%
Soit $x$ le chiffre des dizaines et $y$ le chiffre des unités de $N$.\\
On a alors $N=10x+y$ avec $x + y = 14$.
\par
De plus, si on permute les chiffres de $N$, on obtient un nombre $N'$ qui a comme chiffre des
dizaines $y$ et comme chiffre des unités $x$. Donc :
\[N' = 10y + x.\]
\par La condition  $N N'  = \numprint{5605}$ s'écrit alors :
\[(10x + y) (10y + x) = \numprint{5605}\,.\]
\par
On résout le système :
\[
\left\{\begin{aligned}
&x + y = 14\\
&(10x + y) (10y + x) = \numprint{5605}
\end{aligned}\right.
\]
c'est-à-dire :\[\left\{\begin{aligned}
& y = 14 - x \\
& - 81x^2 + \numprint{1134}x -\numprint{3645} = 0\,.
\end{aligned}\right.
\]
En simplifiant par $-81$, l'équation du second degré se ramène à :
\[x^2-14x+45=0.\]
Cette équation, dont le discriminant est $16$, admet deux solutions : 9 et 5.
\par
On en déduit que le nombre $N$ peut être soit $95$ soit $59$.
