\begin{questions}
\item $f'(x)=-\frac{a}{x^2}$ donc $f'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}$.\\
L'équation de la tangente est donc : $y=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{a}{x_0}$, soit :
\[y=-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}.\]
\item $\Delta$ coupe l'axe des abscisses lorsque $y=0$. On a alors $-\frac{a}{x_0^2}x+\frac{2a}{x_0}=0$, et donc :
\[ x=\frac{-\frac{2a}{x_0}}{-\frac{a}{x_0^2}}=-\frac{2a}{x_0}\times\frac{-x_0^2}{a}=2x_0.\]
$H$ a donc pour coordonnées $(2x_0~;0)$.\\
$\Delta$ coupe l'axe des ordonnées lorsque $x = 0$, on a alors $y = \frac{2a}{x_0}$.\\
$K$ a donc pour coordonnées $\left(0~;\frac{2a}{x_0}\right)$.\\
Le milieu de $[HK]$ a pour coordonnées $\left(\frac{2x_0+0}{2}~;\frac{0+\frac{2a}{x_0}}{2}\right)$, soit\linebreak $\left(x_0~;\frac{a}{x_0}\right)$,  et ce sont bien les coordonnées de $M_0$.

\item Il y a en fait deux constructions possibles :
\begin{itemize}
\item Soit on s'intéresse au triangle $OHK$ : il est rectangle en $O$, et sa\linebreak médiane issue de O est $[OM_0]$ d'après le résultat précédent.\\
Or, dans un triangle rectangle, la médiane a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.\\
Donc on peut tracer un cercle de rayon $OM_0$ et de centre $M_0$.\\ Il coupera les deux axes en $H$ et $K$.
\begin{center}
\includegraphics{067_2_fig_18}
\end{center}
\item On pourrait aussi n'utiliser que le résultat intermédiaire, qui est l'abscisse de $H$ : on reporte deux fois l'abscisse $x_0$ à partir de $O$ sur l'axe des abscisses, puis on joint les points $H$ et $M_0$, ce qui permet de tracer la tangente.
\end{itemize}
\end{questions}
