Appelons $x$ la longueur, en mètres, de ficelle qui sert à former le carré, alors il reste $1-x$ mètres pour former le rectangle.\\
Puisque la longueur $L$ du rectangle est deux fois sa largeur $\ell$, le périmètre du rectangle vaut $2(\ell+2l)=6l=\ell-x$. On en déduit que $\ell=\dfrac{1-x}{6}$.

De plus, le côté $a$ du carré vérifie $4a=x$. \\
L'aire du carré est donc $\left( \dfrac{x}{4}\right) ^2=\dfrac{x^2}{16}$ \\
et l'aire du rectangle est $\dfrac{1-x}{6}\times 2\times\dfrac{1-x}{6}=\dfrac{(1-x)^2}{18}$.\\
L'aire totale est donc égale à  $f(x)=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(1-x)^2}{18}$.\\
Le problème consiste donc à étudier si le polynôme du second degré $f(x)$ admet un minimum, et si c'est le cas, déterminer pour quelle valeur de $x$ il est atteint.\\
En développant l'expression, on trouve :\[f(x) =\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{1}{18}-\dfrac{x}{9}+\dfrac{x^2}{18}\;,\]
c'est-à-dire : \[f(x)=\dfrac{17}{144}x^2-\dfrac{1}{9}x+\dfrac{1}{18}.\]
Le coefficient de $x^2$ étant positif, on sait que cette fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum qui est atteint pour : \[ x =-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{2\times 17}{144}}=\dfrac{1\times 144}{9\times 2\times 17 }=\dfrac{8}{17}.\]
Le problème a donc bien une solution, en coupant un morceau de longueur $\dfrac{8}{17}$ de mètre pour faire le carré.
