\begin{questions}
\item $f\;:\;x\mapsto x^3$ est croissante sur $\R$. \\
Donc pour tout $x > 6$, $x^3 > 6^3$ soit $x^3 > 216$.
On en déduit alors que $x^3 -216 > 0$ pour $x>6$.
\par
Pour tout $x < 6$, $x^3 < 6^3$ soit $x^3 < 216$. On en déduit alors que\linebreak $x^3 -216 < 0$.

\begin{center}\morestretch
        \begin{tabular}{|C|ccccc|}
                \hline\tabulartitle
                $x$ & $-\infty$ && $6$ && $+\infty$  \\
                \hline
                 &  &  && $\nearrow$&   \\
                $f(x)=x^3$ &&& $6^3=216$ &&  \\
                 && $\nearrow$ && &   \\
                \hline
                $x^3-216$ && $-$ &$0$& $+$& \\\hline
        \end{tabular}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item Le volume du parallélépipède est $x \times 2x \times y$. \\
On a donc $2x^2y = 576$. On en déduit que $y = \dfrac{288}{x^2}$.
\item La surface totale de ce solide est $S(x) = 2xy + 2y (2x) + 2 (2x) x$  soit $S(x) = 6xy + 4x^2$.\\
On remplace alors $y$ par la valeur trouvée à la question précédente.
\[
S(x) = 4x^2 + 6x \left( \frac{288}{x^2} \right) = 4 \left(x^2 + \frac{432}{x} \right).
\]
\item La fonction $S$ est une fonction rationnelle donc elle est
dérivable sur $[3~;12]$.
\par
Pour tout $x$ de $[3~;12]$ :
\[
S'(x) = 4 \left(  2x - \frac{432}{x^2} \right).
\]
Soit après réduction au même dénominateur et factorisation :
\[
S'(x) = 8 \left( \frac{x ^3 - 216}{x^2} \right).
\]
Sur l'intervalle $[3~;12]$, $\dfrac{8}{x^2}$ est strictement positif donc $S'(x)$ est du signe de $x^3- 216$, qui a été étudié dans la question 1.
\par
Il en résulte que $S'(x) > 0$ sur $\left]6~;12\right]$, donc $S$ est strictement\linebreak croissante sur $\left]6~;12 \right]$ et
$S'(x) <  0$ sur $\left[3~;6 \right[$. Ainsi, $S$ est strictement décroissante sur $\left[3~;6 \right[$.
\par
$S$ admet donc un minimum en $x = 6$.
\par
On en déduit que les dimensions du parallélépipède pour que la
surface totale soit minimale sont  6 mm, 12 mm et $\dfrac{288}{36}$
soit 8 mm.
\end{questions}
\end{questions}
