\begin{questions}
        \item  On considère le polynôme
        $P(x)=x^{4}+6x^{3}-11x^{2}-60x+100$,
        que l'on souhaite écrire sous la forme :
        \[
        P(x)= \Bigl(Q(x)\Bigr)^{2}\,.
        \]
        %$P$ étant de degré $4$, $Q$ est donc de degré $2$.
        $Q(x)=ax^2+bx+c$ étant un trinôme du second degré,
        on peut développer $\Bigl(Q(x)\Bigr)^{2}$ :
%
        \begin{align*}
        \Bigl(Q(x)\Bigr)^{2} &= (ax^{2}+bx+c)^{2} \\
              &= (ax^{2}+bx+c)(ax^{2}+bx+c) \\
              &= a^{2}x^{4}+2abx^{3}+(b^{2}+2ac)x^{2}+2bcx+c^{2}.
        \end{align*}

         Les polynômes $P$ et $Q^{2}$ sont égaux si et seulement si :%
        \begin{align*}
       & \begin{cases}
        a^{2}&=1\\
        2ab&=6\\
        b^{2}+2ac&=-11\\
        2bc&=-60\\
       c^{2}&=100
        \end{cases}
 \intertext{$Q$ et $-Q$ étant indifféremment solutions, on peut donc prendre $a=1$ ou $a=-1$ :
        choisissons $a>0$. On obtient alors :}
     &   \begin{cases}
        a&=1 \\
       b&=3 \\
       c&=-10
        \end{cases}
        \end{align*}
        Finalement :
\[P(x)=\left(Q(x)\right)^{2}\,,\]
 avec $Q(x)=x^{2}+3x-10$.

\item  $P(x)=0 \iff Q(x)=0 \iff x^{2}+3x-10=0$.

On a $\Delta=9+40=49$,
d'où \[x_1=\dfrac{-3+7}{2}=2\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-3-7}{2}=-5\,.\]
\par
Ainsi :
        \[
        S= \{-5, 2\}\,.
        \]
        \newpage
        \item
\begin{questions}
\item En développant, on a  :
      \[(x+5)(ax^2+bx+c)=ax^3+(5a+b)x^2+(5b+c)x+5c\,.\]
\par
Par identification des coefficients des termes de même degré on obtient donc :
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=1 \\
5a+b&=6 \\
5b+c&=6 \\
5c&=5
\end{aligned}
\right.
\quad \text{d'où} \quad
\left\{
\begin{aligned}
a&=1 \\
b&=1 \\
c&=1
\end{aligned}
\right.
\]
et on a donc la factorisation $x^3+6x^2+6x+5=(x+5)(x^2+x+1)$.
\item D'après les questions précédentes :
\[\begin{aligned}
f(x)=&\frac{x^4+6x^3-11x^2-60x+100}{x^3+6x^2+6x+5}=\frac{P(x)}{x^3+6x^2+6x+5}\\
&=\frac{(x^2+3x-10)^2}{(x+5)(x^2+x+1)}\:.
\end{aligned}\]

Déterminons $\mathcal{D}_f$ : $f(x)$ existe si et seulement si : \[(x+5)(x^2+x+1) \neq 0\] soit : \[x+5 \neq 0\quad\text{et}\quad
x^2+x+1 \neq 0\,.\]
\par
L'équation $x+5=0$ équivaut à $x=-5$.
\par
Cherchons à résoudre
$x^2+x+1=0$ :
\par
$\Delta=1-4 \times 1 \times 1=-3<0$,
donc cette équation n'admet pas de solutions réelles.
\par
D'où $\mathcal{D}_f=\R \setminus \{-5\}$.
\par
 Les racines du trinôme $x^2+3x-10$ sont $-5$ et $2$
(question 2),
donc  :\[x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\,.\]
\par
Finalement :
\[
f(x)=\frac{(x+5)^2(x-2)^2}{(x+5)(x^2+x+1)}=\frac{(x+5)(x-2)^2}{x^2+x+1} \quad
\text{pour } x \neq -5\,.
\]
\end{questions}
\end{questions}
