\begin{questions}
\item  $\begin{aligned}[t]
f\left(\frac{4}{3} \right)=0 &\iff \frac{16}{9}a+20+c=0. \\
f\left(-\frac{1}{2} \right)=0 &\iff \frac{1}{4}a-\frac{15}{2}+c=0.
\end{aligned}$

\Par

On doit résoudre le système :
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{16}{9}a+c&=-20 \qquad &&(L_1) \\
\frac{1}{4}a+c&=\frac{15}{2} \qquad &&(L_2)
\end{aligned}
\right.
\]
$(L_1)-(L_2)$ donne : $\left( \dfrac{16}{9}-\dfrac{1}{4}\right)a=-20-\dfrac{15}{2}$,
\par
soit $\dfrac{55}{36}a=-\dfrac{55}{2}$ d'où $a=-18$.
\par
En remplaçant $a$ par $-18$ dans $(L_1)$ on a alors $-32+c=-20$,\linebreak d'où $c=12$.
\par
D'où :
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=-18 \\
c&=12
\end{aligned}
\right.
\]

\item  Pour que l'équation $g(x)=7x^{2}+bx+2=0$ n'admette pas de racine, il faut et il suffit que $\Delta<0$, soit :
        \[\Delta=b^{2}-56<0\]
soit encore :
        \[\big(b-2\sqrt{14}\big)\big(b+2\sqrt{14}\big)<0\,.\]
        On a un trinôme du second degré négatif entre les racines, soit pour:
        \[b\in  \left]-2\sqrt{14}~;2\sqrt{14}\right[\,.\]

\newpage

\item La fonction  $f$ admet un minimum;  on est donc dans le cas $a>0$.
\par
        Si on avait $\Delta\leq 0$, $f(x)$ serait, pour tout $x$ réel, nul ou du signe de $a$,
donc
        positif.
\par
        Comme la valeur $-1$ est atteinte, $\Delta>0$, il y a deux racines
        distinctes.

        \item  Notons $L$ la longueur et $l$ la largeur de la pelouse, avec $L=2l$.
\par
        La longueur et la largeur totale de la surface délimitée par l'allée de trois
        mètres (qui correspond donc à la somme des surfaces de la pelouse et de
        l'allée) valent alors, respectivement
        $L+6$ et $l+6$,
        ainsi qu'on peut le voir sur le schéma page suivante.

        \begin{center}
        \includegraphics{025_1_fig_10}
        \end{center}

        L'aire totale vaut donc $\mathcal{A}=(L+6)(l+6)=360$,
        ce qui donne :
        \[\mathcal{A}-360=(2l+6)(l+6)-360=2l^{2}+18l+36-360=0\]
d'o\`u :
        \[l^{2}+9l-162=0\,.\]
On a alors
        $\Delta=81+648=729$,
        d'où les solutions :
        \[
        \left(
        \begin{aligned}
        l&=9\\
        \text{ou}\\
        l&=-18
        \end{aligned}\right.\]
        La seconde solution n'étant évidemment pas possible, la pelouse mesure donc
        $9$~m de largeur sur $18$~m de longueur.
\end{questions}
