le gain obtenu. 2 Déterminer l’espérance mathématique de X. Ce jeu est-il équitable? 3 Combien de points devrait-on prendre au joueur lorsqu’il perd pour que

le jeu soit équitable?

19Sac de boules_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} Corrigé ; p. 334 ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule rouge, 3 boules jaunes et n boules noires (n désigne un entier naturel strictement positif). On organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 10 �; si la boule est jaune, il reçoit 2 �; si la boule est noire, il ne reçoit rien. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant 1 �. On note X_{n} la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur ( somme reçue moins la mise ).

1 Quel est le nombre de boules dans le sac? 2 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X_{n} . 3 Déterminer, en fonction de n, l’espérance mathématique de X_{n} . 4 On souhaite que l’espérance soit négative. Quel nombre minimal de

boules noires doit-il y avoir dans le sac?

20Loi d’une variable aléatoire_{Lycée La Bruyère, Versailles} Corrigé ; p. 335 ; 20 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Une urne contient 10 boules blanches et n boules noires, n étant un nombre entier supérieur ou égal à 2. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche obtenue on gagne 2 � et pour une boule noire on perd 3 �. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 320 — #330 INTERROS_{320}

1 Le joueur tire une boule.

(a) Quelles sont les valeurs prises par X?

(b) Donner, en fonction de n, la loi de probabilité de X.

(c) Exprimer E▷X◁ en fonction de n.

(d) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles le jeu est favorable au

joueur. 2 Le joueur tire successivement deux boules sans remise.

(a) Quelles sont les valeurs possibles pour X?

(b) Donner la loi de probabilité de X.

(c) Exprimer E▷X◁ en fonction de n.

(d) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles le jeu est défavorable au joueur.

21La bonne proportion_{Lycée Notre-Dame de Sainte-Croix, Neuilly-sur-Seine} Corrigé ; p. 336 ; 30 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

Marie propose le jeu suivant à Pierre. Un sac contient n boules noires et une boule blanche (avec n un entier strictement positif). Pierre tire une boule au hasard, note sa couleur, la remet dans le sac puis tire une nouvelle boule. Si les deux boules tirées sont noires, Marie donne 1 � à Pierre. Si elles sont blanches, Marie donne 10 � à Pierre. Si elles sont de couleurs différentes, Pierre donne 3,50 � à Marie. On note G la variable aléatoire donnant le gain algébrique de Pierre (qui peut être négatif si c’est une perte). 1 On suppose dans cette question que n D 6.

(a) Combien y a-t-il de boules dans l’urne?

(b) Faire un arbre pondéré.

(c) Déterminer la loi de probabilité de G.

(d) Calculer l’espérance mathématique de G.

(e) Interpréter ce résultat. 2 Dans le cas général.

(a) Combien y a-t-il de boules dans l’urne?

(b) Quelle est, en fonction de n, la probabilité de tirer une boule noire au premier tirage?

(c) Faire un arbre pondéré.

(d) Calculer la loi de probabilité de G.

(e) Calculer l’espérance mathématique de G en fonction de n.

(f) Pour quelles valeurs de n le jeu est-il équitable?

(g) Pour quelles valeurs de n le jeu risque-t-il de rapporter le plus d’argent à Marie?

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 321 — #331 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{321} CORRIGÉS INTERROS COURS

Algorithmes & programmation

22Transformation affine_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} Corrigé ; p. 338 ; 5 min ; ⋆

Dans un programme Python, on suppose connues les listes X et P contenant respectivement les valeurs et leurs probabilités d’une variable aléatoire X. On considère la variable Y D −3X C 5.

Écrire la portion de code permettant de créer la liste Y contenant toutes les valeurs de la variable aléatoire Y.

23Calcul des paramètres de dispersion_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} Corrigé ; p. 339 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

On considère un algorithme dans lequel sont définis deux listes : la liste X, dans laquelle se trouvent les valeurs d’une variable aléatoire, et la liste P, dans laquelle se trouvent les probabilités des valeurs de X. 1 Écrire un algorithme qui calcule et affiche l’espérance, la variance et

l’écart-type de X. 2 Écrire un programme Python comportant trois fonctions : une pour cal-

culer l’espérance d’une variable aléatoire X à partir des listes X et P, une qui calcule la variance, et une autre qui calcule d’écart-type. Aide : ces trois fonctions admettent pour arguments X et P.

24Formule de König-Huygens_{Lycée Marie Curie, Sceaux} Corrigé ; p. 340 ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

On considère un programme Python commençant par les lignes suivantes :

         {X = [-5,-3,0,1,2,10] \atop P = [0.2,0.3,0.05,0.05,0.3,0.1]}

où X est une liste comportant toutes les valeurs d’une variable aléatoire X, et P une liste comportant toutes les probabilités (ordonnées) des valeurs de X (ainsi, P[i] est la probabilité que X prenne la valeur X[i] pour i variant de 0 à 5).

Compléter cet algorithme afin qu’il affiche la variance de X à l’aide de la formule de König-Huygens :

V ▷X◁ D E▷X^{2}◁ − [E▷X◁]^{2}.

Pour cela, on pourra faire appel à la fonction esperance de l’exercice 23.

Pièce truquée — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 322 — #332

CORRIGÉS_{322}

1_{V/F} Variable aléatoire {Énoncé \atop p. 312}

1 Vrai. D’après la formule du calcul de l’espérance, si X ne prend que des valeurs positives, l’espérance est obtenue par produit puis somme de quantités positives. Donc E▷X◁ ⩾ 0.

2 Faux. Contre-exemple : la variable aléatoire X qui prend la valeur −1 avec une probabilité de 0,1 et la valeur 1 avec une probabilité de 0,9 a pour espérance E▷X◁ D 0,1 × ▷−1◁ C 0,9 × 1 D 0,8. Donc E▷X◁ > 0, mais X prend une valeur négative.

2_{QCM} En fonction de n {Énoncé \atop p. 312}

1 Réponse b . Si on tire une boule blanche, X D 2. Si on tire une boule

noire, X D −3. 2 Réponse a . En effet, le nombre total de boules est nC10, et les valeurs

prises par X sont −3 et 2.

3 Réponse c . D’après le cours : E▷X◁ D \frac{n}{n C 10} × ▷−3◁ C \frac{10}{n C 10} × 2.

4 Réponse c . Le jeu est favorable au joueur si E▷X◁ > 0, donc si

−3n C 20 > 0, c’est-à-dire n < \frac{20}{3}.

3La base_{Lycée Édouard Branly, Nogent-sur-Marne} {Énoncé \atop p. 313}

1 La somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à 1, et comme p_{3} D 3p_{6}, on a 0,2 C 0,1 C 3p_{6} C 0,06 C 0,2 C p_{6} D 1, d’où 4p_{6} D 0,44. On a donc p_{6} D 0,11 et p_{3} D 0,33.

2 \begin{aligned}E▷X◁ D & 0,2 × 1 C 0,1 × 2 C 0,33 × 3 C 0,06 × 4 C 0,2 × 5 \\ & & C 0,11 × 6 \\ E▷X◁ D & 3,29. \end{aligned}

4Pièce truquée_{Lycée Clémenceau, Nantes} {Énoncé \atop p. 313}

1 D’après l’arbre suivant, X D {−20I 5I 30}.

Cotisation moyenne — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 323 — #333

VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{323} CORRIGÉS INTERROS COURS

2 La probabilité d’obtenir deux fois « Face » est 0,6 × 0,6 D 0,36. Donc P ▷X D −20◁ D 0,36.

La probabilité d’obtenir une fois « Face » et une fois « Pile », donc de l’événement « P F ou FP » est 2 × 0,4 × 0,6 D 0,48. Donc P ▷X D 5◁ D 0,48

La probabilité d’obtenir deux fois « Pile » est 0,4 × 0,4 D 0,16. Donc P ▷X D 30◁ D 0,16. On peut résumer tout ceci dans un tableau :

\begin{matrix}X D x_{i} & −20 & 5 & 30 \\ P ▷X D x_{i}◁ & 0,36 & 0,48 & 0,16 \end{matrix}

3 \begin{matrix}P ▷X ⩽ 5◁ & D P ▷X D −25◁ C P ▷X D 5◁ \\ D 1 − P ▷X D 30◁ \\ D 1 − 0,16 \\ D 0,84. \end{matrix}

5Ventes_{Lycée Camille Vernet, Valence} {Énoncé \atop p. 313}

1 P ▷X ⩾ 2◁ D 1 − P ▷X < 2◁ D 1 − 0,16 − 0,1 D 0,74.

P ▷X < 4◁ D 1 − P ▷X ⩾ 4◁ D 1 − 0,1 − 0,05 D 0,85.

MÉTHODE

Pour calculer la probabilité d’un événement du type ▷X > a◁ ou ▷X < a◁, il faut étudier si la probabilité de l’événement contraire n’est pas plus simple à calculer.

2 \begin{aligned}E▷X◁ D & 0,16 × 0 C 0,1 × 1 C 0,35 × 2 C 0,24 × 3 C 0,1 × 4 \\ & & C 0,05 × 5 \\ E▷X◁ D & 0,1 C 0,7 C 0,72 C 0,4 C 0,25 \\ E▷X◁ D & 2,17. \end{aligned}

Ce résultat signifie que sur de nombreuses semaines, le commercial peut espérer vendre en moyenne 2,17 installations par semaine.

6Cotisation moyenne_{Lycée Honoré de Balzac, Paris} {Énoncé \atop p. 314}

1 La loi de probabilité de la variable aléatoire S est :

\begin{matrix}Valeurs s_{i} & 45 & 65 & 75 \\ P ▷S D s_{i}◁ & 0,3 & 0,2 & 0,5 \end{matrix}

Interprétation de l’espérance — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 324 — #334

CORRIGÉS_{324}

2 L’espérance de S est :

E▷S◁D 0,3 × 45 C 0,2 × 65 C 0,5 × 75
E▷S◁D 13,5 C 13 C 37,5
E▷S◁D 64.

Cela signifie que si l’on interroge au hasard un grand nombre de membres de ce club, le montant moyen de leur cotisation sera proche de 64 euros.

MÉTHODE

Une tel exercice est en réalité très proche d’un exercice de statistique. Les pourcentages correspondent aux probabilités. Et le calcul de l’espérance est exactement le calcul de la moyenne d’une série statistique. C’est au niveau de l’interprétation qu’il y a une légère différence, car dans le contexte « probabilité », on interroge un membre au hasard, quitte à répéter l’expérience plusieurs fois, alors qu’en statistiques, on considère tous les résultats en même temps. C’est pour cela que pour interpréter l’espérance, on dit que la moyenne des résultats de nombreuses répétitions s’approche de l’espérance. En revanche, on peut utiliser la calculatrice de la même façon qu’en statistiques.

7Ticket gagnant_{Lycée International Europole, Grenoble} {Énoncé \atop p. 314}

1 La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 10, 20 et 50.

2 La loi de probabilité de X est :

\begin{matrix}Gain x_{i} & 0 & 10 & 20 & 50 \\ P ▷X D x_{i}◁ & 0,4 & 0,5 & 0,09 & 0,01 \end{matrix}

3 P ▷X ⩾ 20◁ D P ▷X D 20◁ C P ▷X D 50◁ D 0,09 C 0,01 D 0,1.

4 E▷X◁ D 0 × 0,4 C 10 × 0,5 C 20 × 0,09 C 50 × 0,01 D 7,3.

8Interprétation de l’espérance_{Lycée Albert Chatelet, Douai} {Énoncé \atop p. 314}

1 La somme des probabilités est égale à 1 donc :

P ▷X D 3◁ D 1 − 0,4 − 0,2 − 0,15 D 0,25.
2 \begin{matrix}E▷X◁ & D 0,4 × ▷−1◁ C 0,2 × 1 C 0,25 × 3 C 0,15 × 5 \\ E▷X◁ & D −0,4 C 0,2 C 0,75 C 0,75 \\ E▷X◁ & D 1,3. \end{matrix}

Un sac — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 325 — #335 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{325} CORRIGÉS INTERROS COURS

3 P ▷X ⩾ 3◁ D P ▷X D 3◁ C P ▷X D 5◁ D 0,25 C 0,15 D 0,4.

Avec l’événement contraire :

P ▷X ⩾ 3◁D 1 − P ▷X < 3◁
D 1 − P ▷X D −1◁ − P ▷X D 1◁
D 1 − 0,4 − 0,2
D 0,4.

4 E(X) représente le gain moyen par expérience que l’on pourrait espérer après un grand nombre de répétitions de l’expérience.

9Gagner à la loterie_{Lycée Jean-Pierre Vernant, Sèvres} {Énoncé \atop p. 315}

1 (a) Les valeurs prises par G sont 498 pour 1 billet, 98 pour 2 billets, 8 pour 6 billets et −2 pour les 791 billets restants. La loi de probabilité de G est donc la suivante :

Gain  498 98  8  −2
Probabilité \frac{1}{800} \frac{2}{800} \frac{6}{800} \frac{791}{800}

(b) \begin{matrix}E▷G◁ & D 498 × \frac{1}{800} C 98 × \frac{2}{800} C 8 × \frac{6}{800} − 2 × \frac{791}{800} \\ E▷G◁ & D \frac{498 C 196 C 48 − 1582}{800} \\ E▷G◁ & D −1,05. \end{matrix}

(c) Comme l’espérance de la variable aléatoire qui donne le gain du joueur est négative, cela signifie que le jeu est favorable à l’organisateur.

2 (a) Pour acheter les 800 billets, la personne débourse :

800 × 2 D 1 600 euros.

(b) Les 9 billets gagnants permettent de gagner au total :

500 C 2 × 100 C 6 × 10 D 760 euros.

(c) La personne a donc perdu 1 600 − 760 D 840 euros.

(d) Cela revient à une perte moyenne par billet de \frac{840}{800} D 1,05 euros. On peut donc considérer qu’elle « gagne » en moyenne −1,05 euros par billet, ce qui est égal à l’espérance de gain du joueur calculée précédemment.

Un jeu d’enfant — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 326 — #336

CORRIGÉS_{326}

10Un sac_{Lycée Charlemagne, Paris} {Énoncé \atop p. 315}

1 Il s’agit de la répétition deux fois du tirage d’une boule parmi trois.

2 L’univers est : {▷4 I 4◁,▷4 I 3◁,▷3 I 3◁,▷3 I 4◁}.

3 p▷4 I 4◁ D 1 − ▷p▷3 I 3◁ C p▷3 I 4◁ C p▷4 I 3◁◁ D 1 − \frac{1}{9} − \frac{2}{9} − \frac{2}{9} D \frac{4}{9}.

4 (a) X prend les valeurs 6, 7 et 8.

Sa loi de probabilité est : \begin{matrix}x_{i} & 6 & 7 & 8 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} & \frac{4}{9} \end{matrix}

(b) E▷X◁ D 6 × \frac{1}{9} C 7 × \frac{4}{9} C 8 × \frac{4}{9} D \frac{22}{3}.

V ▷X◁ D \frac{1}{9} ( 6 − \frac{22}{3}) ^{2} C \frac{4}{9} ( 7 − \frac{22}{3}) ^{2} C \frac{4}{9} ( 8 − \frac{22}{3}) ^{2} D \frac{4}{9}.

11Jeu équitable_{Lycée Fustel de Coulanges, Massy} {Énoncé \atop p. 316}

1 En tenant compte de la mise, les valeurs prises par X sont 8, −2 et 0.

La loi de probabilité de X est : \begin{matrix}Gain x_{i} & −2 & 0 & 8 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{25}{44} & \frac{1}{4} & \frac{2}{11} \end{matrix}

E▷X◁ D −2 × \frac{25}{44} C 0 × \frac{1}{4} C 8 × \frac{2}{11} D \frac{14}{44} D \frac{7}{22}.

2 (a) Le jeu n’est pas favorable à l’organisateur, car l’espérance du gain du joueur est positive.

(b) Pour que E▷X◁ D 0, on doit avoir −2 × \frac{25}{44} C ▷S − 2◁ × \frac{2}{11} D 0. Cela donne la condition −50 C 8S − 16 D 0, c’est-à-dire

S D \frac{66}{8} D 8,25.

Pour que le jeu soit équitable, il faut que lorsqu’il gagne, le joueur ne gagne que 8,25 euros.

12Un jeu d’enfant_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 316}

Sur le schéma représenté page suivante, le nombre de faces peintes a été inscrit sur chaque cube.

Dé tétraédrique — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 327 — #337

VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{327} CORRIGÉS INTERROS COURS

1 D’après les observations précédentes, X▷ ◁ D {2 I 3 I 4 I 5}.

2 La loi de probabilité de X est :

Valeurs de X  2  3  4  5
p▷X D x_{i}◁  \frac{1}{10} D 0,1 \frac{4}{10} D 0,4 \frac{3}{10} D 0,3 \frac{2}{10} D 0,2
3 \begin{aligned}E▷X◁ & D 2 × 0,1 C 3 × 0,4 C 4 × 0,3 C 5 × 0,2 \\ & D 0,2 C 1,2 C 1,2 C 1 \\ & D 3,6. \end{aligned}

On peut en déduire que si l’enfant répète un grand nombre de fois cette expérience, chaque cube aura en moyenne entre 3 et 4 faces peintes.

4 Ajoutons une ligne à la loi de probabilité de X :

Valeurs de X  2  3  4  5
Valeurs de X^{2}  4  9 16 25
p▷X D x_{i}◁  0,1 0,4 0,3 0,2

Alors, la variance de X est :

V ▷X◁D (4 × 0,1 C 9 × 0,4 C 16 × 0,3 C 25 × 0,2) − 3,6^{2}
D 0,84.

Ainsi, l’écart-type de X est :

σ▷X◁ D \sqrt{0,84} ≈ 0,9.

13Dé tétraédrique_{Lycée Pasteur, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 316}

1 (a) Sachant que la somme des probabilités vaut 1, avec les trois indications de l’énoncé on obtient les quatre équations suivantes :

\{ \begin{matrix}p_{2} C p_{4} C p_{5} C p_{7} D 1 \\ p_{2} D p_{5} \\ p_{5} D 2p_{4} \\ p_{7} D 3p_{2} \end{matrix}

Tirage de boules dans une urne — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 328 — #338

CORRIGÉS_{328}

On trouve donc :

\{ \begin{matrix}p_{5} D 2p_{4} \\ p_{2} D 2p_{4} \\ p_{7} D 6p_{4} \\ 2p_{4} C p_{4} C 2p_{4} C 6p_{4} D 1 \end{matrix}

Par conséquent, on a bien p_{4} D \frac{1}{11}.

(b) On en déduit les probabilités d’obtenir chaque valeur :

p▷X D 4◁ D p_{4} D \frac{1}{11}.

p▷X D 2◁ D P ▷X D 5◁ D 2p_{4} D \frac{2}{11}.

p▷X D 7◁ D 6p_{4} D \frac{6}{11}.

On peut rassembler ces résultats dans le tableau suivant :

\begin{matrix}x_{i} & 2 & 4 & 5 & 7 \\ p_{i} & \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & \frac{2}{11} & \frac{6}{11} \end{matrix}

(c) E▷X◁ D 2 × \frac{2}{11} C 4 × \frac{1}{11} C 5 × \frac{2}{11} C 7 × \frac{6}{11} D \frac{60}{11}.

2 p▷A◁ D p▷X D 2◁ C p▷X D 4◁ D \frac{3}{11}.

p▷B◁ D 1 − p▷X D 2◁ D \frac{9}{11}.

3 \overline{A} est l’événement : « on obtient une face avec un numéro impair », donc

p▷\overline{A}◁ D 1 − p▷A◁ D \frac{8}{11}.

A ∩ B est l’événement : « on obtient une face avec un numéro pair

supérieur à 3 », donc p▷A ∩ B◁ D p▷X D 4◁ D \frac{1}{11}. A ∪ B est l’événement : « on obtient un numéro pair ou un numéro plus grand que 3 ». On constate que toutes les issues conviennent, donc p▷A ∪ B◁ D 1.

14Tirage de boules dans une urne_{Institut Notre-Dame, Meudon} {Énoncé \atop p. 317}

1 Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire, c’est donner l’ensemble des résultats possibles de l’expérience aléatoire et, pour chaque résultat, la probabilité associée. Comme on tire successivement deux boules, les résultats possibles sont les couples dont la première composante correspond à la boule obtenue

Tirage de boules dans une urne — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 329 — #339

VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{329} CORRIGÉS INTERROS COURS

au premier tirage et la deuxième composante correspond à la boule obtenue au deuxième tirage. Si on désigne la boule rouge par R, la verte par V et la bleue par B, on a :

D {▷R,R◁,▷R,V ◁,▷R,B◁,▷V,R◁,▷V,V ◁,▷V,B◁,▷B,R◁,

▷B,V ◁,▷B,B◁}

Les boules sont indiscernables au toucher, elles ont donc toutes la même probabilité d’être tirées et on est en situation d’équiprobabilité. Comme il existe 9 résultats possibles à cette expérience aléatoire, la probabilité de chacun des résultats est \frac{1}{9}.

2 (a) La variable aléatoire T peut prendre les valeurs : −6 (quand on tire deux boules bleues), −2 (quand on tire une boule rouge et une bleue), −1 (quand on tire une boule verte et une bleue), C2 (quand on tire deux boules rouges), C3 (quand on tire une boule rouge et une verte), C4 (quand on tire deux boules vertes). Il existe un seul couple correspondant au tirage de deux boules bleues donc :

P ▷T D −6◁ D \frac{1}{9}.

Il existe deux couples correspondant au tirage d’une rouge et d’une bleue : ▷R,B◁ et ▷B,R◁ donc :

P ▷T D −2◁ D \frac{2}{9}.

En raisonnant de même, on obtient :

P ▷T D −1◁ D \frac{2}{9} , P ▷T D 2◁ D \frac{1}{9},
P ▷T D 3◁ D \frac{2}{9} , P ▷T D 4◁ D \frac{1}{9}.

On peut récapituler ces résultats dans un tableau :

\begin{matrix}K & −6 & −2 & −1 & C2 & C3 & C4 \\ P ▷T D K◁ & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \end{matrix}

On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1.

(b) E▷T ◁ D −6 × \frac{1}{9} − 2 × \frac{2}{9} − 1 × \frac{2}{9} C 2 × \frac{1}{9} C 3 × \frac{2}{9} C 4 × \frac{1}{9} D 0.

Donc, le jeu est équitable.

Propriétés — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 330 — #340

CORRIGÉS_{330}

3 Le joueur perd la partie lorsqu’il a un nombre négatif de points, c’est-à-dire lorsque T prend les valeurs −6 ou −2 ou −1. Soit A l’événement « le joueur perd la partie ».

\begin{matrix}P ▷A◁ & D P ▷T D −6◁ C P ▷T D −2◁ C P ▷T D −1◁ \\ P ▷A◁ & D \frac{1}{9} C \frac{2}{9} C \frac{2}{9} \\ P ▷A◁ & D \frac{5}{9}. \end{matrix}

La probabilité que le joueur perde la partie est \frac{5}{9}.

Remarque : cela n’est pas contradictoire avec E▷T ◁ D 0.

15Propriétés_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 317}
1 \begin{aligned}E▷X◁ & D 0 × 0,2 C 1 × 0,1 C 2 × 0,2 C 3 × 0,4 C 4 × 0,1 \\ & D 2,1. \end{aligned}

Pour calculer la variance, ajoutons une ligne à la loi de probabilité de X :

Valeurs de X  0  1  2  3  4
Valeurs de X^{2}  0  1  4  9 16
p_{i} D p▷X D x_{i}◁ 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

D’après la formule de König-Huygens, on a :

V ▷X◁D (0 × 0,2 C 1 × 0,1 C 4 × 0,2 C 9 × 0,4 C 16 × 0,1) − 2,1^{2}
D 1,69.

Ainsi, l’écart-type de X est : σ▷X◁ D \sqrt{1,69} D 1,3. 2 D’après le cours,

E▷Y ◁ D E▷−2X C 3◁ D −2E▷X◁ C 3 D −2 × 2,1 C 3 D −1,2.

V ▷Y ◁ D V ▷−2X C 3◁ D ▷−2◁^{2}V ▷X◁ D 4 × 1,69 D 6,76.

σ▷Y ◁ D σ▷−2X C 3◁ D | − 2|σ▷X◁ D 2 × 1,3 D 2,6.

3 \begin{aligned}V ▷Z◁ D 0,25 & ⟺ a^{2}V ▷X◁ D 0,25 \\ & ⟺ a^{2} D \frac{0,25}{1,69} \\ & ⟺ a D \sqrt{\frac{0,25}{1,69}} car a > 0 \\ & ⟺ a D \frac{0,5}{1,3} D \frac{5}{13}. \end{aligned}

Somme des chiffres — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 331 — #341 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{331} CORRIGÉS INTERROS COURS
E▷Z◁ D 1,42 ⟺ aE▷X◁ C b D 1,42

⟺ a × 2,1 C b D 1,42 ⟺ b D 1,42 − 2,1a

⟺ b D \frac{142}{100} − \frac{21}{10} × \frac{5}{13} D \frac{199}{325}.

16Somme des chiffres_{Lycée La Bruyère, Versailles} {Énoncé \atop p. 318}

1 Le tableau suivant donne la somme des chiffres des nombres de 0 à 25. Nombre

Somme des chiffres

0  0
1  1
2  2
3  3
4  4
5  5
6  6
7  7
8  8
9  9
10  1
11  2
12  3

Nombre

Somme des chiffres

13  4
14  5
15  6
16  7
17  8
18  9
19  10
20  2
21  3
22  4
23  5
24  6
25  7

Les nombres étant tirés au hasard, chacun des 26 nombres a pour probabilité \frac{1}{26} d’être tiré. On obtient donc la loi de probabilité page suivante pour X.

\begin{matrix}x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{1}{26} & \frac{2}{26} & \frac{3}{26} & \frac{3}{26} & \frac{3}{26} & \frac{3}{26} \end{matrix}

\begin{matrix}x_{i} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{3}{26} & \frac{3}{26} & \frac{2}{26} & \frac{2}{26} & \frac{1}{26} \end{matrix}

On a donc :

E▷X◁ D 0 × \frac{1}{26} C 1 × \frac{2}{26} C ⋯C 10 × \frac{1}{26} D \frac{127}{26}.

Des numéros et des couleurs — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 332 — #342 CORRIGÉS_{332}

\begin{matrix}V ▷X◁ & D \frac{1}{26} ( 0 − \frac{127}{26}) ^{2} C \frac{2}{26} ( 1 − \frac{127}{26}) ^{2} \\ C ⋯C \frac{1}{26} ( 10 − \frac{127}{26}) ^{2} D \frac{4 905}{676}. \end{matrix}

σ▷X◁ D \sqrt{V ▷X◁}D \sqrt{\frac{4 905}{676}} ≈ 2,69.

2 E▷Y ◁ D −2E▷X◁ C 5 D −\frac{62}{13}, et σ▷Y ◁ D 2σ▷X◁ D 2\sqrt{\frac{4 905}{676}} ≈ 5,39.

17Des numéros et des couleurs_{Lycée Teilhard de Chardin, Saint-Maur-des-fossés} {Énoncé \atop p. 318}

1 Le tableau ci-dessous permettra de répondre à toutes les questions :

[figure: 2^{e} boule; 1^{re} boule]

V_{1} V_{2} V_{3} R_{1} R_{2} N_{1}

V_{1}  V_{1}V_{1} V_{1}V_{2} V_{1}V_{3} V_{1}R_{1} V_{1}R_{2} V_{1}N_{1}
V_{2}  V_{1}V_{2} V_{2}V_{2} V_{3}V_{2} R_{1}V_{2} R_{2}V_{2} N_{1}V_{2}
V_{3}  V_{1}V_{3} V_{2}V_{3} V_{3}V_{3} R_{1}V_{3} R_{2}V_{3} N_{1}V_{3}
R_{1}  V_{1}R_{1} V_{2}R_{1} V_{3}R_{1} R_{1}R_{1} R_{2}R_{1} N_{1}R_{1}
R_{2}  V_{1}R_{2} V_{2}R_{2} V_{3}R_{2} R_{1}R_{2} R_{2}R_{2} N_{1}R_{2}
N_{1}  V_{1}N_{1} V_{2}N_{1} V_{3}N_{1} R_{1}N_{1} R_{2}N_{1} N_{1}N_{1}

Il y a donc 36 issues possibles. 2 (a) p▷A◁ D \frac{22}{36} D \frac{11}{18}. Il suffit pour trouver ce résultat de compter les

issues où ne figurent pas deux fois la même couleur.

p▷B◁ D \frac{18}{36} D \frac{1}{2}. En effet il y a trois lignes pour lesquelles la deuxième boule porte le numéro 1.

p▷C◁ D \frac{14}{36} D \frac{7}{18}. Là encore on compte dans le tableau précédent les cases où les deux boules portent le même numéro.

(b) A∩C : « les 2 boules tirées sont de couleurs différentes et portent

le même numéro ».

P ▷A ∩ C◁ D \frac{8}{36} D \frac{2}{9}.

A∪C : « les 2 boules tirées sont de couleurs différentes ou portent le même numéro ».

P ▷A ∪ C◁D P ▷A◁ C P ▷C◁ − P ▷A ∩ C◁

D \frac{11}{18} C \frac{14}{36} − \frac{2}{9}

D \frac{28}{36} D \frac{7}{9} (vérifiable dans le tableau).

Dodécaèdre — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 333 — #343 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{333} CORRIGÉS INTERROS COURS

\overline{B} : « la 2^{e} boule porte le numéro 2 ou 3 ».

P ▷\overline{B}◁ D 1 − P ▷B◁ D \frac{1}{2}.

\overline{A} ∪ B : « les 2 boules tirées ont la même couleur ou la deuxième porte le numéro 1 ».

P ▷\overline{A} ∪ B◁ D \frac{26}{36} D \frac{13}{18}.

3 (a) On peut avoir une somme égale à 2, 3, 4, 5 ou 6.

(b) En utilisant le tableau ci-dessus, on obtient la loi de probabilité suivante :

\begin{matrix}x_{i} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{9}{36} & \frac{12}{36} & \frac{10}{36} & \frac{4}{36} & \frac{1}{36} \end{matrix}

(c) E▷X◁ D 2 × \frac{9}{36} C 3 × \frac{12}{36} C 4 × \frac{10}{36} C 5 × \frac{4}{36} C 6 × \frac{1}{36} D \frac{10}{3}.

V ▷X◁D \frac{9}{36} ( 2 − \frac{10}{3}) ^{2} C \frac{12}{36} ( 3 − \frac{10}{3}) ^{2} C \frac{10}{36} ( 4 − \frac{10}{3}) ^{2}

C \frac{4}{36} ( 5 − \frac{10}{3}) ^{2} C \frac{1}{36} ( 6 − \frac{10}{3}) ^{2}

D \frac{10}{9}.

18Dodécaèdre_{Lycée Édouard Herriot, Lyon} {Énoncé \atop p. 319}

1 Pour commencer, on va calculer le gain obtenu pour chaque face.

Propriété 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pair  2  2  2  2  2  2
Multiple de 3  3  3  3  3

Supérieur ou égal à 10

4 4

4

Autres cas  −5  −5  −5
Total  −5 2 3 2 −5 5 −5 2 3 6 4 9

Comme le dé est équilibré, chaque issue a la même probabilité de se réaliser.

On obtient ainsi la loi de probabilité des gains page suivante.

Sac de boules — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 334 — #344 CORRIGÉS_{334}

\begin{matrix}Gains & −5 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 9 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{3}{12} D \frac{1}{4} & \frac{3}{12} D \frac{1}{4} & \frac{2}{12} D \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} & \frac{1}{12} \end{matrix}

2 \begin{matrix}E▷X◁ & D \frac{▷−5◁ × 3 C 2 × 3 C 3 × 2 C 4 × 1 C 5 × 1 C 6 × 1 C 9 × 1}{12} \\ E▷X◁ & D \frac{21}{12} \\ E▷X◁ & D \frac{7}{4} \\ E▷X◁ & D 1,75. \end{matrix}

Comme l’espérance est positive, le jeu est favorable au joueur ; il n’est donc pas équitable.

3 En appelant S le nombre de points à prendre au joueur quand il perd, l’espérance devient :

\begin{matrix}E▷X◁ & D \frac{▷−S◁ × 3 C 2 × 3 C 3 × 2 C 4 × 1 C 5 × 1 C 6 × 1 C 9 × 1}{12} \\ E▷X◁ & D \frac{−3S C 36}{12} . \end{matrix}

L’espérance est donc nulle pour −3S C 36 D 0, c’est-à-dire S D 12.

Il faut donc prendre 12 points au joueur quand il perd pour que le jeu soit équitable.

19Sac de boules_{Lycée Jacques Amyot, Auxerre} {Énoncé \atop p. 319}

1 Il y a en tout n C 3 C 1 D n C 4 boules dans le sac.

2 La loi de probabilité de X_{n} est :

Valeurs de X_{n}  −1  1  9
p▷X_{n} D x_{i}◁  \frac{n}{n C 4} \frac{3}{n C 4} \frac{1}{n C 4}

En effet, il y a une mise de départ : 1 �. Donc quand le joueur gagne 2 �, au final, il ne gagne que 1 �. Il en est de même pour les autres valeurs de X_{n}.

3 \begin{aligned}E▷X_{n}◁ & D ▷−1◁ × \frac{n}{n C 4} C 1 × \frac{3}{n C 4} C 9 × \frac{1}{n C 4} \\ & D \frac{12 − n}{n C 4} . \end{aligned}

Loi d’une variable aléatoire — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 335 — #345 VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{335} CORRIGÉS INTERROS COURS
4 \begin{aligned}E▷X_{n}◁ < 0 & ⟺ \frac{12 − n}{n C 4} < 0 \\ & ⟺ 12 − n < 0 car n > 0 donc n C 4 > 0 \\ & ⟺ n > 12. \end{aligned}

Il faut donc qu’il y ait au minimum 13 boules noires pour que l’espérance mathématique de X_{n} soit strictement négative.

20Loi d’une variable aléatoire_{Lycée La Bruyère, Versailles} {Énoncé \atop p. 319}

1 (a) X peut prendre les valeurs −3 et 2.

(b) Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité de X :

\begin{matrix}x_{i} & −3 & 2 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{n}{10 C n} & \frac{10}{10 C n} \end{matrix}

(c) E▷X◁ D \frac{−3n C 20}{10 C n} .

(d) Le jeu est favorable au joueur si E▷X◁ > 0. Or, n est un nombre positif, donc le jeu est favorable au joueur si et seulement si −3n C 20 > 0.

−3n C 20 > 0 ⇔ n < \frac{20}{3}

n étant un nombre entier, le jeu est favorable au joueur si et seulement si n est au plus égal à 6. Comme n est supérieur ou égal à 2, les seules valeurs pour lesquelles le jeu est favorable au joueur sont 2, 3 , 4 , 5 et 6.

2 (a) Le joueur peut perdre les deux parties, auquel cas son gain algébrique est −6. Il peut gagner une partie et perdre l’autre, auquel cas son gain algébrique est −1. Il peut aussi gagner les deux parties, auquel cas son gain algébrique est 4. Les trois valeurs possibles pour X sont donc −6, −1 et 4.

(b) L’expérience peut être représentée par l’arbre suivant :

La bonne proportion — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 336 — #346

CORRIGÉS_{336}

Ainsi, on a par exemple :

p▷B ∩ B◁ D \frac{10}{n C 10} × \frac{9}{n C 9} D \frac{90}{▷n C 10◁▷n C 9◁}.

On obtient donc la loi de probabilité suivante :

\begin{matrix}x_{i} & −6 & −1 & 4 \\ P ▷X D x_{i}◁ & \frac{n▷n − 1◁}{▷n C 10◁▷n C 9◁} & \frac{20n}{▷n C 10◁▷n C 9◁} & \frac{90}{▷n C 10◁▷n C 9◁} \end{matrix}

(c) \begin{aligned}E▷X◁ & D \frac{−6n▷n − 1◁ − 20n C 360}{▷n C 10◁▷n C 9◁} \\ & D \frac{−6n^{2} − 14n C 360}{▷n C 10◁▷n C 9◁} . \end{aligned}

(d) n étant un entier naturel, le dénominateur de E▷X◁ est positif. Pour le numérateur, il faut trouver les racines. 1 D 8 836 D 94^{2}. Les deux racines sont donc :

n′D \frac{14 − 94}{−12} D \frac{20}{3} et n′′D \frac{14 C 94}{−12} D −9.

Le coefficient de n^{2} étant négatif, on en déduit que E▷X◁ est positif entre les racines, soit pour 0 < n < \frac{20}{3}, et négatif pour n > \frac{20}{3}. Le jeu est donc défavorable au joueur dès que n est supérieur ou égal à 7, comme précédemment.

21La bonne proportion_{Lycée Notre-Dame de Sainte-Croix, Neuilly-sur-Seine} {Énoncé \atop p. 320}

1 (a) Il y a 6 C 1 D 7 boules dans l’urne. (b) On peut représenter l’expérience par l’arbre suivant :

La bonne proportion — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 337 — #347

VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{337} CORRIGÉS INTERROS COURS

(c) La variable aléatoire G prend la valeur 1 lorsque les deux boules sont noires, la valeur 10 si les deux boules sont blanches et la valeur −3,5 si les boules sont de couleurs différentes. Le jeu consiste en la répétition de deux expériences identiques et indépendantes.

La probabilité d’une liste de résultats est donc égale au produit de chaque résultat de la liste. On a alors la loi de probabilité suivante :

P ▷G D 1◁ D \frac{6}{7} × \frac{6}{7} D \frac{36}{49}.

P ▷G D 10◁ D \frac{1}{7} × \frac{1}{7} D \frac{1}{49}.

P ▷G D −3,5◁ D \frac{6}{7} × \frac{1}{7} C \frac{1}{7} × \frac{6}{7} D \frac{12}{49}.

(d) \begin{aligned}E▷G◁ & D 1 × \frac{36}{49} C 10 × \frac{1}{49} − 3,5 × \frac{12}{49} \\ & D \frac{4}{49}. \end{aligned}

(e) Cela signifie que sur un grand nombre de parties, Pierre peut

espérer gagner en moyenne \frac{4}{49} euros par partie.

2 On refait les mêmes raisonnements en remplaçant 6 par n. (a) Il y a n C 1 boules dans l’urne.

(b) La probabilité de tirer une boule noire à chaque tirage est donc

\frac{n}{n C 1}.

(c) L’arbre associé à l’expérience est :

(d) P ▷G D 1◁ D \frac{n}{n C 1} × \frac{n}{n C 1} D \frac{n^{2}}{▷n C 1◁^{2}}.

P ▷G D 10◁ D \frac{1}{n C 1} × \frac{1}{n C 1} D \frac{1}{▷n C 1◁^{2}}.

Transformation affine — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 338 — #348 CORRIGÉS_{338}

P ▷G D −3,5◁ D \frac{n}{n C 1} × \frac{1}{n C 1} C \frac{1}{n C 1} × \frac{n}{n C 1} D \frac{2n}{▷n C 1◁^{2}}.

(e) \begin{matrix}E▷G◁ & D 1 × \frac{n^{2}}{▷n C 1◁^{2}}C 10 × \frac{1}{▷n C 1◁^{2}}− 3,5 × \frac{2n}{▷n C 1◁^{2}} \\ E▷G◁ & D \frac{n^{2} − 7n C 10}{▷n C 1◁^{2}} . \end{matrix}

(f) Le jeu est équitable lorsque E▷G◁ D 0, c’est-à-dire lorsque n^{2} − 7n C 10 D 0. Le discriminant de cette équation du second degré en n vaut 9. Elle a donc deux solutions : 2 et 5. Le jeu est donc équitable lorsqu’il y a 2 ou 5 boules noires et une blanche.

(g) Le jeu risque risque de rapporter le plus d’argent à Marie lorsque l’espérance du gain de Pierre est minimale. Il faut donc trouver

pour quelle(s) valeur(s) entière(s), l’expression \frac{n^{2} − 7n C 10}{▷n C 1◁^{2}} est

minimale.

Posons f ▷x◁ D \frac{x^{2} − 7x C 10}{▷x C 1◁^{2}} et étudions les variations de f sur

T1 I C∞T.

\begin{aligned}f′▷x◁ & D \frac{▷2x − 7◁▷x C 1◁^{2} − 2▷x C 1◁▷x^{2} − 7x C 10◁}{▷x C 1◁^{4}} \\ & D \frac{▷2x − 7◁▷x^{2} C 2x C 1◁ − 2▷x C 1◁▷x^{2} − 7x C 10◁}{▷x C 1◁^{4}} \\ & D \frac{9▷x^{2} − 2x − 3◁}{▷x C 1◁^{4}} . \end{aligned}.

Le numérateur s’annule pour x D −1 et x D 3. La fonction f est donc décroissante sur l’intervalle T1 I 3U (entre les racines), puis croissante. Le minimum du gain pour Pierre est donc atteint quand n D 3. Le gain pour Marie est alors 0,125 �.

22Transformation affine_{Lycée Blaise Pascal, Clermont-Ferrand} {Énoncé \atop p. 321}

Le bout de code permettant de construire la liste Y définie par Y D −3X C 5 est le suivant :

Y = []
for i in X:
Y.append(-3*i+5)

Calcul des paramètres de dispersion — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 339 — #349

VARIABLES ALÉATOIRES CHAP. 10_{339} CORRIGÉS INTERROS COURS

Explications : on commence par initialiser la variable Y comme étant une liste vide (crochets sans rien à l’intérieur); on parcourt la liste X avec l’instruction « for i in X: » : ici, chaque valeur que va prendre la variable i sera une valeur contenue dans la liste

X;

on ajoute la valeur « -3*i+5 » dans la liste Y car Y D −3X C 5, ce qui signifie que chaque valeur de Y est obtenue en multipliant par −3 chaque valeur que prend X et en ajoutant 5.

23Calcul des paramètres de dispersion_{Lycée Camille Jullian, Bordeaux} {Énoncé \atop p. 321}

1  Algorithme

X et P sont deux listes
n ← longueur de X
E ← 0 (espérance de X)
V ← 0 (variance de X)
Pour i allant de 0 à n-1:
  E ← E + X[i]*P[i]
Fin du Pour
Pour i allant de 0 à n-1:
  V ← V + (X[i]-E)^{2}*P[i]
Fin du Pour
s < \sqrt{V} (écart-type)

2 Ici, un programme modulaire est demandé : c’est un programme dans lequel il y a plusieurs fonctions (modules). Un programme possible est celui présenté page suivante.

À RETENIR

Dans un programme Python,

len(<liste>) renvoie la longueur de la liste (le nombre d’items);

x**0.5 renvoie la racine carrée de x.

Ainsi, en tapant par exemple :

        X = [-5,-3,0,1,2,10]
        P = [0.2,0.3,0.05,0.05,0.3,0.1]
        print("L'espérance est :",esperance(X,P))
        print("La variance est :",variance(X,P))
        print("L'écart-type est :",ecartype(X,P))

on affiche les paramètres de dispersion de la variable aléatoire X définie dans le programme.

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Chapitre 10 page 340 — #350 CORRIGÉS_{340}

En Python

X = [-5,-3,0,1,2,10]
P = [0.2,0.3,0.05,0.05,0.3,0.1]
def esperance(X,P):
    e = 0
    for i in range(len(X)):
        e += X[i]*P[i]
    return e
def variance(X,P):
    v = 0
    e = esperance(X,P)
    for i in range(len(X)):
        v += P[i]*(X[i]-e)**2
    return v
def ecartype(X,P):
    return variance(X,P)**0.5
print("L'espérance est :",esperance(X,P))
print("La variance est :",variance(X,P))
print("L'écart-type est :",ecartype(X,P))

24Formule de König-Huygens_{Lycée Marie Curie, Sceaux} {Énoncé \atop p. 321}

La formule de König-Huygens sous-entend que l’on connaît la variable aléatoire X^{2}. Il faut donc la calculer avant tout. Pour cela, on utilise le code suivant :

En Python

Y = []
for i in X:
    Y.append(i*i)
V = esperance(Y,P) - esperance(X,P)**2
print(V)

Ainsi, la liste Y contient le carré des valeurs contenues dans la liste X (donc Y D X^{2}).

En utilisant la fonction esperance de l’exercice 23, cela donne :

        V = esperance(Y,P) - esperance(X,P)**2

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Annexe A page 341 — #351

Annexe_{341}

Liste des vidéos

Chapitre  Titre  Page

Chapitre 1 Cours : résolution d’une équation du second degré  3
Chapitre 1 Exercice 25 : recherche de deux nombres .........  14
Chapitre 2 Cours : l’essentiel sur la dérivation ...............  49
Chapitre 2 Exercice 9 : étude d’une tangente ................  58
Chapitre 4 Cours : la fonction exponentielle ................  103
Chapitre 4 Exercice type 1 : question 1 (équation) ...........  103
Chapitre 4 Exercice 12 : conjecture et preuve ...............  111
Chapitre 5 Cours : suites arithmétiques et géométriques ......  138
Chapitre 5 Exercice 21 : suite arithmético-géométrique ......  150
Chapitre 5 Exercice 24 : accroissement d’une population .....  152
Chapitre 7 Cours : le produit scalaire .......................  209
Chapitre 7 Exercice type 2 : produit scalaire ................  213
Chapitre 8 Exercice 14 : équation de cercle .................  257
Chapitre 9 Exercice type : probabilités conditionnelles .......  277
Chapitre 10 Exercice type : variables aléatoires ..............  307

IL1M — v. 1.0 27 mai 2025 — Annexe A page 342 — #352