Sur le schéma représenté page suivante, le nombre de faces peintes a été inscrit sur chaque cube.
\begin{center}
\includegraphics{327_8_fig_5}
\end{center}
\begin{questions}
\item D'après les observations précédentes, $X(\Omega)=\{2~;3~;4~;5\}$.

\item La loi de probabilité de $X$ est:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 2&3&4&5\\
\hline
$p(X=x_i)$& $\dfrac{1}{10}=0,1$ & $\dfrac{4}{10}=0,4$ & $\dfrac{3}{10}=0,3$ & $\dfrac{2}{10}=0,2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 2\times0,1 + 3\times0,4 + 4\times0,3 + 5\times0,2\\
& = 0,2+1,2+1,2+1\\
& = 3,6.
\end{aligned}$

On peut en déduire que si l'enfant répète un grand nombre de fois cette expérience, chaque cube aura en moyenne entre 3 et 4 faces peintes.

\item Ajoutons une ligne à la loi de probabilité de $X$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*4{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 2&3&4&5\\
\hline
Valeurs de $X^2$ & 4&9&16&25\\
\hline
$p(X=x_i)$& $0,1$ & $0,4$ & $0,3$ & $0,2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Alors, la variance de $X$ est :
\begin{align*}
V(X) & = \big(4\times0,1 + 9\times0,4 + 16\times0,3 + 25\times0,2\big)-3,6^2\\
& = 0,84.
\end{align*}
Ainsi, l'écart-type de $X$ est:
\[
\sigma(X)=\sqrt{0,84}\approx0,9.
\]
\end{questions}
