\begin{itemize}
\item Domaine de définition de $f(x)=\frac{x^2+1}{2x+3}$.

La fonction $f$ est définie pour tous réels $x$ tels que $2x+3 \neq 0$, soit pour $x \neq -\frac{3}{2}$.

\Par

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\left]-\infty;-\frac{2}{3}\right[ \cup \left]-\frac{2}{3};+\infty\right[$.

\item Variations de $f$.

$f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=x^2+1 & \qquad & u'(x)=2x\\
v(x)=2x+3 &  & v'(x)=2
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \left(\frac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\
      & = \dfrac{2x(2x+3)-2(x^2+1)}{(2x+3)^2}\\
      & = \frac{4x^2+6x-2x^2-2}{(2x+3)^2}\\
      & = \frac{2x^2+6x-2}{(2x+3)^2}.
\end{align*}

Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x^2+6x-2$ (car $(2x+3)^2 > 0$), polynôme du second degré dont le discriminant est:
\[
\Delta=6^2-4\times2\times(-2)=36+16=52
\]
et dont les racines sont:
\[
x_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-6-\sqrt{52}}{4} =  \frac{-3-\sqrt{13}}{2}
\]
% ERREUR %et sa quantité conjugué:
et sa quantité conjuguée:
\[
x_2 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}.
\]
On en déduit alors le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|R|l c c c c c c c r|}
\hline
\tabulartitle
x & -\infty &  & x_1 &   & -\frac{2\strut}{3\strut} & &  x_2 &  &+\infty\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \dvline & - & 0 & + & \\
\hline
      &   &          & f(x_1) &          & \dvline &          &         &          & \\
f(x)  &   & \nearrow &        & \searrow & \dvline & \searrow &         & \nearrow & \\
      &   &          &        &          & \dvline &          &  f(x_2) &          & \\
\hline
\end{array}
\]
\end{itemize}
\begin{attention}
Lorsque $f$ admet au moins une valeur interdite, comme ici, pensez à la prendre en compte dans le tableau final. Il faut donc situer les autres valeurs importantes de $x$ par rapport à ces valeurs interdites.
\end{attention}
