\begin{methode}
Pour étudier les variations d'une fonction, vous pouvez suivre les étapes ci-dessous dans cet ordre:
\begin{itemize}
\item on calcule la dérivée;
\item on étudie le signe de la dérivée;
\item si le signe de la dérivée est constant, on conclut sur les variations; sinon, on construit un tableau de signes et de variations.
\end{itemize}
\end{methode}

Nous devons étudier les variations de la fonction $f$ définie par:
\[
f(x)=\frac{2}{3}x^3+x^2-4x+1.
\]
\begin{itemize}
\item On calcule la dérivée:
\[
f'(x)  = \frac{2}{3}\times3x^2+2x-4 = 2x^2+2x-4 = 2(x^2+x-2).
\]
\begin{Remarque}il n'est pas nécessaire de factoriser, mais nous l'avons fait ici pour réduire les coefficients afin de faciliter les futurs calculs. Faire preuve d'anticipation peut quelques fois aider.
\end{Remarque}

\item On étudie le signe de la dérivée.

$f'(x)$ est du signe de $x^2+x-2$ (car $2>0$ et donc n'influe pas sur le signe de $f'(x)$).

\og $x_1=1$ \fg{} est une racine évidente de $x^2+x-2$ donc l'autre racine vérifie l'égalité:
\[
x_1x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -2.
\]
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $a=1$ sur $]-\infty;-2[$ et sur $]1;+\infty[$, et $f'(x)<0$ entre les racines.

\item Tableau de signes et de variation:
\[
\begin{array}{|R|l c c c c c r|}
\hline
\tabulartitle
x & -\infty &  & -2 &  & 1 &  &+\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
        &   &          & \tfrac{23\strut}{3} &          &                    &          & \\
f(x)    &   & \nearrow &                    & \searrow &                    & \nearrow & \\
        &   &          &                    &          & -\tfrac{4}{3\strut} &          & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
