\begin{questions}
        \item En développant, on obtient, pour tous nombres réels $a$ et $b$:
        \begin{align*}
        (a+b)^3 & =(a+b)^2(a+b)\\
        & =(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\
        & =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,.
        \end{align*}

        \item  On doit avoir :
        \[
        P(x) = 8x^{3}-48x^{2}+94x-60 = a(2x-5)^{3}+b(2x-5)^{2}+c(2x-5)\,.
        \]
        On peut développer les identités remarquables du terme de
        droite.
        \par
On a pour $(2x-5)^{3}$ :
        \begin{align*}
        (2x-5)^{3}&= (2x)^{3}+3(2x)^{2}(-5)+3(2x)(-5)^{2}+(-5)^{3}
        \\
   & = 8x^{3}-60x^{2}+150x-125.\\
   \intertext{%
        De même, on a pour $(2x-5)^{2}$ :}
      (2x-5)^{2} & = 4x^{2}-20x+25.
       \end{align*}
        Ce qui donne :
        \begin{align*}
        P(x) &= a(8x^{3}-60x^{2}+150x-125)+b(4x^{2}-20x+25)+c(2x-5) \\
           P(x)    &= 8ax^{3}+(-60a+4b)x^{2}+(150a-20b+2c)x\\
           & \hspace*{6.3cm}+(-125a+25b-5c).
        \end{align*}
Or, on a : $P(x)=8x^{3}-48x^{2}+94x-60$.
\par
        On doit donc résoudre le système :
        \[
        \begin{cases}
        8a&=8\\
        -60a+4b&=-48\\
        150a-20b+2c&=94\\
        -125a+25b-5c&=-60
        \end{cases}
        \]
        On obtient de la première ligne $a=1$,
        donc :
        \[
       \begin{cases}
       a&=1\\
        -60+4b&=-48\\
        150-20b+2c&=94\\
        -125+25b-5c&=-60
        \end{cases}
        \]
        La deuxième ligne donne $b=3$
        et on obtient :
        \[
        \begin{cases}
        a&=1\\
        b&=3\\
        90+2c&=94
        \end{cases}
        \]
d'où enfin $c=2$
et l'on a bien, dans la quatrième ligne :
\[
-125+75-10=-60\,.
\]
        On a donc le triplet solution
        $
        (1, 3, 2)
        $
et :
\[
P(x)=(2x-5)^3+3(2x-5)^2+2(2x-5)\,.
\]

        \item   Pour en déduire une factorisation de $P(x)$, il suffit de constater que l'on peut mettre
        $(2x-5)$ en facteur dans l'expression :
        \[
        P(x)=(2x-5)^{3}+3(2x-5)^{2}+2(2x-5)\,,
        \]
        ce qui donne ici :
        \begin{align*}
        P(x) &= (2x-5)^{3}+3(2x-5)^{2}+2(2x-5) \\
             &= (2x-5)\big[(2x-5)^{2}+3(2x-5)+2\big] \\
             &= (2x-5)(4x^{2}-20x+25+6x-15+2) \\
             &= (2x-5)(4x^{2}-14x+12).
        \end{align*}
        Il ne reste donc plus qu'à factoriser :
        \[
        g(x)=4x^{2}-14x+12\,.
        \]
        \par
        On a $\Delta = b^{2}-4ac = 196-16 \times 12 = 4$,
        d'où :
        \[
       % \left\{\begin{aligned}
         x_{1} = \frac{14-2}{8} = \frac{3}{2}%\\
         \quad\text{et}\quad
         x_{2} = \frac{14+2}{8} = 2\,.
        %\end{aligned}\right.
        \]
        D'où :
\[
4x^2-14x+12 = 4 \left(x-\frac{3}{2}\right)(x-2)\,.
\]
        On a donc finalement :
        \[
        P(x)=4(2x-5)(x-2)\left(x-\frac{3}{2}\right)\,,
        \]
        qui est une factorisation de $P(x)$.

        \item D'après la factorisation précédente, l'équation $P(x)=0$
        est une\linebreak équation produit de termes du premier degré.

        On a ainsi,
        $P(x)=0$ si et seulement si
        $2x-5=0$ ou $x-2=0$ ou $x-\frac{3}{2}=0$.

        Finalement, $S=\left\{ \frac{3}{2}\,;2\,; \frac{5}{2}\right\}$.
\end{questions}
