Soit $\ell$ la longueur de la ficelle, $x$ celle du côté du  carré et $y$ celle du côté du triangle équilatéral.
\par
On a les conditions : $x \geq 0$ , $y \geq 0$ et, comme $\ell = 4x + 3y$,  $\frac{\ell}{4} \geq x$.\\
La somme des aires du carré et du triangle est :
\[
S(x) = x^2 + \frac{1}{2}y \left( \frac{y \sqrt{3}}{2} \right)=x^2+\frac{y^2\sqrt{3}}{4}.\]
En effet, on démontre facilement par le théorème de Pythagore ou la trigonométrie que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $y$ mesure $\frac{y\sqrt{3}}{2}$.
\Par
Or $y = \frac{\ell-4x}{3}$, donc : $\begin{aligned}[t]
S(x) &= x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \left[\frac{\ell - 4x}{3}\right]^2
\\
& = x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\end{aligned}$


Étudions alors les variations de la fonction $S$ définie sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ par :
\[
S(x) =  x^2 \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2x\ell \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{ \ell^2 \sqrt{3}}{36}.
\]
$S$ est dérivable sur $\left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $ en tant que fonction polynôme.
Pour tout $x$ de $\left[ 0~; \dfrac{\ell}{4} \right] $, on a : $
S'(x) = 2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9}$.

$S'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x \big(9 + 4\sqrt{3}\big)=2\ell\sqrt{3}  \Leftrightarrow x = \dfrac{\ell\sqrt3}{9+4\sqrt{3}}\textcolor{DR}{\times\frac{\sqrt3}{\sqrt3}}=\frac{\ell}{3\sqrt3+4}$.
\par
On vérifie que $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$ est dans l'intervalle $ \left[ 0~;\dfrac{\ell}{4} \right] $.
\Par
$S '(x) \geq 0$ équivaut à :
\[
2x \left(1 + \frac{4 \sqrt{3} }{9} \right) - 2\ell \frac{\sqrt{3}}{9} \geq 0,\text{ soit : }x \geq \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}.
\]
La fonction $S$ est donc décroissante sur $\left[0~;\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}\right]$ et croissante sur\linebreak $\left[ \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}~; \dfrac{\ell}{4} \right]$.
\par
On en déduit que la fonction $S$ admet un minimum en $\dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\par
La somme des aires du carré et du triangle est minimale lorsque $x = \dfrac{\ell}{3\sqrt{3}+4}$.
\Par
Pour savoir pour quelle valeur de $x$  la somme des aires est maximale, il faut comparer les
valeurs de $S(0)$ et de $S \left( \dfrac{\ell}{4}\right)$.
\par
On a :
\[
S(0) = \frac{\ell^2}{12 \sqrt{3}} \qquad \text{et} \qquad
S \left(\frac{\ell}{4} \right) =\frac{\ell^2}{16}.
\]
Or $16 < 12\sqrt{3}$  donc :
\[S \left(\frac{\ell}{4} \right)  > S(0). \]

On en déduit que la somme des aires est maximale lorsque $x = \dfrac{\ell}{4}$, c'est-à-dire lorsque l'on garde toute la ficelle pour faire le carré.
