Le système donné peut se mettre sous la forme :
\[
\begin{cases}
x+y+z=27\\
z(x+y)=180\\
xy=35
\end{cases}.
\]
En posant $T=x+y$ et en ne prenant que les deux premières lignes, on a:
\[
\begin{cases}
T+z=27\\
Tz=180
\end{cases}.
\]
On connaît donc la somme et le produit de $z$ et $T$; ainsi, $z$ et $T$ sont les solutions de l'équation $a^2-27a+180=0$, dont le discriminant est\linebreak $\Delta=(-27)^2-4\times180=9$. Les deux solutions sont donc :
\[
\dfrac{27-3}{2}=12\qquad\text{et}\qquad \dfrac{27+3}{2}=15.
\]
Ainsi,
\[
\begin{cases}
T=x+y=12\\
z=15
\end{cases}
\qquad\text{ou}\qquad
\begin{cases}
T=x+y=15\\
z=12
\end{cases}.
\]
\begin{itemize}
\item 1\ier{} cas : $x+y=12$. D'après l'énoncé, $xy=35$ donc $x$ et $y$ sont solutions de l'équation $x^2-12x+35=0$, de discriminant $\Delta=(-12)^2-4\times35=4$. Or, $x<y$ donc  :
\[
x=\dfrac{12-2}{2}=5\qquad\text{et}\qquad y=\dfrac{12+2}{2}=7.
\]

\item 2\ieme{} cas : $x+y=15$. De plus, $xy=35$ donc $x$ et $y$ sont solutions de\linebreak l'équation \mbox{$b^2-15x+35=0$}, de discriminant $\Delta=(-15)^2-4\times35=85$, qui n'est pas un carré parfait, ce qui implique que $x$ et $y$ ne sont nécessairement pas entiers, ce qui contredit l'énoncé.
\end{itemize}

Il n'y a donc qu'une seule possibilité : $x=5$, $y=7$ et $z=15$.
