\begin{questions}
\item Résolution de l'équation $3x^4-5x^2-2=0$.

On pose $X=x^2$. Alors,
\begin{align*}
3x^4-5x^2-2=0 & \iff 3\big(x^2\big)^2 - 5(x)^2 - 2=0\\
                          & \iff 3X^2 - 5X - 2=0.
\end{align*}
Le discriminant de $3X^2-5X-2$ est:
\[
\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\times3\times(-2) = 25 + 24 = 49.
\]
Le trinôme admet donc deux racines:
\[
X_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}
\]
et
\[
X_2 = \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{5+7}{6}=2.
\]
Il nous faut maintenant voir à quelles valeurs de $x$ ces valeurs de $X$ correspondent:
\begin{itemize}
\item $X_1= x_1^2 = -\frac{1}{3}$ est impossible car un carré ne peut pas être négatif;
\item $X_2=x_2^2 = 2$ donc $x_2=-\sqrt2$ ou $x_2=\sqrt2$.
\end{itemize}
Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $3x^4-5x^2-2=0$ est:
\[
\mathcal{S}=\{-\sqrt2;\sqrt2\}.
\]

\item Résolution de l'équation $2x^3-x+4x^2=0$.
\begin{align*}
2x^3-x+4x^2=0 & \iff x(2x^2+4x-1)=0\\
& \iff x = 0 \text{ ou } 2x^2+4x-1=0.
\end{align*}
Le discriminant de $2x^2+4x-1$ est:
\[
\Delta = 4^2-4\times2\times(-1) = 16 + 8 = 24.
\]
Ses deux racines sont alors:
\[
x_1 = \frac{-4-\sqrt{24}}{2\times2}=\frac{-4-2\sqrt6}{4}=\frac{-2-\sqrt6}{2}
\]
et sa conjuguée:
\[
x_2=\frac{-2+\sqrt6}{2}.
\]
Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $2x^3-x+4x^2=0$ est:
\[
\mathcal{S} = \left\{ \frac{-2-\sqrt6}{2}~;~0~;~\frac{-2+\sqrt6}{2} \right\}.
\]
\end{questions}
