\begin{methode}
Pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence entre les deux fonctions représentées.
\end{methode}
La fonction $f$ est définie sur $\R\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$ et la fonction $g$ est définie sur $\R$.
\enlargethispage*{3em}
On étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$ sur $\R\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}$. Cela donne:
\begin{align*}
 & \dfrac{12x-8}{6x-3} - (3x-2)\leqslant 0\\
 \iff\ & \dfrac{12x-8-(3x-2)(6x-3)}{6x-3}\leqslant 0\\
 \iff\ & \dfrac{12x-8-18x^2+21x-6}{6x-3}\leq 0\\
 \iff\ & \dfrac{-18x^2+33x-14}{6x-3}\leq 0.
\end{align*}

On commence par étudier le signe du trinôme du second degré au numérateur. Son discriminant vaut $\Delta=81=9^2$. Il admet donc deux racines $x_1=\dfrac{7}{6}$ et $x_2=\dfrac{2}{3}$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif, le trinôme est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur.

\newpage

On trouve le signe du quotient du trinôme par l'expression affine $6x-3$ à l'aide d'un tableau de signes:
\[\morestretch
\begin{array}{|C|lcccccccr|} %%% CLASSE
\hline\tabulartitle
x & -\infty &  & \phantom{\frac{1^l}{2_p}}\frac{1}{2}\phantom{\frac{1^l}{2_p}} &  & \frac{2}{3} &  & \frac{7}{6} &  & +\infty\\
\hline
-18x^2+33x-14 &  & - &  & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
6x-3 &  & - & 0 & + &  & + &  & + & \\
\hline
f(x)-g(x) &  & + & \dvline & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
\]

On en déduit que la courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$ pour\linebreak $x \in \left]\dfrac{1}{2}~;\frac{2}{3}\right[\cup\left]\dfrac{7}{6}~;+\infty\right[$; les courbes se coupent pour $x=\dfrac{2}{3}$ et $x = \dfrac{7}{6}$. La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ dans les autres cas.
