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Soient $x$ et $y$ les deux nombres cherchés.
Les nombres $x$ et $y$ sont non nuls et vérifient le système :
\[\left\{\begin{aligned}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{2}\\
x^2 + y^2 &= \frac{25}{36}
\end{aligned}\right.
\iff
\left\{\begin{aligned}
&\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\\
&(x + y)^2-2xy = \frac{25}{36}
\end{aligned}\right.
\]
\par
On pose $S = x + y$ et $P = xy$.
Le système précédent s'écrit alors :
\[
\left\{
\begin{gathered}
P = 2S \\
S^2 -2P = \frac{25}{36}
\end{gathered}
\right.
\quad\text{ce qui équivaut à}\quad
\left\{
\begin{gathered}
P = 2S \\
S^2 -4S = \frac{25}{36}\,.
\end{gathered}
\right.
\]
On résout l'équation du second degré  :
\[S^2 -4S -\frac{25}{36} = 0\,.\]
Son discriminant est  :
\[\Delta = 16 +4\times\frac{25}{36} = \frac{169}{9}\,.\]
L'équation admet deux solutions : $\dfrac{25}{6}$ et $-\dfrac{1}{6}$.
\par
Si $S = \dfrac{25}{6}$, alors $P =2\times\dfrac{25}{6}= \dfrac{25}{3}$.

Si $S = -\dfrac{1}{6}$, alors $P =2\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)= -\dfrac{1}{3}$.

On détermine alors les nombres $x$ et $y$ en résolvant les systèmes :
\[
(1)\left \{\begin{aligned}
x + y &= \frac{25}{6} \\
xy &= \frac{25}{3}
\end{aligned}\right.
\quad\text{ou}\quad
(2)\left  \{\begin{aligned}
x + y &= -\frac{1}{6} \\
xy &= -\frac{1}{3}
\end{aligned}\right.
\]
On connaît alors la somme et le produit de $x$ et $y$.

L'équation du second degré du système $(1)$ est :
\[x^2 - \frac{25}{6}x +\frac{25}{3} = 0\]
et a un discriminant strictement  négatif donc elle n'admet aucune solution réelle et le premier système n'a donc pas de solution.
\par
L'équation du second degré du système $(2)$ est :
\[x^2 + \frac{1}{6}x -\frac{1}{3} = 0\]
et a pour discriminant $\Delta = \dfrac{49}{36}$ donc
l'équation admet deux solutions réelles : $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{2}{3}$.

\Par

Les deux nombres répondant à la question posée sont donc $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{2}{3}$.
