\begin{methode}
Pour résoudre une inéquation, il faut toujours commencer par trouver l'ensemble de définition, car les différentes manipulations peuvent faire
perdre de vue que certaines valeurs sont interdites.
\end{methode}
\begin{questions}
\item  L'ensemble de définition correspond simplement à la non nullité des
dénominateurs, soit :
        \[
        \mathcal {D}_{f} = \R \setminus \{1~;2\}\,.
        \]
On peut donc transformer l'inégalité pour obtenir :
        \[
        \frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}>0
        \]
 soit, en réduisant au même dénominateur :
        \[
        \frac{x^{2}-1-x+2}{(x-1)(x-2)}>0
        \]
        \[
         \text{ou encore : }\frac{x^{2}-x+1}{(x-1)(x-2)} >0\,.
        \]
        Le discriminant de $x^{2}-x+1$ est $\Delta=1-4=-3$.
        \par
         Comme $\Delta<0$, le numérateur est toujours positif ($a=1$ donc $a > 0$). Il ne reste donc plus qu'à étudier le signe du dénominateur (qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 1 et 2, et dont le coefficient de $x^2$ est 1, donc positif) ; on a alors le tableau de signes :
        \[
        \begin{array}{|C|ccccccc|} %%% CLASSE
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\
        \hline
        (x-1)(x-2)  & & + & 0 & - & 0 & + & \\
        \hline
        \end{array}
        \]
On obtient donc :
\[S = \left]-\infty~;1\right[ \cup \left]2~;+\infty\right[\;.\]


        \item  On a :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+3x-10} \leq 1\,.
        \]
        L'ensemble de définition correspond à la non nullité du dénominateur.
        \par
        Le discriminant de $x^{2}+3x-10$ est
        $\Delta=9+40=49$,
        d'où les racines :
        \[
        x_{1} = \frac{-3-7}{2} = -5\quad\text{et}\quad
        x_{2} = \frac{-3+7}{2} = 2\,.
        \]
        L'ensemble de définition est donc :
        \[
        \mathcal {D}_{g} = \R \setminus \{-5~;2\}\,.
        \]
        En transformant l'inéquation, on obtient :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}+3x-10}-1 \leq 0
        \]
        et, en réduisant au même dénominateur :
        \[
        \frac{x^{2}-5x+6-x^{2}-3x+10}{x^{2}+3x-10}\leq 0
        \]
        \[
         \text{soit }\frac{-8x+16}{x^{2}+3x-10} \leq0\,,
         \]
        ce qui équivaut, en divisant par $-8$, à :
        \[
        \frac{x-2}{x^{2}+3x-10} \geq 0 \qquad (\text{car }-8 < 0)\,.
        \]
        Posons :
        \[
        Q(x)=\frac{x-2}{x^2+3x-10}\,.
        \]
        Dressons un tableau de signes :
        \[\morestretch
        \begin{array}{|C|ccccccc|} %%% CLASSE
        \hline\tabulartitle
        x & -\infty & & -5& & 2 & & +\infty \\
        \hline
        x^{2}+3x-10 & & + &0 &  - & 0 & + & \\
        \hline
        x-2         & & - & \vline &- & 0 & + & \\
        \hline
        Q(x)        & & - & \dvline&  + & \dvline  & + & \\
        \hline
        \end{array}
        \]
        On obtient donc l'ensemble des solutions
        $
        S = \left]-5~;2\right[ \cup \left]2~;+\infty\right[
        $.
        \begin{attention}
        On voit ici la nécessité de déterminer dès le début l'ensemble de définition,
        sans quoi on risquait, ici par exemple, de prendre en compte la valeur $2$.
        \end{attention}
\end{questions}
