Une fonction du second degré est représentée par une parabole dont l'axe de symétrie passe par le sommet.

Ici, l'axe de symétrie est donc la droite d'équation $x=-1$.

Comme le polynôme a pour racine $\dfrac{5}{2}$, la parabole coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{5}{2}$. Par symétrie par rapport à la droite d'équation $x=-1$, elle coupe aussi l'axe des abscisses au point d'abscisse $r$ tel que $\dfrac{r+\dfrac{5}{2}}{2}=-1$, c'est-à-dire $r = -\dfrac{9}{2}$.\\
On connaît donc les deux racines du polynôme. Il se factorise donc sous la forme $f(x)= a\left( x-\dfrac{5}{2}\right) \left( x+\dfrac{9}{2}\right)$ où $a$ est un réel à déterminer.\\
Comme $S$ est le sommet de la parabole, il faut de plus que $f(-1)=2$, ce qui donne l'équation:\[2= a\left( -1-\dfrac{5}{2}\right) \left( -1+\dfrac{9}{2}\right).\]
C'est-à-dire : $a=-\dfrac{8}{49}$.\\
Le polynôme recherché est donc:$f(x)=-\dfrac{8}{49}\left( x-\dfrac{5}{2}\right) \left( x+\dfrac{9}{2}\right)$.
