\begin{questions}
\item L'abscisse de $M$ est $x$ donc son ordonnée est $x^2$.

 L'abscisse de $Q$ est la même que celle de $M$, et son ordonnée est 5.

Par symétrie, l'abscisse de $P$ est $-x$, son ordonnée est $x^2$, et l'abscisse de $N$ est $-x$, et son ordonnée 5.

On a donc $PM = x-(-x) = 2x$ et $MQ = 5-x^2$.

L'aire du rectangle  $MPNQ$ est donc $2x(5-x^2) = 10x-2x^3$.

\newpage

\item $f(x)=10x-2x^3$.
\begin{questions}
\item $x$ est positif et est au plus égal à l'abscisse de $A$ (qui est l'antécédent de 5 par la fonction carré).\\
Donc ${\cal D}_f =\left[0~;\sqrt{5}\right]$.

\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 10-6x^2 \\
& = -2(3x^2 - 5)\\
& = -2\left(\sqrt{3}x-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{3}x+\sqrt{5}\right).
\end{aligned}$

Le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$ (donc négatif) à l'extérieur de ses racines $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ et $\sqrt{\frac{5}{3}}$.\\\enlargethispage*{3em}
De plus,
\begin{itemize}
\item $f(0) = 0$ ;
\item $f\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)=2\sqrt{\frac{5}{3}}\left(5-\frac{5}{3}\right)=\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$ ;
\item $f\left(\sqrt{5}\right)=0$.
\end{itemize}
On obtient donc le tableau de variation suivant :
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & & \sqrt{\frac{5}{3}}\strut & & \sqrt{5}\\
\hline
f'(x) &  & + & 0 & - & \\
\hline
 &  &  & \frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}\strut & &  \\
f(x) &  & \nearrow &                 & \searrow  & \\
    &  0         & &         & &   0       \\
\hline
\end{array}
\]
\end{questions}

\item D'après le tableau de variation ci-dessus, le point $M$ correspondant à l'aire maximale a pour abscisse $\sqrt{\frac{5}{3}}$, donc son ordonnée est $\frac{5}{3}$.\\
La valeur exacte de l'aire maximale est, toujours d'après le tableau de variation : $\frac{20}{3}\sqrt{\frac{5}{3}}$.
\end{questions}
