\begin{questions}
        \item
        \begin{questions}
                \item  La représentation de la parabole $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ est la
                suivante :
                \begin{center}
                \includegraphics{027_1_fig_8}
                \end{center}
 %%
                \item  Les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et
                de $\mathcal{D}$ sont solutions de l'\'equation :
                \[-2x+2=x^{2}.\]
                Or :
                \begin{align*}
                x^{2}+2x-2=0 &\iff (x+1)^2-1-2 = 0 \\
                             &\iff (x+1)^2 = 3 \\
                             &\iff x+1 = \sqrt{3} \quad \text{ou} \quad x+1 = - \sqrt{3}
                \end{align*}
                d'où les racines :
                \[
                x_{1}=-1+\sqrt{3}\quad\text{et}\quad
                x_{2}=-1-\sqrt{3}\,.
               \]
$\mathcal{D}$ coupe $\mathcal{P}$ en deux points de coordonn\'ees respectives :
\[\left(-1+\sqrt3~;4-2\sqrt3\right)\quad\text{et}
\quad\left(-1-\sqrt3~;4+2\sqrt3\right)\,.\]
        \end{questions}
\begin{methode}
On aurait aussi pu utiliser le discriminant pour trouver les racines.
\end{methode}
        \item
        \begin{questions}
                \item  $\mathcal{D}_{m}$ a un coefficient directeur égal à $-2$, comme $\mathcal{D}$ : elle est donc parallèle à $\mathcal{D}$.

                \item  Pour déterminer la droite qui a un seul point d'intersection avec $\mathcal{P}$, il
suffit de résoudre l'équation :
                \[-2x+m=x^{2}\quad\text{soit}\quad x^2+2x-m=0.\]
                et de déterminer la condition pour laquelle il n'y a qu'une seule solution.
\par
On a $\Delta=4+4m$.
                Pour avoir une solution unique, il faut et il suffit que $\Delta=0$, soit $m=-1$.
\par
                La solution est alors la racine double :
                \[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1\]
d'où :
\[
y=(-1)^2=1\,.
\]
                On a alors le graphe:\enlargethispage*{2em}
                \begin{center}
                \includegraphics{028_1_fig_9}
                \end{center}
                Le point d'intersection de $\mathcal{D}_{-1}$ et $\mathcal{P}$ a pour coordonnées $(-1~;1)$.

                \item  On a deux points d'intersection lorsque $\Delta>0$, soit $4+4m>0$. Soit finalement:
                \[m>-1\,.\]
\par
Le milieu de $[A_mB_m]$ a  pour coordonnées :
                \[\left(\frac{x_{A_m}+x_{B_m}}{2}~;\frac{y_{A_m}+y_{B_m}}{2}\right)\]
                $x_{A_m}$ et $x_{B_m}$ étant les solutions de $x^{2}+2x-m=0$.
\par
On a :
                \[x_{A_m}+x_{B_m}=\frac{-2+\sqrt{4+4m}}{2}+\frac{-2-\sqrt{4+4m}}{2}=-2\]
donc :
                \[x_{I_m}=-1\,.\]
\par
                $A_m$ et $B_m$ sont sur $\mathcal{D}_{m}$, donc leur milieu $I_m$ l'est aussi. Donc :
                \[y_{I_m} = -2x_{I_m}+m = m+2\]
  d'où $I_m(-1~;m+2)$, soit l'ensemble des points :
                \[\{(-1~;2+m), \quad m \in \left]-1~;+\infty\right[\}\,.\]
                On obtient donc une demi-droite ouverte définie par :
                \[(x=-1, y>1).\]
        \end{questions}
\end{questions}
