\begin{questions}
\item L'aire d'un disque de rayon $R$ est donnée par la formule:
\[
\pi \times R^2.
\]
Donc l'aire d'un demi-disque est donnée par la formule:
\[
\dfrac{1}{2}\times \pi \times R^2.
\]
De plus, l'aire de la surface colorée est obtenue en soustrayant à l'aire du demi-disque $(C)$ (de rayon 4) la somme de l'aire des demi-disques $(D_1)$ (de rayon $\frac{x}{2}$) et $(D_2)$ (de rayon $\frac{8-x}{2}$).

Ainsi l'aire $f(x)$ de la surface colorée est:
\begin{align*}
f(x) & = \frac{1}{2}\times\pi \times 4^2 - \left[ \frac{1}{2}\times\pi \times \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\times\pi\times\left(\frac{8-x}{2}\right)^2 \right]\\
& = 8\pi - \left( \frac{x^2}{8}\pi + \frac{(8-x)^2}{8}\pi \right)\\
& = 8\pi - \frac{x^2}{8}\pi - \frac{64-16x+x^2}{8}\pi\\
\end{align*}

\begin{align*}
f(x) & = 8\pi - \frac{x^2}{8}\pi - 8\pi + \frac{16x}{8}\pi - \frac{x^2}{8}\pi\\
& = -\frac{x^2}{4}\pi + \frac{8x}{4}\pi\\
& = \frac{\pi}{4}(-x^2+8x).
\end{align*}

\item On souhaite déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'aire de la surface colorée est supérieure ou égale à un quart de l'aire du demi-disque $(C)$, soit à $\frac{1}{4}\times8\pi=2\pi$. Il faut donc résoudre l'inéquation:
\begin{align*}
f(x) \geqslant 2\pi & \iff \frac{\pi}{4}(-x^2+8x) \geqslant 2\pi\\
& \iff \textcolor{DR}{\frac{4}{\pi}\times}\frac{\pi}{4}(-x^2+8x) \geqslant \textcolor{DR}{\frac{4}{\pi}\times}2\pi\\
& \iff -x^2+8x \geqslant 8\\
& \iff -x^2 + 8x - 8 \geqslant 0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $-x^2+8x-8$ est:
\[
\Delta = 8^2-4\times(-1)\times(-8)=64-32=32>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-8-\sqrt{32}}{-2}=4+2\sqrt2\approx6,8
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-8+\sqrt{32}}{-2}=4-2\sqrt2\approx1,2.
\]
Ces deux valeurs sont comprises entre 0 et 8, donc elles sont bien solutions à notre inéquation.

\Par

Ainsi, l'ensemble des valeurs de $x$ telles que l'aire de la surface bleue est supérieure ou égale à un quart de celle du demi-disque $(C)$ est $[4-2\sqrt2 ; 4+2\sqrt2]$.

\item $f(x)=\frac{\pi}{4}x(-x+8)$. Ces deux racines sont donc $0$ et $8$. Sa courbe représentative est une parabole dont les branches sont orientées vers le bas (car le coefficient de $x^2$ est négatif). De plus, le sommet de la parabole a pour abscisse la moyenne des deux racines, soit $x_S=4$. D'où le tableau suivant:

\[
\begin{array}{|R|l c c c r|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 4 &  & 8\\
\hline
f & & \nearrow& &  \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]

L'aire maximale est donc atteinte pour $x=4$, et vaut:
\begin{align*}
f(4) & = \frac{\pi}{4}(-4^2+8\times4)\\
& = \frac{\pi}{4}\times16\\
& = 4\pi.
\end{align*}

\item Une complétion possible du programme est la suivante:

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.7){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/01-lunules-corrige.py}}}
\vspace*{-10pt}

\begin{listing}{En Python}{01-lunules-corrige.py}\end{listing}

\end{questions}
